攻克压轴题，突破140分：导数新型压轴题——隐零点、双最值难题

近几年高考压轴题向着更深层次方方向命题，从单一题型向复合题型转换。从考题来看，隐零点导致的函数极值不确定，再求不定极值值域问题的复合压轴题倍受命题者青睐，下面将这一新型导数压轴题——隐零点、双最值难题的破题思路讲解如下。

经典例题：

已知函数f(x)=ax^2-ax-xln x,且f(x)≥0.

(1)求a;

(2)证明： f(x)存在唯一的极大值点x0,且e^(-2)<f(x0)<2^(-2).

考点分析：

本题主要考查导数的运算，利用导数判断函数的单调性，求极值点、最值点，零点存在性定理，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力、函数与方程思想及分类讨论思想.

解析：

(1)f(x)的定义域为(0,+∞).

设g(x)=ax-a-ln x,

(观察已知函数，多项式有共同的因式x,且x>0,又f(x)≥0,所以提取公因式x,即f(x)=x(ax-a-ln x),则ax-a-ln x≥0,运用构造函数法转化求解)

则f(x)=xg(x),f(x)≥0等价于g(x)≥0.

因为g(1)=0,g(x)≥0,故g'(1)=0,

而g'(x)=a-,g'(1)=a-1,得a=1.

若a=1,则g'(x)=1-1/x.当0<x<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x>1时，g'(x)>0,

g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)=0. 综上，a=1.

(2)由(1)知f(x)=x^2-x-xln x,f '(x)=2x-2-ln x.

设h(x)=2x-2-ln x,则h'(x)=2-1/x.

当x∈(0,1/2)时，h'(x)<0;当x∈(1/2,+∞)时，h'(x)>0.所以h(x)在区间(0,1/2)上单调递减，在区间(1/2,+∞)上单调递增.

又h(e^(-2))>0,h(1/2)<0,h(1)=0,所以h(x)在区间(0,1/2)有唯一零点x0, (由零点存在性定理和函数单调性得出唯一零点)

在[1/2,+∞)有唯一零点x=1,且当x∈(0,x0)时，h(x)>0;当x∈(x0,1)时，h(x)<0;当x∈(1,+∞)时，h(x)>0.

因为f '(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点.

由f '(x0)=0得ln x0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0).

由x0∈(0,1/2)得f(x0)<1/4.

由e^(-1)∈(0,1),f '(e^(-1))≠0得f(x0)>f(e^(-1))=e^(-2).

因为x=x0是f(x)在区间(0,1)上的最大值点，

e^(-1)∈(0,1),f '(e^(-1))≠0得f(x0)>f(e^(-1))=e^(-2).

因为x=x0是f(x)在区间(0,1)上的最大值点，

​总结：证明不等式的答题模板——第一步：根据不等式合理构造函数；第二步：求函数的最值；第三步：根据最值证明不等式.