第24届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第二试
一、 选择题(本大题共10小题,每小题4分,菜40分。)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。
1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人胶将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前,如图1所示,红丝带重叠部分形成的图形是( )
(A)正方形 (B)矩形 C)菱形 (D)梯形
2、设a、b、C是不为零的实数,那么
(A)3种 (B)4种 (C)5种 (D)6种
3、
(A)等边三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形
(D)锐角三角形
4、古人用天干和地支记序,其中天干有10个;甲乙丙丁戊己庚辛壬癸,地支有12个;子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥,将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行;
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁……
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……
从左向右数,第1列是甲子,第2列是乙丑,第3列是丙寅……,我国的农历纪年就是按这个顺序得来的,如公历2007年是农历丁亥年,那么从今年往后,农历纪年为甲亥年的那一年在公历中( )
(A)是2019年, (B)是2031年, (C)是2043年,
(D)没有对应的年号
5、实数 a、b、m、n满足a<b, -1<n<m, 若
则M与N的大小关系是( )
(A)M>N (B)M=N (C)M<N (D)无法确定的。
6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形,若最大的正方形的边长是
(A)
7、已知关于
(A)
8 、The number of intersection point of the graphs of function
(A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2.
9、某医药研究所开发一种新药,成年人按规定的剂量限用,服药后每毫升血液中的含药量
(A)16小时 (B)
10、某公司组织员工一公园划船,报名人数不足50人,在安排乘船时发现,每只船坐6人,就剩下18人无船可乘;每只船坐10人,那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满,参加划船的员工共有( )
(A)48人 (B)45人 (C)44人 (D)42人
二、填空题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
11、已知
12、自从扫描隧道显微镜发明后,世界上便诞生了一间新科学,这就是“纳米技术”,已知1毫米微米,1微米纳米,那么2007纳米的长度用科学记数法表示为__米。
13、若不等式组
14、已知
15、∣
16、如图4,一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬,木板底端距离墙角0。
17、Xiao Ming says to Xiao Hua that my age add your age.add your age when Lwas your age is 48.The age of Xiao Hua is __ now.
(英汉词典:age年龄:add 加上;when 当……时)
18、长方体的长、宽、高分别为正整数
19、已知
20、为确保信息安全,信息传输需加密,发送方由明文→密文(加密)。现规定英文26个字母的加密规则是:26年字母按顺序分别对应整数0到25,例子如,英文
三、解答题(本大题共3小题,共40分)要求:写出推算过程
21、(本题满分10分)
如图5,一个大的六角星形(粗实线)的顶点是周围六个全等的小六角星形(细线型)的中心,相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点,如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为
(1) 大六角星形的顶点A到其中心O的距离
(2) 大六角星形的面积
(3) 大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值
(注:本题中的六角星形有12个相同的等边三角形拼接而成的)
22、(本题满分15分)
甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地,再返回A地,图6表示两车离A地的距离
(1)甲车出发多长时间后被乙车追上?
(2)甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇?
(3)甲车从A地返回的速度多大时,才能比乙车先回到A地?
23、(本题满分15分)
平面上有若干个点,其中任意三点都不在同一直线上,将这些点分成三组,并按下面的规则用线段连接:①在同一组的任意两点间都没有线段连接;②不在同一组的任意两点间一定有线段连接。
(1) 若平面上恰好有9个点,且平均分成三组,那么平面上有多少条线段?
(2) 若平面上恰好有9个点,且点数分成2,3,4三组,那么平面上有多少条线段?
(3) 若平面上共有192条线段,那么平面上至少有多少个点?
答案:
一、选择题(每小题4分)
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | C | B | C | D | A | C | B | D | C | A |
二、填空题(每小题4分,第15小题,每个空2分;第19小题,答对一个答案2分)
题号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
答案 | |||||
题号 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
答案 | hope |
三、解答题
21(1)连接CO,易知△AOC是直角三角形,
所以
(2)如图1,大六角星形的面积是等边△AMN面积的12倍
因为
所以大六角星形的面积是
(3)小六角星形的顶点C到其中心A的距离为
22.(1)由图知,可设甲车由A地前往B地的函数解析式为
将
由图可知,在距A地
(2)由图知,可设乙车由A地前往B地函数的解析式为
将(1.0,0)和(1.5,30)代入,得
所以
当乙车到达B地时,
又设乙车由B地返回A地的函数的解析式为
将(1.8,48)代入,得
所以
当甲车与乙车迎面相遇时,有
解得
即甲车与乙车在距离A地
(3)当乙车返回到A地时,有
甲车要比乙车先回到A地,速度应大于
23.(1)平面上恰好有9个点,且平均分成三组,每组3个点,其中每个点可以与另外两组的6个点连接,共有线段
(2)若平面上恰好有9个点,且点数分成2,3,4三组,则平面上共有线段
(3)设第一组有
若保持第三组点数不变,将第一组中的一个点划归到第二组,则平面上线段的条数为
与原来线段的条数的差是
当
当
由此可见,当平面上由点数较多的一组中划出一个点到点数较少的一组中时,平面上的线段条数不减少,所以当三组中点数一样多(或基本平均)时,平面上线段的条数最多
设三组中都有
所以 平面上至少有24个点
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