2004年“TRULY^?信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案和评分标准

 

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）

1. 已知实数 ，且满足 ， .则 的值为（    ）.

（A）23        （B）           （C）            （D）

答：选（B）

∵  a、b是关于x的方程

的两个根，整理此方程，得

，

∵ ，

∴ ， .

故a、b均为负数. 因此

.

2. 若直角三角形的两条直角边长为 、 ，斜边长为 ，斜边上的高为 ，则有     （    ）.

（A）     （B）       （C）     （D）

答：选（C）

∵  ， ，

∴  ， ；

因此，结论（A）、（D）显然不正确.

设斜边为c，则有 ， ，即有

，

因此，结论（B）也不正确.

由 化简整理后，得 ，

因此结论（C）是正确的.

3．一条抛物线 的顶点为（4， ），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（    ）.                                             

（A）只有      （B）只有       （C）只有     （D）只有 和

答：选（A）

由顶点为（4， ），抛物线交x轴于两点，知a>0.

设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为 ， ，即为方程

的两个根.

由题设 ，知 ，所以 .

根据对称轴x=4，即有 ，知b<0.

故知结论（A）是正确的.

4．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1:2. 若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于                            （      ）.

（A）6              （B）8             

（C）10             （D）12

（第4题图）

答：选（B）

由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，所以

，

又由题设知 ，所以

，

，

故 ，于是

， .

因此，结论（B）是正确的.

5．如果x和y是非零实数，使得

和 ，

那么x+y等于（      ）.        

（A）3        （B）             （C）         （D）

答：选（D）

将 代入 ，得 .

（1）当x>0时， ，方程 无实根；

（2）当x<0时， ，得方程

解得 ，正根舍去，从而 .

于是 .

故 .

因此，结论（D）是在正确的.

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6． 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE， ，则      （度）.

答： °

解：设 ，由AB=AC知

，

（第6题图）

，

由AD=AE知， ，

所以 .

7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两城市间的距离d（单位：km）有 的关系(k为常数) . 现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为              次（用t表示）.

答：

解：据题意，有 ，

∴ .

（第7题图）

因此，B、C两个城市间每天的电话通话次数为

.

8．已知实数a、b、x、y满足 ， ，则        .

答：

解：由 ，得 ，

∵ ，

∴ .

因而， .

9． 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC (BC>AD)， ，BC=CD=12, ，若AE=10，则CE的长为        .

答：4或6

（第9题图）

解：延长DA至M，使BM⊥BE. 过B作BG⊥AM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形， 所以BC=BG. 又 ，

∴ Rt△BEC≌Rt△BMG.

∴ BM=BE， ，

∴△ABE≌△ABM，AM=AE=10.

设CE=x，则AG= ，AD= ，DE= .

在Rt△ADE中， ，

∴ ，

即 ，

解之，得 ， .

故CE的长为4或6.

10．实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是           .

答：

解：∵ ， ，

∴ x、y是关于t的一元二次方程

的两实根.

∵ ，即

， .

∴ ，当 时， .

故z的最大值为 .

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）. 当 时，图象是抛物线的一部分，当 和 时，图象是线段.

（1）当 时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；

（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.

解：（1）当 时，设抛物线的函数关系式为 ，由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以

 

（第11（A）题图）

解得， ， ， .

所以

， .  …………………（5分）

（2）当 时， .

所以，当 时，令y=36，得 ，

解得x=4， （舍去）；

当 时，令 y=36，得 ，解得

.           ……………………（10分）

因为 ，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题.               ……………………（15分）

12．已知a，b是实数，关于x，y的方程组

有整数解 ，求a，b满足的关系式.

解：将 代入 ，消去a、b，得

                          ，        ………………………（5分）

.

若x+1=0，即 ，则上式左边为0，右边为 不可能. 所以x+1≠0，于是

.

因为x、y都是整数，所以 ，即 或 0，进而y=8或 0. 故

              或                 ………………………（10分）

当 时，代入 得， ；

当 时，代入 得， .

综上所述，a、b满足关系式是 ，或者 ，a是任意实数.

………………………（15分）

13．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得 ，求 的值.

解：连结AP，则 ，

所以，△APB∽△ADP，  …………………………（5分）

∴ ，

所以 ，

∴ ，       …………………………（10分）

（第13（A）题图）

所以 .   …………………………（15分）

14．已知 ， ， ，且 ，求 的最小值.

（第14（A）题图）

解：令 ，由 ， ， ，判别式 ，所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x轴有两个不同的交点 ， ，因为 ，不妨设 ，则 ，对称轴 ，于是

，            ………………（5分）

所以 ，       …………………（10分）

故 ，

当 ，b=0，c=1时，等号成立.

所以， 的最小值为4.                   ………………………（15分）