2007年浙江省初中数学竞赛试题

2007年3月11日9：00－11：00

 

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分。以下每小题均给出了代号为A、B、C、C的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号未老先衰题后的括号里，不填、多填或错填均得零分）

1．函数y＝ 图象的大致形状是（　　）

 

2．老王家到单位的路程是3500米，老王每天早上7：30离家步行去上班，在8：10（含8：10）到8：20（含8：20）之间到达单位。如果设老王步行的速度为x米／分，则老王步行的速度范围是（　　）

A．70≤x≤87.5　　B．70≤x或x≥87.5　　C．x≤70　　D．x≥87.5

3．如图，AB是半圆的直径，弦AD，BC相交于P，已知∠DPB＝60°，D是弧BC的中点，则tan∠ADC等于（　　）

A． 　　B．2　　C． 　　D．

 

4．抛物线 的图象与x轴一个交点的横坐标是P，那么该抛物线的顶点坐标是（　　）

A．（0，－2）　　B． 　　C． 　　D．

5．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是角平分线，则△DBC的面积与△ABC的面积的比值是（　　）

A． 　　B． 　　C． 　　D．

 

6．直线 ： 与直线y＝x＋10的

交点

恰好是（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线 有

（　　）

A．6条　　B．7条　　C．8条　　D．无数条

7．把三个连续的正整数a，b，c按任意次序（次序不同视为不同组）填入 的三个方框中，

 

作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a，b，c（　　）

A．不存在　　B．有一组　　C．有两组　　D．多于两组

8．六个面上分别标有1,1，2,3，3,5六个数字的均匀立方体的表面菌　如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数主该点的纵坐标。按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内的一个点的坐标。已知小明前再次搠得的两个点能确定一条直线 ，且这条直线 经过点P（4,7），那么他第三次掷得的点也在直线 上的概率是（　　）

A． 　　B． 　　C． 　　D．

 

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方

数是　　　　　　。

10．按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为　　　　　　。

11．在锐角三角形ABC中，∠A＝50°，AB＞BC，则∠B

的取值范围是　　　　　　。

12．设正△ABC的边长为a，将△ABC绕它的中心（正三

三角形外接圆的圆心）旋转60°得到对应的△A′B′C′，

则A，B′两点间的距离等于　　　　　　。

13．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，

已知AD＝3，AO＝8，OC＝5，若点P在梯形内且 ，那么点P的坐标是　　　　　　。

 

14．已知A、B、C、D四人的体重均为整数千克，其中A最

轻，其次是B，C，D，以他们中的每两人为一组称得的体重

如下（单位：千克）：

45，　49，　54，　60，　64

则D的体重为　　　　　　千克。

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）

15．已知 的值。

 

  

 

16．现在a根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m个正方形，按如图2摆放时可摆成2n个正方形。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑴用含n的代数式表示m；

⑵当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求a的最小值。

  

 

17．如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆AB和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求∠DEF的度数。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 17．已知抛物线 的顶点为A，抛物线 的顶点B在y轴上，且抛物线 关于P（1,3）成中心对称，

⑴当a＝1时，求 的解析式和m的值；

⑵设 与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值。

 

 

2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题参考答案

 

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1． 答案：D

解：当x＞0时， ，图象在第四象限；当x＜0时， ，图象在第三象限．

所以原函数的图象在第三、四象限．

2． 答案：A

解：根据题意可知老王去上班路上所用的时间在40至50分钟之间，所以 ，即70≤x≤87.5．

3． 答案：D

解：连接AC，设∠DAC=∠DAB=xo，∠ABC=yo，则有x+y=60，2x+y=90，解得 x=30．

所以tan∠DAC= ．

4． 答案：D

解：由题意得， ，解得 （舍去）

当 时，抛物线是 ，求得顶点坐标是（ ）．

5． 答案：C

解：如图所示，易证AD=DC=BC，△CDB∽△ABC．

所以　 ， ， ．

可解得　 ．

所以　 = ．

6． 答案：B

　　解：解方程组 ，得 ，因为x和p都是整数，

所以 ，即 共8个值， 舍去．

7． 答案：C

　　解：设三个连续的正整数分别为n－1，n，n＋1（n为大于1的整数），当一次项系数是n－1或n时，方程的判别式△均小于零，方程无实数根；当一次项系数是n＋1时，方程的判别式△= ，要使△≥0，由于n为大于1的整数，所以n只能取2．当n=2时，方程 ， 均有整数根，所以满足要求的a，b，c只有两组：（1，3，2）、（2，3，1）

8．答案：A

解：每掷一次可能得到6个点的坐标是(其中有两个点是重合的)：(1，1)，(1，1)，

(2，3)，(3，2)，(3，5)，(5，3)，通过描点和计算可以发现，经过(1，1)，(2，3)，

45o

45o

45o

45o

5

5

5

5

(第10题)

(3，5)三点中的任意两点所确定的直线都经过点P(4，7)，所以小明第三次掷得的点也在直线l上的概率是 ．

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9． 答案：

解：比a大的最小完全平方数是 ．

10．答案：

解：作如图所示的辅助线，易知小正方形的边长是 ，

故所求周长为 ．

40o

50o

A

B

C

C₁

(第11题)

11．答案：40o＜∠B＜80°

解：如图，当BC最短时，∠ABC＝40o，现以B为圆心，AB长为半径画弧交直线AC于点C₁，当BC₁长等于AB时，

∠ABC₁＝80o，所以40o＜∠B＜80o．

12．答案： 或

解：当△ABC按顺时针方向旋转60°时（如图1），连结OA，OB′，

(图1)

(图2)

(第12题)

A

B

C

A′

B′

C′

O

A

B

C

C′

A′

B′

O

∵∠AOB′=60°，

∴△OAB′为正三角形，

∴AB′= ．

当△ABC按逆时针方向旋转60°时（如图2），AB′=2×OA= ．

13．答案：（ ，3）

(第13题)

P

E

A

O

 

C

D

3

5

8

x

y

解：梯形AOCD的面积= ．过P作PE⊥y轴于

点E，∵ ，

∴3AE=5OE，即3(8-OE)=5OE，解得OE=3．

∴ =7.5， =(32-2×7.5)÷2=8.5．

∴ ，PE= ．　∴ P点的坐标是（ ，3）．

14．答案：35

解：∵  A＋B=45，……①

A＋C=49，……②

C＋D=64，

B＋D=60，

②－①，得C－B=4，则B＋C=B＋(B＋4)=2×B＋4为偶数．

在54千克与55千克中，只有54为偶数，∴ B=25，∴D=35．

 

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）

　……①

……②

15．(12分)

 

解：

 

 

①×2-②， 得 ．                               

由题意，得 a≠0．                                                                                 

两边同除以2a，得 ．                                                                      

16．(12分)

解：(1)　图1中火柴棒的总数是( )根，图2中火柴棒的总数是（ ）根，

                                                               

        因为火柴棒的总数相同，所以 ，

        所以 ．                                      

(2)　设图3中有3 p个正方形，那么火柴棒的总数是 根，

由题意得a= ，所以 ．

因为m，n，p均是正整数，所以当m=17，n=10时，p=7，

此时a的值最小， =52．                   

 

17．(12分)

(第17题)

A

B

C

E

D

F

H

O

G

M

解：过点E作BC的垂线与圆交与点H，与AC交于点O，

连结AH和DH，作AM^BC，垂足是M．

因为E是切点，所以EH必过圆心，即EH是直径，

所以DH^DE，因为D，E是切点，所以BD=BE，

又因为∠B=60°，所以△DBE是正三角形，

所以∠BDE=∠BAC=60°，

所以DE∥AC，DH^AC．

由已知得AM=EH，又AM∥EH，所以四边形AMEH是矩形，

所以AH^HE，即AH是切线，

所以AD=AH，AC垂直平分DH，AC必过圆心，

所以AC与EH的交点O是圆心，

所以OE=OF，

因为∠COE=90°-∠C=30°，所以∠OEF=75°，

又∠DEO=∠EOC=30°，

所以∠DEF=30°+75°=105°．

 

18．(14分)

AP

O

1

x

y

P

BP

(第18题图1)

FP

EP

CP

解：(1)　当a=1时，因为 = ．

所以顶点A(m，2m+1)，又P(1，3)，设直线AB的解析式是y=kx+b，

…①

…②

把点A，P的坐标代入，得

 

 

①—②，得2m-2=（m-1）k，因为m≠1（若m=1，则A，B，P三点重合，不合题意），所以k=2，b=1，所以直线AB的解析式是y=2x+1，得

l₂的顶点B(0，1)，

因为l₂与l₁关于点P成中心对称，所以抛物线的开口大小相同，方向相反，得

l₂的解析式是 ．

因为点A，B关于点 成中心对称（如图1），作PE⊥y轴于点E，作AF⊥y轴于点F，则△BPE∽△BAF，所以AF=2PE，即m=2．

(2)　在Rt△ABF中，因为 ＜5，所以当△ABC为等腰三角形时，只有以下两种情况：

i) 如图2，若 ，则 ，

得   因为 在 上，

(第18题图2)

AP

O

1

x

y

P

BP

C

所以 ．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

O

1

x

y

P

B

(第18题图3)

DP

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ii) 如图3，若 ，设C（x，0），作AD⊥x轴于点D，在Rt△OBC中， ，

在Rt△ADC中， ，由 ，解得 ．

因为C(7，0)在 上，所以 ．

综上可得，满足使△ABC是等腰三角形的 值有两个，  ．