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高考2014必胜高考数学必胜秘诀在哪――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 南京廖华

loga1?0,logaa?1,logex?lnx,,,a0?1,lg2?lg5?1,m

aab?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0),alogaN?N,logab?logcb,

a?,a

m?mlogca

1n

log34?log59的值为________(答:8);(2)()logab。如(1)log225?

2m

1

的值为________(答:)

64logambn?

15. 指数、对数值的大小比较:(1)化同底后利用函数的单调性;(2)作差或作商法;(3)利用中间量(0或1);(4)化同指数(或同真数)后利用图象比较。

16. 函数的应用。(1)求解数学应用题的一般步骤:①审题――认真读题,确切理解题意,明确问题的实际背景,寻找各量之间的内存联系;②建模――通过抽象概括,将实际问题转化为相应的数学问题,别忘了注上符合实际意义的定义域;③解模――求解所得的数学问题;④回归――将所解得的数学结果,回归到实际问题中去。(2)常见的函数模型有:①建立一次函数或二次函数模型;②建立分段函数模型;③建立指数函数模型;④建立

b

y?ax?型。

x

17. 抽象函数:抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式,只给出了其它一些条件(如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是:

(1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 :

①正比例函数型:f(x)?kx(k?0) ---------------f(x?y)?f(x)?f(y);

f(x)

; f(y)

f(x)x

③指数函数型:f(x)?a ------------f(x?y)?f(x)f(y),f(x?y)?;

f(y)

x

④对数函数型:f(x)?logax -----f(xy)?f(x)?f(y),f()?f(x)?f(y);

y

f(x)?f(y)

⑤三角函数型:f(x)?tanx ----- f(x?y)?。如已知f(x)是定义在

1?f(x)f(y)

T

R上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为T,则f(?)?____(答:0)

2

②幂函数型:f(x)?x --------------f(xy)?f(x)f(y),f()?

2

xy

(2)利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究:如(1)设函数f(x)(x?N)表示x除以3的余数,则对任意的x,y?N,都有 A、f(x?3)?f(x) B、f(x?y)?f(x)?f(y) C、f(3x)?3f(x) D、f(xy)?f(x)f(y)(答:A);(2)设f(x)是定义在实数集R上的函数,且满足f(x?2)?f(x?1)?f(x),如果

3

,f(2)?lg15,求f(2001)(答:1);(3)如设f(x)是定义在R上的奇函2

数,且f(x?2)??f(x),证明:直线x?1是函数f(x)图象的一条对称轴;(4)已知定义域为R的函数f(x)满足f(?x)??f(x?4),且当x?2时,f(x)单调递增。如果x1?x2?4,且(x1?2)(x2?2)?0,则f(x1)?f(x2)的值的符号是____(答:负数)

(3)利用一些方法(如赋值法(令x=0或1,求出f(0)或f(1)、令y?x或y??x等)、递推法、反证法等)进行逻辑探究。如(1)若x?R,f(x)满足f(x?y)?f(x)

则f(x)的奇偶性是______(答:奇函数);(2)若x?R,f(x)满足f(xy)?f(x) ?f(y),f(1)?lg

;(3)已?f(y),则f(x)的奇偶性是______(答:偶函数)

知f(x)是定义在(?3,3)上的奇函数,当0?x?3时,f(x)的图像如右图所示,那么不等式f(x)?cosx?0的解集是_____________(答:(?

;(4)设f(x),?1)?(0,1)?(,3))

22

的定义域为R?,对任意x,y?R,都有

x1f(?)f(?x)f,且(yx)?1时,f(x)?0,又f(?1,y2

①求证f(x)为减函数;②解不等式f(x)?f(5?x)??2.(答:?0,1???4,5?).

高考数学必胜秘诀在哪?

――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

三、数 列

1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,?,n})

n

(n?N*),2

n?156

1an

则在数列{an}的最大项为__(答:);(2)数列{an}的通项为an?,其中a,b均

25bn?1

an?an?1)为正数,则an与an?1的大小关系为___(答:;(3)已知数列{an}中,an?n2??n,

且{an}是递增数列,求实数?的取值范围(答:???3);(4)一给定函数y?f(x)的图象在下列图中,并且对任意a1?(0,1),由关系式an?1?f(an)得到的数列{an}满足

的特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如(1)已知an?

an?1?an(n?N*),则该函数的图象是

()(答:A)

A B C D

2.等差数列的有关概念:

(1)等差数列的判断方法:定义法an?1?an?d(d为常数)或an?1?an?an?an?1(n?2)。如设{an}是等差数列,求证:以bn=

a1?a2???an

n?N*为通项公式的数列{bn}为等

n

差数列。

(2)等差数列的通项:an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。如(1)等差数列{an}中,

a10?30,a20?50,则通项an?2n?10);(2)首项为-24的等差数列,

8

d?3) 3

n(a1?an)n(n?1)

(3)等差数列的前n和:Sn?,Sn?na1?d。如(1)数列 {an}

22

1315*

中,an?an?1?(n?2,n?N),an?,前n项和Sn??,则a1=_,n=_(答:

222

从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______(答:

a1??3,n?10);(2)已知数列 {an}的前n项和Sn?12n?n2,求数列{|an|}的前n

2*

12n?n(n?6,n?N)

项和Tn(答:Tn??2). *

n?12n?72(n?6,n?N)

a?b

。 2

提醒:(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、d、n、an及

(4)等差中项:若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且A?

Sn,其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,

即知3求2。(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为?,a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?(公差为d);偶数个数成等差,可设为?,

a?3d,a?d,a?d,a?3d,?(公差为2d)

3.等差数列的性质:

(1)当公差d?0时,等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n和Sn?na1?

n(n?1)dd

d?n2?(a1?)n是关于n的二次222

函数且常数项为0.

(2)若公差d?0,则为递增等差数列,若公差d?0,则为递减等差数列,若公差d?0,则为常数列。

(3)当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq,特别地,当m?n?2p时,则有

am?an?2ap.如(1)等差数列{an}中,Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1,则n=____

(答:27);(2)在等差数列?an?中,a10?0,a11?0,且a11?|a10|,Sn是其前n项和,则A、S1,S2?S10都小于0,S11,S12?都大于0 B、S1,S2?S19都小于0,S20,S21?都大于0 C、S1,S2?S5都小于0,S6,S7?都大于0 D、S1,S2?S20都小于0,

S21,S22?都大于0 (答:B)

(4) 若{an}、{bn}是等差数列,则{kan}、{kan?pbn} (k、p是非零常数)、

a{ap?nq}(p,q?N*)、Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ,?也成等差数列,而{an}成等比数列;若{an}

是等比数列,且an?0,则{lgan}是等差数列. 如等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为 。(答:225)

(5)在等差数列{an}中,当项数为偶数2n时,S偶-S奇?nd;项数为奇数2n?1时,

SS奇?S偶?a中,S2n?1?(2n?1)?a中(这里a中即an);S奇:

k()1:?k

。如(1)在等

差数列中,S11=22,则a6=______(答:2);(2)项数为奇数的等差数列{an}中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数(答:5;31).

(6)若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn,且

An

f(n),则n

an(2n?1)anA2n?1

f(2n?1).如设{an}与{bn}是两个等差数列,它们的前n项和分nn2n?1

aS6n?23n?1

别为Sn和Tn,若n?,那么n?___________(答:)

bnTn4n?38n?7

(7)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增

等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组

an?0??an?0?确定出前多少项为非负(或非正);法二:因等差数列前n项是关于?或??????an?1?0??an?1?0?

n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性n?N*。上述两种

方法是运用了哪种数学思想?(函数思想),由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?如(1)等差数列{an}中,a1?25,S9?S17,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。(答:前13项和最大,最大值为169);(2)若{an}是等差数列,首项a1?0,a2003?a2004?0,

a2003?a2004?0,则使前n项和Sn?0成立的最大正整数n是4006)

(8)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究an?bm.

4.等比数列的有关概念:

(1)等比数列的判断方法:定义法

an?1aa

,其中q?0,an?0或n?1?n ?q(q为常数)

ananan?1

(n?2)。如(1)一个等比数列{an}共有2n?1项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,

则an?1为____);(2)数列{an}中,Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1,若bn?an?1?2an ,求证:数列{bn}是等比数列。

(2)等比数列的通项:an?a1qn?1或an?amqn?m。如设等比数列{an}中,a1?an?66,

5

6

1

或2) 2

a1(1?qn)

(3)等比数列的前n和:当q?1时,Sn?na1;当q?1时,Sn?

1?q

10n

a1?anqk

。如(1)等比数列中,S99=77,求a3?a6???a99(答:44)(;2)(?Cn)?q=2,?1?qn?1k?0a2an?1?128,前n项和Sn=126,求n和公比q. (答:n?6,q?

的值为__________(答:2046);

特别提醒:等比数列前n项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n项和时,首先要判断公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比q是否为1时,要对q分q?1和q?1两种情形讨论求解。

(4)等比中项:若a,A,b成等比数列,那么A叫做a与b的等比中项。提醒:不是任

何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个a,b(a?b)的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为______(答:A>B)

提醒:(1)等比数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、q、n、an及

Sn,其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,

即知3求2;(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为?,

aaaa32

,,aq,aq?(公比为);但偶数个数成等比时,不能设为?,?,,,a,aq,aqq23

qqqq

因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为q。如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数。(答:15,,9,3,1或0,4,8,16)

5.等比数列的性质:

(1)当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq,特别地,当m?n?2p时,则有

2

am?an?ap2.如(1)在等比数列{an}中,a3?a8?124,a4a7??512,公比q是整数,则

a10=___(答:512);(2)各项均为正数的等比数列{an}中,若a5?a6?9,则

10)。 logga2???lo3ag103a1?lo3

(2) 若{an}是等比数列,则{|an|}、{ap?nq}(p,q?N)、{kan}成等比数列;若

*

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