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函数与方程的转化||高中


函数与方程有着密切的关系:方程

的根可以转化为函数
的图象与
轴的交点的横坐标,即函数的零点,也可以转化为两个基本初等函数的图象交点问题.同时函数
也可以看作二元方程
,通过方程进行研究.这就构成函数与方程相辅相成、相得益彰的关系,所以通过两者之间的相互转化,可以优化解题过程.现分类举例,供同学们参考.


一、将方程问题转化为函数问题


例1(2016年河北省唐山一中高三二模)若关于x的方程

内有两个不同的实数解,则实数m的取值范围为(  )

A(-∞,-4)∪(4,+∞)      B(4,5)

C(4,8)                                D(5,+∞)∪﹛4﹜

分析:关于x的方程

内有两个不同的实数解,可以转化为

(其中
)在区间(0,1)内有唯一零点.

:令

,则原问题等价于函数
在区间(0,1)内有唯一零点.
,解得
. 故选D.

点评:将方程问题转化为函数问题,借助函数的性质进行分析、转化、求解。要注意采用换元法时,新变量的取值范围.


例2(2016-2017学年山西省忻州一中高三第一次月考)已知

,则方程
的实数根个数为(  )

(A)1(B)2(C)3(D)1或2或3

分析:方程

的实数根个数为两函数
在同一直角坐标系中图象的交点个数.

:在同一直角坐标系中作出两函数y1=a|x|=ax(x>0),y2=|logax| 的图象,如图所示,可知两函数有两个交点,故方程

的实数根个数为2,选B.


二、将函数问题转化为方程问题

3(2016-2017学年浙江省台州中学高三期中考试)已知函数

,函数
则函数
的所有零点之和为(  )

(A)

(B)
(C)
(D)

分析:先求出

的解析式,然后分段求出函数的零点,再求和即可.

:由于

时,由
,解得
(舍去);

时,方程无解;

时,由
,解得

故函数

的所有零点之和为
,选B.

点评:通过解方程来求解函数的零点时,要注意函数的定义域,防止增根.因此解方程之前,先明确函数的定义域.


例4 对于函数

若存在x0∈R,使得成立,则称点(x0,x0)为函数
的不动点.

(1) 已知函数

(a≠0)有不动点(1,1)和(-3,-3)求实数a,b的值;

(2) 若对于任意实数b,函数

(a≠0)总有两个相异的不动点,求实数a的取值范围.

分析:函数的不动点是由方程

的根组成的,将函数问题转化为方程问题,利用方程知识求解.

:(1) 由不动点的定义,有

,所以ax2+(b-1)x-b=0,把x=1和x=-3分别带入上式,则有

       (2)对于任意实数b,函数

总有两个相异的不动点,即对于任意实数b,方程
有两个相异的实数根,即有ax2+(b-1)x-b=0中的Δ=(b-1)2+4ab>0对任意实数b恒成立,即b2+(4a-2)b+1>0对任意实数b恒成立,所以(4a-2)2-4<><><>

点评:本题抓住不动点的本质,将函数问题转化为方程根的分布问题,从而借助方程的性质——判别式构造不等式,再利用不等式只是求解.


跟踪练习:



本文来自《数学周报》高考版理科第3期




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