平面几何之阿氏圆模型

传说为太阳神的定理，千古烟波浩荡

岁月长河，只留下神的飘逸

——阿波罗尼斯圆     

在平面几何中，线段和差的最值距离是一类较为经典的问题，一般是利用“两点之间线段最短”或“点到线的距离中垂线段最短”原理进行求解。关于线段和差的最值距离问题的具体介绍如下：

这里分为三类情况讨论，第一类问题和第二类问题考察将军饮马模型及模型的变式为主。第三类问题比较复杂，通常情况下大部分问题能够由胡不归和阿氏圆模型解决。

一、阿波罗尼斯圆模型

阿波罗尼斯圆（Apolo circle）简称阿氏圆，定义为：若平面内一动点 P，与两定点A和B的距离之比为固定比例k（k不为1），则点P的轨迹为一个圆。

对于令AP/BP=k，当P点与A、B点处在同一直线，且P点分别位于B两侧时，P的轨迹为一个圆：

(1) BP'/AP'=k

(2) BP''/AP''=k

-->P的轨迹为一个圆，P''P'为圆的直径，半径为k*OB

证明过程如下：

证法1.坐标法

令B为坐标原点，A的坐标为(a,0)。则动点P(x,y)满足：

根据方程能看出P的是一个圆的轨迹，证毕。令y=0，可以求出阿氏圆的半径：

或

证法2 角平分线定理

二、利用阿氏圆模型求解线段和差

对于PA+k*PB类问题，如果P的轨迹是一个圆，并且对应边长之比为k，则称此类为“阿氏圆”问题 。解决阿氏圆问题的常用解法是构造一个母子相似，再利用“两点之间线段最短”原理解决问题。

具体来说，分为以下五步：

*注：构造母子相似的证明条件是：1夹角相等+2邻边成比例

三、实战演练

（一）经典例题

（二）答案解析