题型分析：

例：如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE.

（1）求证：AF=BE;

（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ，MP与NQ是否相等？并说明理由。

思路点拨：

（1）根据正方形的性质可得：

AB=AD, ∠BAE=∠D=90°，

再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再利用全等三角形的证明即可；

（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后思路与（1）相同。

（1）证明：在正方形ABCD中，

AB=AD, ∠BAE=∠D=90°，

∵AF⊥BE

∴∠ABE+∠BAF=90°

∴∠ABE=∠DAF,

（2）解：MP与NQ相等；

理由如下：

如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，

∵AB∥CD,AD∥BC

∴四边形AMPF与四边形BNQE是平行四边形

∴AF=PM,BE=NQ,

∵在正方形ABCD中，AB=AD, ∠BAE=∠D=90°

∴∠DAF+∠BAF=90°

∴∠ABE=∠DAF,

在△ABE和△DAF中，

1. 如图，正方形ABCD中，点E,M,N分别在AB,BC,AD边上，CE=MN,求证：CE⊥MN.

2.已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，

∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．

3. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF.求证：CE=DF.

4.如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M,

求证：（1）∠EBM=∠ECB；（2）BE=AF.

1.证明：过点D作DF∥MN交CB于点F，

4. 证明：

∵CE⊥BF，垂足为M，

∴∠MBC+∠MCB=∠BEC+∠MCB，

∴∠MBC=∠BEC.

又∵AD∥BC,

∴∠MBC =∠AFB，

∴∠AFB=∠BEC，

又∵∠BAF=∠EBC，AB=BC,

∴Rt△BAF≌Rt△EBC，

∴（1）∠EBM=∠ECB；（2）BE=AF

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