在△ABC中，∠B＞∠C，AD为∠BAC的平分线，AE⊥BC，垂足为E，试说明∠DAE=
（∠B-∠C）。
解：∵AD为∠BAC的平分线
∴∠DAC=
∠BAC
又∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）
∴∠DAC=90°-
（∠B+∠C）
又∵AE⊥BC
∴∠DAE+∠ADE=90°
又∵∠ADE=∠DAC+∠C
∴∠DAE=90°-[90°-
（∠B+∠C）]-∠C
∴∠DAE=
（∠B-∠C）。
如图，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，BD是∠NBA的平分线，BD的反向延长线与∠BAO的平分线相交于点C。
试猜想：∠ACB的大小是否随A、B的移动发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B的移动发生变化，请给出变化范围。
解：∠C的大小不会随A、B的移动而发生变化；
理由如下：
证明：∵∠MON=90°，
∴∠ABO+∠BAC+∠CAO=90°，
∵BD是∠NBA的平分线，
∴令∠NBD=∠DBA为x，
而∠NBD+∠DBA=180°-∠ABO，
∴x=90°-
∠ABO，
∵CA平分∠BAO，
∴令∠BAC=∠CAO为y，
∴∠AB0=90°-2y，
∴∠C=x-y=[90°-
（90°-2y）]-y=45°。
如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证：EG=FG。
证明：过E作ED∥AF，交BC于D。
如图，已知D为△ABC边BC的中点，DE⊥DF，则BE+CF（ ） A．大于EF
B．小于EF
C．等于EF
D．与EF的大小关系无法确定
答案
延长ED到G使DG=ED，连接CG，FG，
BD=CD，∠BDE=∠CDG，
可证得△BED≌△CGD，
∴CG=BE，
∵DE⊥DF，DG=ED，
∴EF=FG，
在△FCG中，FC+CG＞FG，
∴BE+CF＞EF．
故选A．
如图所示，P是△ABC内一点，连接PB、PC，试比较PB+PC与AB+AC的大小．
答案
如图，
延长BP交AC于点D，
在△ABD中，AB+AD＞PB+PD；
在△PCD中，PD+DC＞PC，
∴AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC，
∴AB+AC＞PB+PC．
如图，已知ABC中，AD为BC边上的中线，且AB=4cm，AC=3cm，则AD的取值范围是（ ） A．3＜AD＜4B．1＜AD＜7C． 1
2
＜AD＜ 7
2
D． 1
3
＜AD＜ 7
3
答案
如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE．
∵点D是中点，
∴BD=CD．
又∠ADB=∠CDE，
∴△ABD≌△EDC，
∴CE=AB．
根据三角形的三边关系，得：（CE-AC）＜AE＜（AC+CE），
即1＜AE＜7．
而AD= 1
2
AE，
∴ 1
2
＜AD＜ 7
2
．
故选C．
如图所示，已知在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，CD⊥AE于D，求证：∠ACD>∠B
答案
证明：延长CD交AB于F(如图)．
在Rt△ACD和Rt△AFD中，
∠ACD+ ∠CAD=90°，∠AFD+∠DAF=90°．
∵AE是∠BAC的平分线． ∴∠CAD=∠FAD．
∴∠ACD=∠AFD（等角的余角相等）．
又∵∠AFD=∠B+ ∠FCB>∠B，
∴∠ACD>∠B
如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…
（1）完成下表：
连接个数
出现三角形个数
（2）若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
（3）若一直连接到An，则图中共有
个三角形．
解 析 解：（1） 连接个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形个数 3 6 10 15 21 28
（2）8个点；
（3）1+2+3+…+（n+1）= 1
2
（n+1）（n+2）．
（1）根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数．所以当上面有3个分点时，有6+4=10；4个分点时，有10+5=15；5个分点时，有15+6=21；6个分点时，有21+7=28；7个分点时，有28+8=36；
（2）若出现45个三角形，根据上述规律，则有8个分点；
（3）若有n个分点，则有1+2+3+…+n+1= 1
2
（n+1）（n+2）．
（2013?遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
解 析 首先过点B作BD⊥AC于D，由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，则可求得∠ACB的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案．
解 答 解：过点B作BD⊥AC于D．
由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°，
在Rt△ABD中，BD=AB?sin∠BAD=20×
2
2
=10
2
（海里），
在Rt△BCD中，BC= BD
sin∠BCD
= 10
2
1
2
=20
2
（海里）．
答：此时船C与船B的距离是20
2
海里．
http://www.ykw18.com/expaper/epdetail.html?st=2&ep=6964如图，AB∥CD，AC与BD交于点O，则图中面积相等的三角形有（ ）
A 、1对
B 、2对
C 、3对
D 、4对
解 析 解：过点A作AE⊥BC于E，过点B作BF⊥CD于F．
∵AB∥CD，
∴AE=BF，
∵S△ACD= 1
2
CD?AE，S△BCD= 1
2
CD?BF，
∴S△ACD=S△BCD，
同理：S△ABD=S△ABC，
∵S△ACD-S△OCD=S△BCD-S△OCD，
∴S△AOD=S△BOC．
∴图中面积相等的三角形有3对．
故选C．
首先过点A作AE⊥BC于E，过点B作BF⊥CD于F，由AB∥CD，即可得AE=BF，然后由等高等底的两三角形的面积相等，即可求得S △ACD=S△BCD与S△ABD=S△ABC，又由S△ACD-S△OCD=S△BCD-S△OCD，即可求得S△AOD=S△BOC，则可求得答案．
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