A类三角级数的求和通式

（一）Aa函数：

          Aak(x)=∑(n=1…∞)(nπ)^-kcos(nπx-kπ/2)

                =(-2^k-1/k!)Bk(x/2)

（1）k为正整数：

         ①k=1：0＜x＜2；

         ②k＞1：0≤x≤2.

（2）Bn(x)为伯努利多项式。

（二）Ab函数：

         Abk(x)=∑(n=1…∞)(-1)ⁿ(nπ)^-kcos(nπx-kπ/2)

               =(-2^k-1/k!)Bk(x/2+1/2)

（1）k为正整数：

         ①k=1：｜x｜＜1；

         ②k＞1：｜x｜≤1.

（2）Bn(mx)=m^n-1∑(k=0…m-1)Bn(x+k/m)

（3）Bn(x+1/2)的奇偶性：

         ① n为偶数：Bn(x+1/2)为偶函数；

         ② n为奇数：Bn(x+1/2)为奇函数。

（三）Ac函数：

          Ack(x)=∑(n=1…∞)(2nπ-π)^-kcos(2nπx-πx-kπ/2)

       =(1/4)(｜x｜-x)x^k-2/(k-1)!+(k/4)(1/k!)Ek-1(x)

（1）k为正整数：

         ①k=1：｜x｜＜1；

         ②k＞1：｜x｜≤1.

（2）En(x)为欧拉多项式

（3）En-1(x)=(2/n)[Bn(x)-2ⁿBn(x/2)]

（四）Ad函数：

          Adk(x)=∑(n=1…∞)(-1)ⁿ(2nπ-π)^-ksin(2nπx-πx-kπ/2)

        =(1/4)(｜x+1/2｜-x-1/2)(x+1/2)^k-2/(k-1)!+(k/4)(1/k!)Ek-1(x+1/2)

（1）k为正整数：

         ①k=1：｜x+1/2｜＜1；

         ②k＞1：｜x+1/2｜≤1.

（2）m为奇数：

         En(mx)=mⁿ∑(k=0…m-1)(-1)^kEn(x+k/m)

（3）m为偶数：

         En(mx)=[-2/(n+1)]mⁿ∑(k=0…m-1)(-1)^kBn+1(x+k/m)

（4）En(x+1/2)的奇偶性：

         ① n为偶数：En(x+1/2)为偶函数；

         ② n为奇数：En(x+1/2)为奇函数。