杨忆鸿 原创
学校学过的东西虽然多数已还了回去，经常闲来无事仍会琢磨一些数学或物理的老问题。现在可百度，几乎什么疑难问题都有类似的人遇到过。微积分还记得个大概，球的体积用无数个截面相加，用积分一试居然成了，V=4/3πr^3，很兴奋。对V进行求导能得到表面积S=4πr^2，改用积分求呢，得用无数个截面周长应该行吧。一试，S=π^2r^2 错了，很沮丧。说明事情不是我想象的那么简单。
百度了一下，一位老兄居然与我一样的困惑，他发现得比我琢磨得还早，还很慎重写了记录，他的贴子如下：
与他一样，得到π==4的荒唐结果，显然求表面积的结果偏小了。现在知道错在微元公式上，已搜到了对的方法，只是它只字未提圆台侧面积公式，没给纠结的人点到要点，高估了看者的智商，差评。从这方法看，微元 dS= 2πy X 弧长dL。结果虽然是对的，但总觉得似乎是知道结果才去用这种方法的，不甘心，搜来搜去没有更好的方法。设法从官方方法入手。
这个积分求球表面积问题，实际是曲线旋转的表面积问题，只要找到这方面介绍就有希望。
从这个方法看出，跟积分求弧长方法很类似。弧元ds就是勾股定理得到的。一开始我们错误的计算方法就是用dx代替了弧元ds。用弧元ds是正确的关键。
这就是 古尔丁定理。可见已上升到定理，计算过程还有什么可怀疑的呢。其实，这方法中已提到圆台的侧面积，只是没细想圆台侧面积的计算公式，后面的解决方法正是根据这点。
可以将球看作为半径为a的半圆y2 + x2 = a2绕x轴旋转一周形成的图形，计算x在[x1, x2]处形成圆盘的球面面积：
从计算方法来讲，肯定正确，必须记住公式就可以了。但这仍然有个疑问，为何球的表面积是截面周长 X 弧元呢，而下面的体积V却不是乘以弧元ds 而是 dx 呢， 一直误以为说不清。
终于从百度上又搜到一篇，专门分析这个问题的文章。把微元面积当圆台处理。圆台的侧面积公式=（上周长+下周长）/2 X 母线长，这母线长就是弧元长ds。得来全不费功夫，总算找到理论根据了哈。下面是正式的圆台公式：
圆台侧面积s=π(r1+r2)√((r1-r2)^2+h^2)
圆台的体积v=πh/3(r1^2+r1r2+r2^2)
截面近似圆台的上半径r1=y+dy，下半径 r2=y, 高h=dx
表面积微元 dS=π(y+y+dy)√(dx^2+dy^2)=π(2y+dy)√(dx^2+dy^2)
体积的微元 dV=πdx/3(y^2+y(y+dy)+(y+dy)^2) =π/3(3y^2+3ydy+dy^2)dx
舍掉二阶无穷小项，有：
体积 dV=πy^2 dx，表面积 dS=2πy √(dx^2+dy^2）
所有的谜团都完美解决，也掌握微元的推导方法，对微元计算不可凭想象胡猜。那篇文章总算点到要点了，圆台侧面积公式是关键。圆台的侧面积公式=（上半径+下半径）X π X 母线长。母线长就是积分中的弧元长， 这应该满意了吧。这个问题就算彻底解决了，用积分解决问题的水平大大提高。
我们求积分，必须先求微元，如果球表面积的微元用周长乘以高来积分，就犯了荒唐错误，而有时某情况正确，恰是碰巧如球体积，所以，从这个可笑事件中是必须吸取瞎猜的教训，要掌握好微元的正确推导方法。
如积分求曲线与X轴围成的面积，当然可以直接写成积分S=∫ydx，但我们仍然用微元推导，微元是个“直角梯形”：下底y,上底y+dy,高dx ，则微元:
dS=(y+y+dy)/2 dx=(y+1/2dy)dx
去掉二级无穷小, dS=ydx S=∫ydx
再如，曲线长度的微元就是直角三角形的斜边，符合勾股定理，
曲线长度dL=√(dx^2+dy^2)。L=∫√(dx^2+dy^2)=∫√(1+y'^2)dx
球的截面微元是个圆台， 圆台的体积v=πh/3(r1^2+r1r2+r2^2)
球体积的微元 dV=πy^2 dx。V=π∫y^2dx
表面积微元是圆元的侧面积， 圆台侧面积s=π(r1+r2)√((r1-r2)^2+h^2)
球表面积微元 dS=2πy √(dx^2+dy^2）。
S=2π∫y√(dx^2+dy^2）=2π∫y√(1+y'^2)dx
这样，微元以三角形、梯形、圆台等方式用合法公式推导，我们就不会再犯低级的主观错误。
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