Areeba Merriam 中科院物理所 2023-09-12 12:03 发表于北京
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艾萨克牛顿的万有引力定律，也就是常说的牛顿引力定律，是物理学的一个基本原理。牛顿于1687年在他的开创性著作《自然哲学的数学原理》里发表了这一定律。
这个定律是说宇宙中的每一个物体都会对其他物体产生吸引力，这个力的大小跟两个物体的质量的乘积呈正比，跟它们中心之间的距离的平方呈反比，数学上表示为
其中，F表示引力，G是引力常数（大约为），和是两个物体的质量，r是它们中心之间的距离。
这个定律为理解地球上力学和天体力学提供了一个统一的框架——驱使地球上的物体落向地面的力和掌控天体运动的力是一样的。
这个方程表明能量正比于物体的静质量，比例系数是光速的平方。由于比例系数非常大，因此即使是很小的质量也可以转换成巨大的能量。
1905年，爱因斯坦发表了历来被认为是他最重要的研究论文——《物体的惯性依赖于它的能量吗？》（原标题：Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig）。爱因斯坦也不知道这篇文章后面会产生极为深远的影响，包括第二次世界大战中原子能的发现和利用。在这项开创性的工作中，爱因斯坦解释了质量和能量的等价性，证明了它们是相互联系并且能相互转化的。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，由奥地利物理学家薛定谔（Schrödinger）于1925年提出。这个方程描述量子系统的行为，例如电子和原子，并且在理解它们的波动性方面发挥着核心作用。这是一个偏微分方程，把量子态随时间的演化和它的空间特性以及能量联系了起来。
含时薛定谔方程为：
其中i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，表示波函数ψ随时间的演化，m是粒子质量，∇²是描述空间变化的拉普拉斯算符，V是势能函数，ψ是承载量子系统信息的波函数。
解薛定谔方程得到波函数ψ就可以得到对量子系统行为完备的描述。波函数的模平方|ψ|²给出了粒子在特定坐标空间或者动量空间下的概率密度。
对薛定谔方程的解产生了广泛的应用，从理解原子分子的行为到到发展诸如量子计算和量子密码学等量子科技。
麦克斯韦方程组是电磁学中四个基本的方程，由麦克斯韦在19世纪提出。它们描述了在电荷和电流存在的情况下电场和磁场的行为。
第一个方程为高斯电学定律，
即通过一个封闭曲面的电通量和这个面包围的电荷成正比。
第二个是高斯磁学定律，
这个方程指出不存在磁单极子。
第三个方程为法拉第电磁感应定律，
描述变化的磁场可以产生电场。
第四个是安培定律，
把电流和位移电流与磁场联系了起来。
综合来说，这些方程阐明了电场和磁场之间以及它们与电荷和电流相互作用的错综复杂的关系。这些方程支撑着经典电磁理论，为理解电磁波、无线电波、电流行为提供了基础。另外，麦克斯韦方程组在现代通信体系的发展、电气工程、狭义相对论等方面都发挥了很大的作用。它们的简洁优雅和预测能力使它们在电磁科技领域的研究和应用中发挥着不可或缺的作用。
热力学第二定律是物理学的基本原理，它涉及熵的概念和自然过程的方向性。
这个方程描述的是在一个封闭的系统中，总的熵（系统无序或混乱度的度量）随着时间推移是趋于增加的。简单来说，它描述了许多自然过程的不可逆性，以及系统总是趋于更无序的状态这一特性。
熵增与热量传递和能量流动有关。在能量从较热物体传向较冷物体的过程中，一部分能量以热的形式耗散了，从而增加了系统的熵。随着时间推移，温度逐渐相同并达到热平衡。
尽管密闭系统的总能量是守恒的，但是随着熵的增加，可以做有用功的能量是减少的。这就衍生出了“时间箭头”的概念，因为确定的物理过程是不可逆的，只能向一个方向流动。
当局部熵减少的时候（例如形成晶体），总是伴随着其他地方熵的增加。热力学第二定律提供了对物理系统的行为、能量转化的限制以及宇宙本身终极命运的基本洞察。
这个方程也叫普朗克定律，是量子力学的基础，由德国物理学家普朗克在1900年提出。它描述黑体辐射的谱分布，黑体是一个理想的模型，它完全吸收入射到它上面的辐射，并发射辐射。
ν
其中E是光子能量，h是普朗克常数，v是光子频率，c是光速。普朗克方程标志着量子理论的开端，因为它引入了能量量子化的概念。普朗克认为能量只能被离散地，以量子（quanta）的形式发射或者吸收，而不是连续的。这个概念奠定了量子力学发展的基石。
普朗克定律成功解释了黑体辐射在很宽温度和波长范围内的能量分布问题，解决了经典力学的问题。在解释一些现象，例如宇宙微波背景辐射和原子分子行为等方面发挥了关键作用。而且，它对随后量子力学和量子场论的发展起到了很大的作用，成为现代物理的基石。
牛顿第二定律是经典力学的基本原理，由牛顿在17世纪提出，它描述物体的加速度与施加在它上面的力成正比，与它的质量成反比。
数学上表示为，
其中，F代表作用在物体上的净作用力，m是物体的质量，a是加速度。
这条定律阐明力和运动之间的因果关系。当一个非平衡力作用在物体上时，物体就在力的方向上加速。施加的力越大，产生的加速度就越大。相反地，大质量的物体要产生和小质量物体一样的加速度，就需要施加更大的力。
牛顿第二定律有着广泛的应用，它在理解和预测物体在不同条件下的行为是至关重要的。它可以解释从下落的苹果到绕轨运行的行星等一切物体的运动。而且，这条定律构成了工程学的基础，例如对结构、车辆、机械的理解和设计。
波动方程是描述各种场中的波动现象行为的基本偏微分方程。它可以应用到很广泛的物理系统，包括声、光、电磁波等。
一维形式的波动方程为：
其中u(x,t)表示坐标x时间t时波的位移，c是波速。这个方程是说波位移关于时间的二阶导(∂²u/∂t²)正比于其关于坐标的二阶导(∂²u/∂x²)，比例系数是c²。
波动方程确保波以光速c传播，并且展示出诸如波的干涉、衍射、反射等特性。波动方程的解描述了波在空间和时间上的演化。
波动方程在物理、工程和其他一些领域有广泛的应用，它用在声学中研究声波和振动，用在光学中分析光的传播，用在电磁学中去理解电磁波。另外，在地震学、信号处理、电子通讯等领域波动方程也起着重要作用。
因为对波动现象进行了严格的数学描述，波动方程在理解和预测波的行为方面发挥了关键作用，同时也促进了大量科学和技术领域的发展。
1915年提出的爱因斯坦场方程是爱因斯坦广义相对论的基石。这个方程以张量的形式隐含了10个偏微分方程。
方程的数学形式为：
μνμν
其中是μν是爱因斯坦张量，代表时空曲率，G是引力常数，c是光速，μν是应力-能量张量，描述宇宙中物质和能量的分布。
这个方程把质量和能量与时空几何联系了起来。本质上，这个方程表明质量和能量会引起周围时空的弯曲，导致周围的物体沿着曲线运动，这就是我们之前提到的引力。
爱因斯坦场方程使我们对宇宙有了深刻的认识，成功解释了水星轨道的进动、大质量物体周围光线的弯曲（引力透镜）以及黑洞的存在等现象。此外，爱因斯坦场方程也是宇宙学的基础，可以用来描述宇宙膨胀和大尺度结构的形成。
狄拉克方程式量子力学和相对论量子场论的基本方程，由英国物理学家狄拉克与1928年提出。它描述费米子——例如电子——在相对论框架下的行为，这个方程结合了量子力学和狭义相对论。
狄拉克方程的数学形式为：
其中是ψ费米子波函数，γμ是4*4的矩阵，称作狄拉克矩阵，Δµ是四梯度算符，m是费米子的静止质量，c是真空中的光速。
狄拉克方程预言了组成物质的基本粒子——自旋1/2粒子的存在。它成功解释了诸如电子自旋、原子光谱的精细结构、强电磁场中粒子的行为等现象。
狄拉克方程的一个重要结果是预言了反物质的存在，狄拉克的工作表明这个方程允许同时存在正能量和负能量的解，这就在理论上预言了反粒子的存在，例如正电子（电子的反粒子）。
狄拉克方程式量子场论的重要组成部分，尤其是在粒子物理标准模型的建立中发挥了关键作用。
洛伦兹变换是爱因斯坦狭义相对论的基础。它们描述在不同的运动参考系中测量到的时间和空间变化，尤其是当参考系的运动接近光速运动的时候。
其中（t,x,y,z）和(t′, x′, y′, z′)是一个事件在两个参考系中的坐标，两个参考系的起始时刻都在t=t′=0处。从静止参考系来看，运动参考系以速度v沿着x轴运动。
在20世纪早期，为了使麦克斯韦方程组与伽利略相对论一致，洛伦兹导出了洛伦兹变换，爱因斯坦后面把它们应用到他开创性的理论——狭义相对论中。
洛伦兹变换涉及到两个主要的方面：时间膨胀和长度收缩。洛伦兹变换证明了随着物体速度的增加，时间相对于静止的观察者会变慢，物体的长度沿着运动方向会变短。当物体的速度接近光速的时候，这些现象变得尤为明显，此时时间几乎静止，物体的长度几乎为零。
洛伦兹变换把时间和空间统一到一个四维的时空框架下，这就使得光速在任何参考系中都是一个固定不变的常数，从而得到了重要的结论，例如同时的相对性、质量和能量的等价性(E=mc²)。
洛伦兹变换在很多领域都有重要应用，包括粒子物理、宇宙学以及GPS之类的技术的发展。在GPS系统中，精确测量必须考虑相对论的影响。
玻尔兹曼熵根据澳大利亚物理学家玻尔兹曼的名字命名，是统计力学中的一个基本概念，它在微观层面上量化了一个物理系统的无序或者混乱程度。它度量的是当一个系统保持相同的宏观特性，例如能量或者温度时，这个系统包含的不同微观状态的数目。
一个高度有序或者低熵的系统有更少的微观状态，相反，一个无序或者高熵的系统有大量的微观状态。
玻尔兹曼熵的公式表达为：
其中S是熵，k是玻尔兹曼常数，Ω是给定的宏观状态包含的微观状态的数目。
玻尔兹曼熵的概念被用来理解物理、化学甚至信息论中的各种现象，它有助于解释气体的行为、相变的特性以及热力学中的不可逆性的概念。
玻尔兹曼熵最重要的贡献之一是它和热力学第二定律联系了起来，热力学第二定律是讲封闭系统的熵随着时间总是增加的。这种联系强调了物理系统向更无序状态和更大的熵发展的不可阻挡的趋势，为我们理解时间箭头和自然过程的不可逆性提供了基础。
海森堡不确定性原理是量子力学的基本概念，在1927年提出，以德国物理学家海森堡的名字命名。它描述的是对于一个量子系统来说互补的变量在进行同时精确测量时总是会受到固有极限的限制。
这个原理的一个著名例子是坐标-动量不确定性关系。这个不确定性关系是说对一个粒子的位置测量的越精确，对它的动量测到的就越不精确，反之亦然。
数学上表示为，
其中Δx表示位置不确定度，Δp是动量不确定度，ħ是约化普朗克常数。
这个原理表明了量子系统固有的概率特性，即测量行为本身就影响到了粒子的状态，使得同时精确测量粒子的位置和动量是不可能的。
哈勃定律是宇宙学的基本原理，由美国天文学家哈勃的名字命名，他在20世纪20年代做出了开创性的发现。哈勃定律描述星系离地球的距离和它们的红移之间的关系，红移是在宇宙膨胀下星系发出的光向长波方向移动的度量。哈勃定律的数学形式为：
其中v是星系远离的速度（通过它们的红移测量），H₀是哈勃常数（代表宇宙膨胀的速度），d是星系离地球的距离。这个简单的线性关系表明，星系离我们越远，它们移动的速度就越快。
哈勃定律的发现是宇宙学的一次革命，它强有力的证明了大爆炸理论，支持了宇宙是从一个热而致密的初始状态逐渐膨胀的观点，从而引出了膨胀宇宙的概念，以及空间本身正在伸展而导致星系之间互相远离的认识。
哈勃定律对我们理解宇宙的过去、现在和未来有着深远的影响，哈勃常数是该定律中的一个关键常数，经过这么多年的不断完善，形成了我们对宇宙年龄和大小的认识。
纳维-斯托克斯方程是流体力学中的一组偏微分方程，用来描述流体物质（例如气体和液体）的运动。它是以法国数学家、物理学家纳维和爱尔兰数学家斯托克斯的名字命名，他们在19世纪独立构造了这个方程。
这个方程数学上表达了流体中动量和质量的守恒。它描述流体速度场随时间的演化，综合考虑了流体的粘滞性、密度以及诸如压力、引力等外力的影响。
纳维-斯托克斯方程可以表示成矢量的形式：
其中，是密度，v是速度，p是压强，T是压力，f是外力，v是速度梯度，是散度。
从河流和海洋中水的流动到大气中气流的动力学，纳维-斯托克斯方程是理解很多流体现象的基础。它在很多领域，包括空气动力学、天气预报、海洋学、工程学中都有应用。
尽管它很重要，但是在大多数实际问题中解析地解纳维-斯托克斯方程是很困难的。在许多情况下，用数值方法和计算流体动力学（computational fluid dynamics ,CFD）技术获得近似解，从而对流体行为进行理解。
作者：Areeba Merriam
翻译：小聪
审校：深浅
原文链接：The Mathematical Formulas That Revolutionized Our Understanding of the Universe
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