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不可思议——两个等价数学量, 竟分别成为了科学的噩梦与基石!

爱因斯坦说过:宇宙最不可理解之处是它是可以理解的。爱因斯坦所说的理解,更多指的是他相信整个宇宙的运行秩序是严格建立在一些数学方程之上的,掌握了这些方程,就完全理解了整个宇宙。因此,自爱因斯坦晚年所研究的统一场论延续下来的终极理论的建立,是所有物理学家的共同梦想。

但是,在融合与量子力学的道路上,遭受到一些突如其来的无穷大的无情打击,眼看着建立在无穷小之上的科学体系毁于一个个无穷大的计算结果,科学家也只能哭笑不得。

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自从牛顿1687年发表《自然哲学的数学原理》以来,数学已经成为了科学家以理性的态度研究这个世界的最好工具。因为任何一个科学理论,要想对世界做出与实验相符的准确预言,都必须建立在严格的数学体系上,依据一定的参数,按照理论的数学表达经过准确运算才能得到正确结果。这就是说,一个好的科学理论一定是与数学紧密结合在一起的。自然,理论计算出的结果想要有实在意义,前提是必须存在数学意义,而一个无穷式的结果如果连数学上的定量性都丧失了,那它的出现对于科学理论来说就是一场灾难。

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因为无穷小与无穷大在本质上是相通的,因此可以说,现代科学的背后蕴含着一个不可思议的现象——数学中的无穷大俨然成为了所有科学家的噩梦,而无穷小却是所有科学的根基。这个现象具体有什么意义,向我们暗示着什么?

无穷大可以用无穷小表示出来,分子为任意有限数(非无穷小或0)的分式中,分母一旦出现无穷小,整个分式就成为了无穷大。从这一点上就可以看出,无穷大与无穷小在数学本质上是具有某种等价性的,无穷小与无穷大是互为因果的。

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一个简单的事实是,无穷大在数学上是不能够单独处理的,而两个无穷大却是可以相互进行比较的。也就是说,单独的一个无穷大在数学上是无法理解的,因为它已经超出了定量的范围,但是两个或多个无穷大放在一起进行计算,往往可能得出有限的结果。例如2a/a这个式子,在a趋向于无穷大时,分子、分母都会趋向于无穷大,但它们的比值总是一个固定的数2。

与数学不同的是,物理学的理论计算中一旦出现无穷大,就意味着灾难的来临,基本整个理论体系都会因无穷大的出现而被打碎,更不用说对无穷大的物理性质进行某种比较与计算。例如,在黑洞中心的奇点处,时空曲率成为了无穷大,质量密度也变得无穷大,广义相对论整个理论体系,在黑洞奇点处完全失效。类似的情况也发生在宇宙大爆炸的奇点处,所以大爆炸理论仅仅只能描述宇宙在爆炸以后发生了些什么,而对于大爆炸本身,是没有任何发言权的。无穷大的计算结果,同样常见于量子场论的紫外发散及广义相对论与量子力学的融合中,这也就是科学家迟迟不能得到一个终极理论的本质原因,而弦论与圈量子引力的出现就是为了回避无穷大的计算结果的产物。

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再来看无穷大的等价形式,无穷小。牛顿与莱布尼茨的微积分,在现代科学中已经成为了基本的分析工具,可以说微积分就是整个现代科学体系的基础,而这个基础,恰恰就是严格建立在对无穷小的逻辑分析上的。因为微积分中最重要的概念是导数,而它就是两个无穷小量的比值。例如,广义相对论描述的时空模型是黎曼流形,如果没有微积分的概念,对这种弯曲几何的定量分析就是完全不可能完成的一件事,甚至于连参考系变换的数学表述也是无法完成的,更不用说依赖于参考系变换的张量的表述。

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先前说到了,无穷大与无穷小在数学本质上是具有某种等价性的,可是一个是现代科学的噩梦,另一个却是现代科学的基础。从这里,在我们内心深处,似乎对现代科学体系基石的稳固性产生了一丝怀疑,实际上这种怀疑在数学上已经被柯西的一系列精妙绝伦的关于极限与无穷小的定义给消除了,但是物理学上无穷小的真实性,仍旧是一个谜。而量子引力的几大主流理论中,最短距离与最短时间(普朗克长度、普朗克时间)的出现,似乎暗示着在现实世界中是不可能找到任何一个具有实在意义的无穷小的。另一方面,无穷大却似乎在一些宇宙学家的心中有一定的意义,因为他们认为宇宙的几何模型中,一个无穷大的发散宇宙是一个可能真实出现的场景。但是最近的一项研究显示,宇宙很可能并不是一个无穷大的马鞍面,而是有限尺度的闭合三维球面。

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写到最后,作者个人的主张在客观的层面上,已经表现得很明显了——无穷小在现实世界中是不存在,它的另一个表现形式无穷大也是不具有物理真实性的。而当我们彻底认识了无穷大与无穷小,不会动摇现实宇宙在近似层面上与现有数学体系的贴合度,但是一定会彻底改变物理学对实在的研究态度与方式!

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来自:柳家李红  > 教育
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