function y=lagrange(x0,y0,x) %拉格朗日插值函数 %n 个节点数据以数组 x0, y0 输入(注意 Matlat 的数组下标从1开始), %m 个插值点以数组 x 输入,输出数组 y 为 m 个插值 n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end
1 2 3 4 5 | x0=1:1:20; y0=x0.^2-20*x0-5; x=1:0.1:20; z=lagrange(x0,y0,x); plot(x,z,':',x0,y0,'ko'); |
运行结果：
MATLAB现成的插值函数为interp1，其调用格式为： yi= interp1(x,y,xi,'method')
其中x，y为插值点，yi为在被插值点xi处的插值结果；x,y为向量， 'method'表示采用的插值方法，包括：
'method'：是最近项插值; 'linear'：线性插值;（默认）
'spline'：逐段3次样条插值; (下面的三次样条插值会用到) 'cubic'：保凹凸性3次插值
'pchip'：分段三次Hermite 插值。
例如：在一天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为
12，9，9，1，0，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13，
推测中午12点（即13点）时的温度．
x=0:2:24; y=[12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13]; x1=0:0.5:24; y1=interp1(x,y,x1,'linear'); plot(x,y,'bo',x1,y1,'r:');
运行结果：
如果要求插值函数不仅在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至高阶导数值，这就是埃尔米特插值问题。
已知f（x）的n+1个节点的函数值f（xi）以及导数值f`（xi），可得一个至多n+1次的多项式H（x），即hermite插值多项式。
新建以下这个函数：
function y = hermite( x0,y0,y1,x ) %埃尔米特插值多项式 %x0为点横坐标 %y0为函数值 %y1为导数值 %m个插值点用数组x输入 n=length(x0);m=length(x); for k=1:m yy=0.0; for i=1:n h=1.0; a=0.0; for j=1:n if j~=i h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2; a=1/(x0(i)-x0(j))+a; end end yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i)); end y(k)=yy; end
所谓样条（ Spline）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线（称为样条曲线），并使连接点处有连续的曲率。
数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。
在实际中最常用的是二次样条函数和三次样条函数：
首先，我们注意到s2 (x)中含有 n + 2 个特定常数，故应需要 n + 2 个插值条件，因此，二次样条插值问题可分为两类：
（1）已知插值节点xi 和相应的函数值 yi (i = 0,1,…,n) 以及端点 x0 （或 xn ）处的导数值y'0（或y'n）
（2）已知插值节点xi 和相应的导数值 y'i (i = 0,1,…,n) 以及端点 x0 （或 xn ）处的函数值y0 （或yn ）
由于 s3 (x)中含有n + 3 个待定系数，故应需要 n + 3 个插值条件，已知插值节点xi 和相应的函数值 f(xi ) = yi (i = 0,1,…,n) ，这里提供了 n + 1 个条件，还需要 2 个边界条件。因此，三次样条插值问题可分为三类：
（1）s'3 (a) = y'0 ,s'3 (b) = y'n 。由这种边界条件建立的样条插值函数称为 f(x) 的完备三次样条插值函数。
特别地,y0' = yn`= 0时，样条曲线在端点处呈水平状态。
如果 f' (x) 不知道，我们可以要求 s'3 (x) 与 f' (x) 在端点处近似相等。这时以x0 , x1 , x2 , x3 为节点作一个三次 Newton 插值多项式 Na (x) ，以 xn, xn−1, xn−2, xn−3 作一个三次 Newton 插值多项式 Nb (x) ，要求s' (a) = N'a (a), s' (b) = N'b (b)
由这种边界条件建立的三次样条称为 f(x) 的 Lagrange 三次样条插值函数。
（2）s"3 (a) = y"0 ,s"3 (b) = y"3 。特别地 y"n = y"n = 0 时，称为自然边界条件。
（3）s'3 ( a + 0) = s'3 ( b − 0), s"3 (a + 0) = s"3 (b − 0) ， (这里要求 s3 (a + 0) =s3 (b − 0) )此条件称为周期条件。
Matlab中的函数：
1、y=interp1(x0,y0,x,`spline`);%(spline改成linear，则变成线性插值)
2、y=spline(x0,y0,xi);%这个是根据己知的x，y数据，用样条函数插值出xi处的值。即由x,y的值计算出xi对应的函数值。
3、pp=spline(x0,y0);%是由根据己知的x，y数据，求出它的样条函数表达式，不过该表达式不是用矩阵直接表示，要求点x`的值，要用函数y`=ppval(pp,x`);
4、pp=csape(x,y,'变界类型','边界值conds');生成各种边界条件的三次样条插值. 其中,(x,y)为数据向量,边界类型可为:
'complete'：给定边界一阶导数,即默认的边界条件,Lagrange边界条件
'not-a-knot'：非扭结条件,不用给边界值.
'periodic'：周期性边界条件,不用给边界值.
'second'：给定边界二阶导数.
'variational'：自然样条(边界二阶导数为[0,0]
边界值conds可用1x2矩阵表示,矩阵元素取值为1,2,此时，使用命令
pp=csape(x0,y0_ext,conds)
其中 y0_ext=[left, y0, right]，这里 left 表示左边界的取值， right 表示右边界的取值。
conds(i)=j 的含义是给定端点 i 的 j 阶导数， 即 conds 的第一个元素表示左边界的条
件，第二个元素表示右边界的条件， conds=[2,1]表示左边界是二阶导数，右边界是一阶
导数，对应的值由 left 和 right 给出。
表 1
x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15
y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6
要求用 Lagrange、分段线性和三次样条三种插值方法计算。
编程实现：
clear,clc x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]; y0=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]; t=0:0.05:15; %拉格朗日插值函数 y1=lagrange(x0,y0,t);%调用编写的lagrange函数 dy1=(lagrange(x0,y0,0.0001)-lagrange(x0,y0,0))/0.0001%x=0处斜率 min1=min(lagrange(x0,y0,13:0.001:15))%13到15最小值 subplot(2,2,1); plot(x0,y0,'ro',t,y1);%画出曲线 title('拉格朗日插值函数'); %分段线性插值 y2=interp1(x0,y0,t,'spline');%注意区分spline与linear Y2=interp1(x0,y0,t);%默认linear dy2=(interp1(x0,y0,0.0001,'spline')-interp1(x0,y0,0,'spline'))/0.0001%x=0处斜率 min2=min(interp1(x0,y0,13:0.001:15,'spline'))%13到15最小值 subplot(2,2,2); plot(t,y2,'b',t,Y2,'r',x0,y0,'ro');%画出曲线 title('分段线性插值'); legend('边条','线性');%显示图形图例 %三次线条插值A y3=spline(x0,y0,t); dy3=(spline(x0,y0,0.0001)-spline(x0,y0,0))/0.0001%x=0处斜率 min3=min(spline(x0,y0,13:0.001:15))%13到15最小值 subplot(2,2,3); plot(x0,y0,'ro',t,y3);%画出曲线 title('三次线条插值A'); %三次线条插值B pp1=csape(x0,y0);%默认的边界条件,即给定边界一阶导数 pp2=csape(x0,y0,'second');%给定边界二阶导数 y4=ppval(pp1,t); Y4=ppval(pp2,t); dy4=(ppval(pp1,0.0001)-ppval(pp1,0))/0.0001%x=0处斜率 min4=min(ppval(pp1,13:0.001:15))%13到15最小值 subplot(2,2,4); plot(t,y4,'b',t,Y4,'r',x0,y0,'ro');%画出曲线 title('三次线条插值B'); legend('一阶','二阶');
运行结果：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 | dy1 = -55.2855min1 = 0.9391dy2 = 0.5023min2 = 0.9828dy3 = 0.5023min3 = 0.9828dy4 = 0.5007min4 = 0.9851 |
综上，可以看出，拉格朗日插值函数根本不能应用，分段线性函数的光滑性较差，推荐三次样条插值。
同时，可以看出，interp1(x0,y0,’spline’)等价于spline(x0,y0)。
最后，将上述所有情况封装起来，变成下列函数：
function y = showAllInterp( x0,y0,s,t)%显示x0,y0之间所有不同类型的插值情况%字符串s选择要输出的插值类型：%all：全部类型 lagrange：拉格朗日插值函数%linear：分段线性插值 spline：三次线条插值A%csape：三次线条插值Bif(nargin<4) t=linspace(x0(1),x0(length(x0)),500);%默认endswitch s case 'lagrange' %拉格朗日插值函数 y1=lagrange(x0,y0,t);%调用编写的lagrange函数 plot(x0,y0,'ro',t,y1);%画出曲线 title('拉格朗日插值函数'); if(nargout==1) y=y1; end case 'linear' %分段线性插值 y2=interp1(x0,y0,t);%默认linear plot(x0,y0,'ro',t,y2,'b');%画出曲线 title('分段线性插值'); if(nargout==1) y=y2; end case 'spline' %三次线条插值A y3=spline(x0,y0,t); %等价于interp1(x0,y0,t,'spline'); plot(x0,y0,'ro',t,y3);%画出曲线 title('三次线条插值A'); if(nargout==1) y=y3; end case 'csape' %三次线条插值B pp1=csape(x0,y0);%默认的边界条件,即给定边界一阶导数 pp2=csape(x0,y0,'second');%给定边界二阶导数 y4=ppval(pp1,t); Y4=ppval(pp2,t); plot(t,y4,'b',t,Y4,'r',x0,y0,'ro');%画出曲线 title('三次线条插值B'); legend('一阶','二阶'); if(nargout==1) y=y4; end case 'all' %显示全部 y1=lagrange(x0,y0,t);%调用编写的lagrange函数 subplot(2,2,1); plot(x0,y0,'ro',t,y1);%画出曲线 title('拉格朗日插值函数'); y2=interp1(x0,y0,t);%默认linear subplot(2,2,2); plot(x0,y0,'ro',t,y2);%画出曲线 title('分段线性插值'); y3=spline(x0,y0,t); %等价于interp1(x0,y0,t,'spline'); subplot(2,2,3); plot(x0,y0,'ro',t,y3);%画出曲线 title('三次线条插值A'); pp1=csape(x0,y0);%默认的边界条件,即给定边界一阶导数 pp2=csape(x0,y0,'second');%给定边界二阶导数 y4=ppval(pp1,t); Y4=ppval(pp2,t); subplot(2,2,4); plot(t,y4,'b',t,Y4,'r',x0,y0,'ro');%画出曲线 title('三次线条插值B'); legend('一阶','二阶');end
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