[案例背景]
小学生以具体形象思维为主，逐步向抽象思维过渡，这个阶段的抽象思维仍然占有很大的具体形象性。但是，在我们日常教学活动中，研究如何培养学生抽象思维能力较多，研究如何培养学生形象思维能力较少，造成在实际教学中，学生在对具体事物（图形）直观感知以后，教师还没有引导学生对直观感知的材料进行概括，在学生头脑中形成鲜明的形象，并能运用这种形象进行思维，就直接跳到抽象概念，使学生对所学的知识一知半解。
现代科学表明：人的大脑可分为左右两个半球，左半球主管语言、逻辑数字的运算加工，而右半球则主管音乐、美术、空间的知觉辨认。从思维角度看，即人的左脑主管抽象思维，而右脑则主管形象思维。人的思维活动往往是通过左、右脑机能的“谐振”来完成的。教育的根本目的，在于最大限度地开发学生大脑的潜能，培养能力。
[案例理论]
思维是人脑对客观事物的本质和事物内在规律性关系的概括与间接性反映。思维能力是智力的核心，也是数学能力的核心。我国思维科学的开拓者钱学森认为人类思维可分为形象思维，逻辑思维和灵感思维。形象思维是人的头脑运用形象（表象）进行的一种思维活动。逻辑思维是对事物的间接，概括的认识，它用抽象的方式进行概括，并用抽象材料（概念，理论，数字）进行思维。虽然二者所取的方式不同，但都可以认识事物的本质，而在大多数情况下，它们是结合作用的，扬长避短，各显其能，共同探究事物的奥妙。
现在，对脑功能的研究表明：形象思维和抽象思维是相互联系、相互补充的。两种思维都有各自的特点和优势，但同时又都有各自的不足。没有抽象思维的作用，形象思维缺乏目的性、自觉性，并且是不严密的；而没有形象思维的作用，抽象思维是枯燥、贫乏和呆板的。
片段一：
在教学“平行四边形面积计算”时，通过割补法把平行四边形转化成长方形后，我提了以下两个问题：
①大家认真观察，割补后的长方形与原来的平行四边形有哪些联系？这样设问，就有较高的思维价值，学生要说的话很多，就有参与的兴趣。
②根据上面的发现，你能推出平行四边形面积的计算公式吗？由于学生已经明确两个图形之间的内在联系，建立了长方形和平行四边形的空间形式，完全有可能进行加工、整理，进而独立地推出公式。这样他们就会积极参与，参与也更加有效，由此而得出的平行四边形面积的计算公式理解很深、掌握很好。
片段二：
在教学数学活动课时有这样一道题：“在一个笼子里饲养的鸡和兔，共有10个头，26只脚，问鸡和兔各几只？”这道题用一般的综合法与分析法，无法找到解题的门路，需要用假设法解：假如笼子里养的全是鸡，10只鸡应有20只脚，还差6只脚，每少一只鸡多一只兔子，要多出2只脚；少3只鸡，正好多出6只脚，由此可见，笼子里养了7只鸡，3只兔子。此题的数量关系对小学生来说，比较抽象而隐蔽，难以理解。但如果画出图，题中的内容就会形象地反映在图上，借助图形，形象思维与抽象思维相结合进行分析，则易找出解题途径，先教学生画10只小动物，每只动物两只脚， 数一数是20只脚，还差6只，再把这6只脚添在小动物身上，每个添2只……
从分析图上一看，就知道这个笼子里养了3只兔子，7只鸡。这一实例很清楚地说明：分析图把应用题画出来，即使数量关系复杂而隐蔽的题目，解题思路也会一看即知，不讲自明。
片段三：
教学“圆周长”时，我给学生提供了足够的时间、空间和物质材料，除了提供便于滚动的硬纸片圆，纸上画的圆、绳、尺子外，还提供便于折叠的纸片圆。让学生借助己有的知识经验去实践，去操作。有的学生用绳绕圆一周，量出圆周长，有的学生将圆在尺上滚动一周，测出圆周长，有的学生将圆折叠后量出圆周长的一部份，进而计算了圆周长，这些方法都很简单，但对学生来说却是个了不起的发明，直到他们发现黑板上的圆用他们的方法不便测量时，教师适当点拨，启发大家继续通过实验，找出圆周长的计算方法。
这样的教学，通过操作，从实物到图形，从具体到抽象，从亲自感知到理性概括，在推理过程中，数量关系与空间形式相互渗透转化，形象思维与逻辑思维交替使用，促进了学生思维的和谐发展。
【案例反思】
一、创设情境，启迪思维
小学生对教学知识的学习，一般是借助具体的形象或已有的表象，通过形象思维与抽象思维相结合进行的。在这个过程中，教师如能根据教学的需要，创设具体而生动的情境，使学生形成鲜明而深刻的表象或唤起己有的记忆表象，用以展开形象思维，那么，就会激发他们浓厚的学习兴趣，从而更加主动，更加积极，更有成效地投入学习。我在教学中，特别注意利用小学生好奇、好胜的特点，引发好奇心，激发主动参与的兴趣，把学生引入所提的问题情境中，使他们跃跃欲试。
陶行知先生曾说过：“没有生活做中心的教育是死教育，没有生活做中心的学校是死学校，没有生活做中心的书本是死书本。”数学是从现实生活世界中抽象出来的，我们在教学时应根据教材的特点，创设学生容易感知的生活情境，紧密联系日常生活中熟悉的景和物、人和事、学习与生活的实际。
二、直观操作，引导思维
心理学家皮亚杰认为：“思维从动作开始，切断了活动和思维的联系，思维就不能发展。”儿童的思维离不开动作，操作是智力的源头，思维的起点。儿童动手操作是发展思维的一个有效手段。因此，在教学中，教师要依据教材的特点，精心组织操作活动。动手操作一方面可以培养学生的操作能力，激发学生的学习兴趣，调动学生学习积极性。更重要的一方面是通过动手操作，让学生摆一摆，看一看，想一想，也就让学生通过多种感官去参与学习过程，寓思维于活动之中，促进学生思维发展。
如教学“求比一个数多几的数”的应用题：“有黄花5朵，红花比黄花多3朵，红花有几朵？”首先让学生操作，先摆5朵黄花，再在黄花下面摆红花，要求摆的红花比黄花多3朵，在操作过程中，使学生直观体会到红花包括两部分，一部分与黄花同样多，一部分比黄花多，把这两部分合起来，就是红花的朵数。这样使学生初步认识到求比一个数多几的应用题中两数之间的关系。这样以操作为手段，以表象为桥梁，很自然使学生形象思维过渡到抽象思维。
三、数形结合，促进思维
数形结合是形象思维和逻辑思维有机结合的一种重要教学方法。它主要是根据题意画图，把数学问题的数量关系展现在图上，让学生借助形象的支撑，运用形象思维与抽象思维相结合的方法，能够比较容易地找到解题的途径，并发展了思维。数形结合的方法主要有：
1、画示意图
如：“一块砖头的重量为1千克再加上半块砖重，问这块砖重多少？”如果形象地描绘此题的已知关系如下图所示，那么立即知道这块砖重2千克。
2、画线段图
线段图是一种半直观、半抽象的解题工具，在解题时如能根据题目所给的条件与问题画出线段图，可以形象、清楚地展现题中数量之间的关系，化难为易，迅速找出解决问题的方法。数和形的结合，有助于把抽象的数学知识形象化，帮助学生理解数学知识的难点。所以在教学中，我把教给学生画线段图的方法，当作一项基本训练，结合日常教学，有计划有目的地进行。有些应用题，学生解题时常常出现差错，但如借助形象画线段图，问题就迎刃而解。例如：“有32只鸡，鸡比鸭多15只，鸭有多少只？”这道应用题，很多学生见“多”就加，往往错误地列式计算为：32+15=47（只），可如果你让他先画线段图，再列式计算，学生马上会正确地列式计算：32-15=17（只）。所以在小学阶段，一方面要教会学生画线段图并利用线段图寻找解题思路，另一方面要培养先根据题意画出线段图，再根据线段图进行思考分析的习惯，直到不用线段图，能通过推理正确地解题为止。
3、画分析图
分析图是分析数量间的相互关系，从而寻找解题途径的一种图式。这种方法能帮助学生建立正确、丰富的表象，有助于理解抽象的数学知识，它一般适用于数量关系比较复杂，难度较大的题目。
小学生的思维是由具体形象思维向抽象逻辑思维发展的，具体形象思维是抽象思维发展的基础。一般抽象思维往往离不开形象思维的支持与帮助。以上三种数形结合的方法，把数学问题的关系画出来，是应用形象思维解题并逐步发展抽象思维的重要手段，是提高教学效益的重要途径。
四、展开想象、发展思维
想象是对记忆中的表象进行加工改造而创造新形象的思维过程，也是对过去在日常生活经验中已经形成的那些暂时联系进行新的组合的思维过程。想象根据其独立性，新颖性、创造性的不同，可分为再造性想象和创造性想象两种。在教学过程中，引导学生结合学习活动展开想象，不仅能有效地帮助学生解决多种数学问题，而且可以有效地发展学生的思维能力。
【策略建议】
数学中的抽象与形象两者本身是不可绝对分割的相互渗透的对立统一，在学生掌握数学知识形成数学能力的思维过程中，形象思维和抽象思维是根据思维的操作需要交替地使用的。因此我们在教学过程中要正确引导学生把两种思维相结合，发挥这两种思维的优势、互相补充、相辅相成，充分挖掘思维的潜力。
