用混沌理论解释湍流现象[转]

(2012-11-30 07:17:00)

标签： 杂谈

（作者：陈瑞熊  http://www.phypro.org/search/311.htm）

一、历史的简短回顾

湍流问题曾被称为“经典物理学最后的疑团”。因为它涉及到从微观到宏观许多时空尺度上的运动，它不仅和周围进行着能量交换，其内部也存在着各式各样的能量交换。有人估计,即使是一杯咖啡被搅拌时也会产生1012比特/秒的信息。难怪对湍流的研究进展甚缓，至今还停留在半经验理论的水平上。

早在阿基米德时代，人们就注意到了湍流现象。1883年雷诺（Reynolds）指出：当流体的雷诺数R大于某个临界值Rc时，它就从层流向湍流转化。尔后，他又提出了著名的雷诺方程，试图用确定论的方法来解决这个问题，然而始终没有得到明确的结果。

从本世纪30年代开始，泰勒（Taylor）、卡曼（Karman）、哥尔莫柯洛夫（Kolmogorov）、周培源等人创立了湍流的统计理论，把概率论的方法引进了这个领域。这不能不说是一个重大的进展，湍流中大漩涡套着中漩涡，中漩涡套着小漩涡，互相交叉互相混杂，这些运动着的漩涡数量之巨、种类之多、相互作用之繁决不是用几个甚至几十个确定论的方程可以描述的。这几十年来，湍流的统计理论有了很大的发展，但是对这个复杂的问题几乎没有引出什么定量的预测。

随着科学的发展，电子计算机的诞生，在最近的实验和理论研究中都出现了有希望的新方向，研究的重点是一些能为理论研究所接受的比较简单的湍流发生机制，研究的对象也从流体力学扩充到物理、生物、化学、天文、地学等领域。有人认为，对这个问题的研究很可能导致物理学的又一次革命——开辟对“复杂”系统研究的新途径。

二、新的方向

我们知道：从理论上解决湍流问题的重大障碍是流体力学基本方程——纳维尔—斯

托克斯（Navier－Stockes）公式的非线性。以前只知道这类方程的定常解不稳定，会出现分岔，至于这以后会发生什么就不清楚了。1963年，洛伦兹（Lorentz）在电子计算机上进行大气对流的数值实验时，发现一个完全确定的三阶常微分方程组，在一定的参数范围内给出了非周期的、看起来很混乱的输出。传统的观念根本无法解释洛伦兹的发现。起先他以为随机性来自计算机的误差，

在排除了种种随机因素后还是出现了上述现象。面对事实，他冲破了旧的观念，提出了一种新的湍流发生机制。由于受到当时科学水平的限制，人们没有也不可能意识到这项工作的划时代意义，加之论文登在一本不太出名的杂志上，所以一直过了将近十年，这项工作才被重视起来。人们开始认识到确定论系统的内在随机性——混沌（chaos）是客观事物固有的特性，对它的研究很可能导致湍流问题的突破性进展。

确实，混沌现象的发现是人类认识自然的又一次飞跃。以前，我们把对自然界的描述分为确定论和概率论这二套看起来完全对立的方法，取得了很大的成功。但是对造成它们之间差别的原因，以及它们之间的联系等一系列根本问题，却始终没有得到满意的答复。以致统计物理的奠基人玻尔兹曼（Boltzmann）也为此而苦恼万分，人们对随机性的出现存在两种观点。有文献认为，统计方法只是处理大量粒子体系的一种权宜之计，有朝一日它将要被精确的确定论计算淘汰掉。但是，比较多的人认为：对于大量粒子所组成的复杂系统而言，统计规律是它们本身所特有的，决不能把它还原为力学规律。从确定论到概率论的发展在哲学上常常用来说明量的增加必定导致质的改变。但是对于中间的转化过程，由于缺乏必要的手段，所以一直没有搞清楚。电子计算机的应用使我们找到了这个问题的答案：只要确定论的系统稍微复杂一点，它就会出现随机行为，被人奉为确定论的典型——牛顿力学——具有内在的随机性。在确定论和概率论的描述之间存在着由此及彼的桥梁。

混沌理论刚出现就解决了这个百年悬案，所以有人把混沌理论和确定论、概率论并列起来，作为人类认识客观世界的又一套方法论，称为混沌论。在近阶段，混沌理论在哲学上的意义远大于它在一些具体问题上的意义，它标志了人类对客观世界的认识已进入了一个新阶段——不仅对“非此即彼”的明晰形态，而且对“亦此亦彼”的过渡性形态都能进行比较详细的研究。与随机性相关的混沌理论以及与可能性相关的模糊数学都在迅速地发展着，虽然它们研究的对象不尽相同，但是它们所描述的都是客观事物的不确定性。

为了说明什么是混沌现象，我们考察如下的迭代过程：

如果把参数a限制在[0，2]区间内，上式便是从线段I=[-1，1]到它自身的一个非线性映象。这种映象可以记为f（xn），它表示经过n次迭代所得到的结果。f（x1），f（x2），…是对离散时间（n相当于tn，△t＝1）的不可逆演化序列。它所描写的是一个最简单的耗散系统。在参数a的增加过程中，迭代将出现多次突变。

当0＜a＜0.75时，在x∈[－1，1]内任选一个初值x0，迭代过程故谓之不稳定不动点或排斥子。当a变化时，原来的稳定不动点可能失稳，但同时又会产生新的不动点。

当0.75通向混沌之路

混沌运动是确定性非线性动力系统所特有的复杂运动状态，但即使对于这种系统，也只有当系统参数处于某一范围时才表现出混沌运动。系统从确定性运动过渡到混沌运动，即通向混沌的道路有4种。

1.倍周期分岔道路

这是一条通向混沌的最典型的道路：一个系统一旦发生倍周期分岔，则必导致混沌。不仅对于Logestic系统，其它如Duffing系统，Henon系统无不如此。Feigenbaum正是针对Logestic系统的开创性工作，发现并确定了两个普适常数。

2. 阵发混沌之路

通向混沌的第二条道路是阵发性（Intermittency）现象的出现。这主要指时间域中系统不规则行为和规则行为的随机交替现象。

阵发混沌，又称间歇混沌。它是由法国科学家Pomeau和Manneville于1980年所提出来的一条通往混沌之路，故也称PM 类阵发道路。

通过对于一维映射的研究，阵发性机理已被人们了解。它发生在一个切分岔（鞍结分岔）的邻域内。k越接近kc则阵发现象越为明显：当一个点从走廊的一端进入走廊之后，由于狭小，要经过长时间的迭代才能通过，并且在最狭窄处最慢，这时十分接近不动点——周期3的迭代情况；最后走出走廊的几大步跳表现为迭代值的大起大落。若再一次进入另一个走廊，则重复上述现象。这个在较长时间的近周期运动的不规则间断和随机性爆发，即构成阵发性现象。

Pomeau应用Floquet理论进一步把阵发性 分成三种型式。在周期轨道对应的不动点处，系统的 Poincare映射线性化系数矩阵则称之为Floquet 矩阵。矩阵本征值的模穿过复平面的单位圆表示周期轨道具有线性不稳定性——也即发生了 阵发性混沌。

3. 准周期混沌道路

准周期运动是通往混沌的第3条道路。

最广义地说，它是反映非线性耦合系统所造 成的节律变化。

提出的背景来自流体的湍流研究。20世 纪40 年代Landau和Hopf曾经猜测湍流的发生是经过无穷次准周期分岔。准周期分岔可以用环面分岔来描述。将不动点、极限环分别看作0环面，1环面，相应表示为T0，T1，……则准周期分岔（quasi-periodicity）通往混沌的（相当于湍流）转变可以描述为T1->……->Tn…..->chaos

且每一次分岔可以看作一次Hopf分岔，即 分岔出一个新的不可约频率。

伺后的实验却表明Landua和Hopf所提出的湍流发生机制并不符合实际。为此，1971年法国物理学家Rulle和荷兰数学家Takens发表《论湍流的本质》提出4维环面上具有4个不可公约的频率的准周期运动一般是不稳定的，经扰动而转变为奇异吸引子。

T4->chaos

即称为Rulle-Takens通往混沌之路。

1978年，Newhouse进一步把结果改为3 维环面上准周期运动不稳定而导致混沌，即

T3->chaos

是Newhouse道路。

十分遗憾，Newhouse道路“好景不长”。理论和实验均证明在稳定的3维环面 的准周期运动是典型的，通有的，即 Newhouse的T3->chaos道路被超越了。

准周期运动进入混沌的典型道路现在公认为:

T2->chaos

上述思路已为多个实验所证实。即

（1）不动点(平衡态)（2）极限环(周期运动)（3）二维环面(准周期运动) （4）奇异吸引子

(混沌运动)

4. KAM环面破裂

KAM定理指出：近Hamilton系统的轨线分布在一些环面（称为KAM环面），它们一个套在另一个外面，而两个环面之间充满混沌区。它在法向平面的截线称为KAM 曲线。对于不可积Hamilton系统，在鞍点附近发生很大变化：鞍点连线破断，并在鞍点附近产生剧烈震荡，这种震荡等价于Smale （以后要讲的）马蹄结构，从而引起混沌运动，相应的区域称之为混沌区。彭加勒研究的多体问题正是描述上面所 论的这种情况。

不管是哪一条路，我们都可以归纳出 动力学系统所演变的三个阶段，即有序， 复杂到混沌。其中，复杂在很大程度上即预示着混沌。

评:锻炼是从常人功能态线性区向超常非线性区过渡，其中调息，调身，调心，参话头等的过程本质上是增加系统非线性的手段，也为混沌控制手段，若调控得当可直入混沌区，在这一过程中，根据锻炼心法的不同，走向混沌的四种途径都可能出现，而倍周期分叉是稳定心法设计无可逃避的一环。一般类似湍流产生机制一样殊途同归可有多种道路通向湍流，最简单的是先层流失稳开始进入超常态出现T1周期（超凡预入圣流），然后在超常态再次失稳出现T2拟周期（守圣大成），最后走向混沌（三生万物，三圣来仪），如Swinney选用水银做工作物质时，在功率谱上看到了具有两个不可约频率的准周期运动及其失稳进入混沌状态的过程，表现为罗埃尔的道路。其中至于混沌区时呈现全息协同现象和分形特征，与倍周期关系密切的六十四卦象也在此状态下直观呈现，另有种种秘密征象不一而足，或万景迭现，或亿万化身，或诸缘齐至，或音声盈空，或六根互用，或察微鉴宏等，同时心身异常敏感，具有蝴蝶翅膀效应，易受种种微扰影响，实乃对应奇怪吸引子的形成。因混沌吸引子本为能量耗散所成之低维特殊吸引子，该状态宜以混沌大定心法迅速度越，灭圣归真，否则易有凶险，因此也常被炼家称为大死关和大疯关。若果心法纯正，可平稳度越此状态而介入能量守恒系统锤炼而有“不变”之谓即相体积维持不变，而相形却无穷多变而对应无穷多种运动形式和状态。