论逻辑学在数学中的运用

逻辑学是研究思维、思维的规定和规律的科学。但是只有思维本身才构成使得理念成为逻辑的理念的普遍规定性或要素。理念并不是形式的思维，而是思维的特有规定和规律自身发展而成的全体，这些规定和规律，乃是思维自身给予的，决不是已经存在于外面的现成的事物。

“创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。”而创新能力的培养，必基于宽厚、扎实的基础知识和敏锐、严谨的分析思辨能力。早在20世纪70年代，联合国教科文组织确定的数学、逻辑学、天文学、天体物理学、地球科学和空间科学、物理学、化学、生命科学七门基础学科中，逻辑学就列居第二。学习作为推理、思辨工具的逻辑学，对于提高我们的思辨能力、启发心智、掌握所需的科学知识、准确地表达思想、驳斥谬误、正确论证、进行创新性研究具有十分重要的意义。逻辑学在今天的整个教学体系中，处于我们不容忽视的学科基础地位。

在各个学科日益迅速发展的今天，逻辑学与我们其他的很多学科有了越来越密切的联系，他为我们其他的学科提供了思辨的源泉，我们的日常生活中的许多思维方式都是需要根据逻辑学的知识去推导论证。逻辑学也拉近了各个学科之间的距离，使得学科之间的相互联系也更加密切。数学可以说是与逻辑学关系最亲密的一门学科。一般意义上的逻辑问题都可以划归为数学意义上的逻辑问题，简而言之，就是逻辑学是数学的真子集。通俗地说：数学包含逻辑学。 而数学——逻辑——数学，这是现代数学的最为重要的发展模式之一。数学中的很多问题就涉及到了逻辑学中的概念定义、推理论证的规则等等。逻辑学的相关知识使得数学中一些推理论证更加容易，它为数学提供了直接思辨的源泉。数学中许多推理论证方法如直接证法、间接证法和数学归纳法等，就是直接从逻辑学中在引用的，而数学中推理论证也使得逻辑学更加的完善和正确。数学推理论证也可以看作逻辑学的具体运用..这里我们来谈论一下逻辑学中的反证法在数学中的应用。

反证法是属于逻辑学中“间接证明法”一类，它是从一个否定原结论的假设出发，经过正确的推理而得到（与公理、定理、题设等）相矛盾的结论，由于推理和引用的证据是正确的，因此出现矛盾的原因只能认为是否定原结论的假设是错误的，从而得到原结论成立。用反证法不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真．反证法也就是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

  反证法是一种以退为进的证明方法，就好像把拳头收回来再打出去会更有力，在论证某些问题的时候，运用这种证明方法也具有同样的效果。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。

实施的具体步骤是：

第一步，反设：设立逻辑值与原论题P相反的反论题非p，即原命题与其反论命题必须是矛

    盾关系。

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：根据排中律，说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

逻辑是一门重要的科学，任何一门严密的学科，都离不开严格的逻辑推理。