设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函

2015-01-02 13:43

设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=

2x+1

+k为闭函数，则k的取值范围是（　　）

A．（-1，- 1 2 ]

B．[ 1 2 ，1﹚

C．（-1，+∞）

D．（-∞，1）

菁优解析

考点：函数恒成立问题．查看本题

专题：新定义．

分析：若函数f（x）=

2x+1

+k为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即

a＝

2a+1

+k

b＝

2b+1

+k

，故a，b是方程x²-（2k+2）x+k²-1=0（x≥?

1

2

，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值范围．

解答：解：若函数f（x）=

2x+1

+k为闭函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，
即

a＝

2a+1

+k

b＝

2b+1

+k

，
∴a，b是方程x=

2x+1

+k的两个实数根，
即a，b是方程x²-（2k+2）x+k²-1=0（x≥?

1

2

，x≥k）的两个不相等的实数根，
当k≤?

1

2

时，

△＝[?(2k+2)]2?4(k2?1)＞0 f(? 1 2 )＝ 1 4 + 1 2 (2k+2)+k2?1≥0   2k+2 2 ＞? 1 2

，解得-1＜k≤-

1

2

．
当k＞-

1

2

时，

△＝[?(2k+2)]2?4(k2?1)＞0 f(k)＝k2?(2k+2)k+k2?1＞0 2k+2 2 ＞k

，无解．
故k的取值范围是（-1，-

1

2

]．
故选A．

点评：本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

• 首先应根据条件将问题转化成： 2x+1 =x-k在[- 1 2 ，+∞）上有两个不等实根．然后，一方面：可以从数形结合的角度研究两函数y= 2x+1 和y=x-k在[- 1 2 ，+∞）上的交点个数问题，进而获得问题的解答；另一方面：可以化简方程 2x+1 =x-k，得关于x的一元二次方程，从二次方程根的分布情况分析亦可获得问题的解答．解答：解：方法一：因为：f（x）= 2x+1 +k为[- 1 2 ，+∞）上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]， ∴ f（a）=a f（b）=b ，即f（x）=x在[- 1 2 ，+∞）上有两个不等实根，即 2x+1 =x-k在[- 1 2 ，+∞）上有两个不等实根． ∴问题可化为y= 2x+1 和y=x-k在[- 1 2 ，+∞）上有两个不同交点． 对于临界直线m，应有-k≥ 1 2 ，即k≤- 1 2 ．对于临界直线n，y′=（ 2x+1 ）′= 1 2x+1 ，令 1 2x+1 =1，得切点P横坐标为0， ∴P（0，1）， ∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，∴-k＜1，即k＞-1．综上，-1＜k≤- 1 2 ．方法二：因为：f（x）= 2x+1 +k为[- 1 2 ，+∞）上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]， ∴ f（a）=a f（b）=b ，即f（x）=x在[- 1 2 ，+∞）上有两个不等实根，即 2x+1 =x-k在[- 1 2 ，+∞）上有两个不等实根．化简方程 2x+1 =x-k，得x2-（2k+2）x+k2-1=0．令g（x）=x2-（2k+2）x+k2-1，则由根的