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浅谈初中数学教学中数学思想方法的渗透
淮安市第一中学    包士祥
内容提要
数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。
关键词：数学思想   新课程标准   渗透
正文
《数学课程标准》在对第三学段（七—九年级）的教学建议中要求“对于重要的数学思想方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程，不宜集中体现”。这就要求我们教师能在实际的教学过程中不断地发现、总结、渗透数学思想方法。
一、渗透化归思想，提高学生解决问题的能力
所谓“化归”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。这体现了研究科学的一种基本思路，即把“不熟悉”迁移到“熟悉”的路子上去。我们也常把它称之为“转化思想”。可以说化归思想在本教材的数学教学中是贯穿始终的。
例如：在教材《有理数的减法》、《有理数的除法》这两节内容中，实际上教材是通过“议一议”形式使学生在自主探究和合作交流的过程中，让学生经历把有理数的减法、除法转化为加法、乘法的过程，体验、学会并熟悉“转化一求解”的思想方法。我们可以注意到教材在出示了一组例题后，特别用卡通人语言的形式表明“减法可以转化为加法”、“除法可以转化为乘法”、“除以一个数等于乘以这个数的倒数”。这在主观上帮助了学生在探索时进行转化的过程，而在学生体会到成功后客观上就渗透了学生化归的思想。值得注意的是这个地方虽然很简单，但我们教师不能因为简单而忽视它，实践告诉我们往往是越简单浅显的例子越能引来人们的认同，所以我们不能错过这一绝佳的提高学生的思维品质的机会。再如教材《走进图形世界》，它实际上是“空间与图形”的最基本部分。教材在编排设计上是围绕认识基本几何体、发展学生空间观念展开的，在过程上是让学生经历图形的变化、展开与折叠等数学活动过程的，在活动中引导学生认识常见的几何体以及点、线、面和一些简单的平面图形；通过对某些几何体的主视图、俯视图、左视图的认识，在平面图形与立体图形的转化中发展学生的空间观念。在《七（上）教师教学参考资料用书》中，教材在设计思路上明确提出本章内容的处理方法是“先空间、后平图，再通过展开与折叠、从三个方向看数学活动进行平面图形与立体图形的转化。”这就要求我们必须在授课过程中注意图形的化归思想渗透。我个人认为在实际操作中，因为大部分学生在小学时就积累一定的感性处理方法，我们要注意的就是将其上升为理论高度，甚至于作出一般性的总结，如“在初中阶段绝大部分立体图形的问题都可以转化为平面图形的问题。”又如解无理方程转化为解有理方程，解分式方程转化为解整式方程，解“二元”方程转化为解“一元”方程，解多边形问题转化为解三角形问题等等。
二、渗透数形结合的思想方法，提高学生的数形转化能力和迁移思维的能力
数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这就是在强调把数和形结合起来考虑的重要性。把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化。
在教材《有理数》里面用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现，结合数轴表示有理数，能帮助学生较好地理解有理数的绝对值、相反数等概念，以及进行两个有理数的大小比较。

例1如上图，在数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，则表示下列结论正确的是（   ）
（A） （B）a-b＞0（C）2a+b＞0（D）a+b＞0
分析：本题首先引导学生根据a、b在数轴上的位置，得到a＜－1、0＜b＜1。值得注意的是这一步所得就是由形到数的过程，应引起学生思想上的关注。然后可以利用取特殊值的方法（如： ）,一一带入求解，从而获得答案。这就是完全将图形迁移到数量上来。我们也可以继续利用图形，在数轴上作出诸如 b，2a的长度，再利用线段的长短大小、加减和差来比较（A）（B）（C）（D）四个数量关系的正确与否。
容易发现，不管是用哪一种方法，都是把图形和数量结合起来的解题，这种巧妙的结合可以使一些纷繁无绪，难以上手的问题获得简解。
数形结合思想的渗透不能简单的通过解题来实现和灌输，应该落实在课堂教学的学习探索过程中，如在《相反数》这节课，先从互为相反数的两数在数轴上的特征，即它们分别位于原点的两旁，且与原点距离相等的实例出发，揭示这两数的几何形象。充分利用数轴帮助思考，把一个抽象的数的概念，化为直观的几何形象。在这种情况下给出互为相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数。特别地规定：零的相反数是零。显得自然亲切，水到渠成。同时也让学生在数形结合的思想方法的引领下感受到了成功，初步领略和尝试了它的功用，是一个非常好的渗透背景。
又如，在教材《平面图形的认识（一）》里我们会遇见这样的问题：已知线段AB，在BA的延长线上取一点C使CA=3AB。（1）线段CB是线段AB的几倍？（2）线段AC是线段CB的几分之几？
这个题目的呈现方式是图形式，而设问内容却是一个数量问题。若学生不画图，则不易得到其数量关系，但学生只要把图画出，其数量关系就一目了然。此题的出题意图即为数形结合的体现。
再看例2：完成下列计算：1+3=？
1+3+5=？
1+3+5+7=？
1+3+5+7+9=？
根据计算结果，探索规律。
在这题的教学中，首先应让学生思考：从上面这些算式中你能发现什么？让学生经历观察（每个算式和结果的特点）、比较（不同算式之间的异同），归纳（可能具有的规律）、提出猜想的过程。在探索过程中可以鼓励学生进行相互合作交流，也可以提供如下的帮助：



       
       
列出一个点阵，用图形的直观来帮助学生进行猜想。这就是典型的把数量问题转化到图形中来完成的题型。再如，在学习“函数”知识的时候，更是借助于函数的图象来探讨函数的知识，这是数形结合思想的最生动的应用。
所以，我们一定要通过课堂的教学、习题的讲解使学生充分地理解数中有形、形中有数、数形是紧密联系的，从而得到数形之间的对应关系，并引导学生应用数形结合的思想方法学习数学知识、解决数学问题。
三、渗透分类讨论的思想方法，培养学生全面观察事物、灵活处理问题的能力。
当被研究的问题包含多种可能的情况不能一概而论时，就要按照可能出现的各种情况进行分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想。
在渗透分类讨论思想的过程中，我认为首要的是分类。要能培养学生分类的意识，然后才能在其基础上进行讨论。我们仔细分析教材的话应该不难发现，教材对于分类的渗透是一直坚持而又明显的。比如在《有理数》研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的：在研究加、减、乘、除四种运算法则也是按照同号、异号、与零运算这三类分别研究的；而在《平面图形的认识（一）》一章中，用分类讨论思想进行了角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类，在《函数》知识里将函数图象分为开口方向向上、向下，单调递增、递减来进行研究。在《圆》中按圆心距与两圆半径之间的大小关系将两圆的位置关系分成了六类。在功用上这种思想方法主要可以避免漏解、错解，而在学生的思维品质上则有利于培养学生的思维严谨性与逻辑性。
我认为在渗透分类讨论思想的时候，我们还可以从学生已有的生活经验出发，紧密联系学生的生活实际、学习实际。比如在讲解“同类项”这个概念时，可出示导入题为：
把下面这些实际进行分类：
蛋筒、菠萝、棒冰、萝卜、菜椒、香蕉、白菜。
在分类的时候鼓励学生按多种类别进行分类，可以进行讨论交流。学生在尝试按种类、颜色等多种方法进行分类后，就可以非常自然的引出同类项这个概念了。学生尝试按种类、颜色等多种方法进行分类，一方面可提供学生主动参与的机会，把学生的注意力和思维活动调节到积极状态，另一方面可培养学生思维的灵活性，加速体现了分类的思想方法。
在《平面图形的认识（一）》这一章中有这样一道题：已知平面上三个点A、B、C，过其中每两点画直线共可以画几条？若平面上A、B、C、D四点呢？试分别画图说明。
分析：过平面上三点画直线有两种情况：（1）三点共线时，只能画一条直线；（2）三点不共线时，可画三条直线；过平面上四点画直线有三种情况：（1）四点共线时，只能画一条直线；（2）四点中有三点共线时，可画四条直线；（3）四点中任意三点都不共线时，可画六条直线。
再如例3：已知 =3， =2，求a+b的值。
解∵ =3， =2，
∴a=3或a=-3，b=2或b=-2。
因此，对于a、b的取值，应分四种情况讨论。当a=3，b=2或a=3，b=-2或a=-3，b=2或a=-3，b=-2时，分别求出a+b的值为5；1；-1；-5。
这些题目都能很好的体现分类思想，在平时的训练中，我们要多通过这类题的解答，渗透着分类讨论的思想。通过分类讨论，既能使问题得到解决，又能使学生学会多角度、多方面去分析、解决问题，从而培养学生思维的严密性、全面性。
四、渗透方程思想，培养学生数学建模能力。
方程思想指借助解方程来求出未知量的一种解题策略。运用方程思想求解的题目在中考试题中随处可见。同时，方程思想也是我们求解有关图形中的线段、角的大小的重要方法。
如例4：已知线段AC：AB：BC=3：5：7，且AC+AB=16cm，求线段BC的长。
解：设AC=3x，则AB=5x，BC=7x，
因为AC+AB=16cm，
所以3x+5x=16cm，解得x=2
因此BC=7x=14cm
我们知道方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。所以方程思想实际上就是由实际问题抽象为方程过程的数学建模思想。我们在以前老教材中经常会提到三种模型，即方程模型、不等式模型、函数模型。实际上就是今天所说的建模的思想。那么这样看来，方程就是第一个出现的数学基本模型。所以方程思想的领会与否直接关系到数学建模能力的大小。因此说我们对学生进行方程思想的渗透，就是对学生进行数学建模能力的培养，这对我们学生以后的学习都有着深远的影响。
苏科版七（上）教材在用方程解决问题的教学中，已经提出不再以题型进行分类，而着重强调对实际问题的数量关系的分析，突出解决问题的策略。我想这样的设计与安排正好就应和了我们对方程思想方法的渗透。我们在授课中可以引导学生借助图表、示意图、线段图来分析题意，寻找已知量和未知量的关系。而它们之间的那个相等关系实际上就是方程模型，只要能把各个量带入方程模型，问题就能得到解决了；另外我认为，方程的思想方法作为一种建模能力，应该体现在学生能自觉的去运用这种方法、手段（模型），这就要求我们能引导学生从身边的实际问题出发自行创设、研究、运用方程。其实教材中也给了我们这方面的材料，比如教材《一元一次方程》章首的天平称盐活动、数学实际室月历上的游戏等，都可以成为我们利用的情境。
五、渗透从特殊到一般的数学思想方法，加强学生创造性思维的形成和创新能力的培养
从特殊到一般的数学思想方法，即先观察一些特殊的事例，然后分析它们共同具有的特征，作出一般的结论。
新《数学课程标准》指出要发展学生的符号感，其中符号感的一个主要表现是要求学生能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示，而列代数式是实现这一目标的具体途径。
如用字母表示数，这是中学生学好代数的关键一步，要跨越这一步是有一定的困难的。从算术到代数，思维方式上要产生一个飞跃，有一个从量变到质变的发展过程，学生始终认为“－a是负数”，“两个数的和大于其中任何一个加数”等，这样就要求我们在教学中不断渗透从特殊到一般的数学思想方法，不断强化，逐步完成学生从数到式，由普通语言到符号语言，由特殊到一般，由具体到抽象的飞跃。
例5：1、填表：




若按照上图的摆法摆放餐桌和椅子，完成下表：
桌子张数        1        2        3        ……        n
可坐人数                                       






若按照上图的摆法摆放餐桌和椅子，完成下表：
桌子张数        1        2        3        ……        n
可坐人数                                       
2、变式问题：在桌数相同时哪一种摆法可坐人更多？
3、探索问题：
若你是一家餐厅的大堂经理，由你负责在一个宽敞明亮的大厅里组织一次规模盛大的冷餐会，你会选择哪种餐桌的摆法呢？
本题的设计是从学生熟悉的生活经历出发，选择学生身边的感兴趣的问题大胆探索，使学生对生活的数学化有较好的体验。在教学中我们先用特殊的具体数字总结出规律，再用一般的字母来表示。在这个过程中，并没有直接把结果“抛”给学生，而是让学生去探索、交流、归纳，经历从特殊到一般的知识形成过程，既促进了学生创造性思维的形成，也培养了学生的创新能力。
新《数学课程标准》中说“有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”，所以无论是从特殊到一般的数学知识的归纳形成过程，还是从一般到特殊的数学知识的验证应用过程，教师作为合作者、引导者，都应该提供足够时间和空间，让学生主动去从事各种数学活动，只有这样才能突出学生的主体地位，获得明显的教学效果。
在七年级教材中还蕴涵着其它的一些常用的数学思想方法。比如：整体思想、数式通性的思想、“元”的思想等等。这些都要求我们在教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象；同时还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力，这们才能把数学思想、方法的教学落在实处。
数学思想方法是数学思想和数学方法的总称。数学思想是对数学知识与方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学方法是解决问题的手段和工具。数学思想方法是数学的精髓，只有掌握了数学思想方法，才算真正掌握了数学。因而，数学思想方法也应是学生必须具备的基本素质之一。我们在教学时，应充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想和方法，设计数学思想方法的教学目标，结合教学内容适时渗透、反复强化、及时总结，用数学思想方法武装学生，使学生真正成为数学的主人。对于究竟应如何渗透，我认为没有固定的方法可言，但是我们可以做到积极的挖掘与引导，适当的训练与概括，合理的设计与运用，只要这样长期坚持下去，一定能够使学生较好的掌握数学思想方法，提高解题能力。
所以说从某种意义上讲，数学思想方法的教学甚至比传授知识更重要。因为思维的锻炼不仅对学生在某一学科上有益，更使其终生受益。站在“以学生发展为本”的角度上看，在教学中适时适度渗透数学思想方法将对培养学生可持续发展的能力有极大的好处，正适合现在方兴未艾的“素质教育”，其教学潜在价值更是不可估量的。