线性代数到底在讲什么？
不理解的知识，当然不会用！
本课程是专栏《20堂课极速理解线性代数》的精华凝炼图文版，10堂课帮助您真正从直观角度理解、消化、吸收线性代数的核心概念与核心算法。

正交阵的诞生

上节课我们讲了相似对角化，进一步地，再特殊一点，如果A矩阵是一个对称阵呢？

或者说，如果对称阵进行相似对角化分解呢：

这时我们把对称阵进行相似对角化分解得到的特征向量矩阵Z，称为

正交阵。

规范正交基

假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为标准正交基或''规范正交基''（Orthonormal basis）。

其实，一个正交矩阵就是一组规范正交基。

看看正交阵长什么样子吧：

Z矩阵中的向量，无论是列向量还是行向量，单位长度都是1，而且两两正交。

正交阵与自己的转置相乘，得到单位阵I。

来证一下：

从上面过程中，我们再一次重温了——

矩阵本身可以看成是向量的向量。

向量 x 的长度，用它的模 |x| 表示。如果这个向量进行了 Z 矩阵代表的变换，变成了 Zx，可以保证，长度没有发生变化，即：

那么，长度没变，什么变了呢，相对于原坐标系的角度变了呗。

两个向量 x 与 y 的夹角，用它们的内积来表示，即 (x,y)，如果分别进行了 Z 矩阵代表的变换，夹角也不变，即：

也就是说，如果一个物体上画两条线，可以想象，进过了Z变换，两条线的长度和夹角都没有变化，只是相对于原坐标系发生了变化，这说明什么？

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