一、平行线
(一)、性质:
(1)如果二直线平行,那么同位角相等;
(2)如果二直线平行,那么内错角相等;
(3)如果二直线平行,那么同旁内角互补;
(4)平行线间的距离处处相等。
(二)、识别:
(1)定义:在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
(2)判定定理(或公理)
①如果同位角相等,那么二直线平行;
②如果内错角相等,那么二直线平行;
③如果同旁内角互补,那么二直线平行;
④同垂直于一条直线的两条直线互相平行;
⑤同平行于一条直线的两条直线互相平行。
★练习
(一)反复比较,精心挑选:(在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的)。
1.在同一平面内,两条直线可能的位置关系是 ( )
A. 平行 B. 相交 C. 相交或平行 D. 垂直
2.下列说法正确的是( )
A. 若两个角是对顶角,则这两个角相等. B. 若两个角相等,则这两个角是对顶角.
C. 若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. D. 以上判断都不对.
3.下列语句正确的是 ( )
A. 两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补. B. 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直. C. 相等的角是平行线的内错角. D.从直线外一点作这条直线的垂直线段叫点到直线的距离。
4.点到直线的距离是 ( )
A. 点到直线上一点的连线 B. 点到直线的垂线.C. 点到直线的垂线段 D. 点到直线的垂线段的长度
5.判定两角相等,不对的是 ( )
A. 对顶角相等 B. 两直线平行,同位角相等. C. ∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3
D. 两条直线被第三条直线所截,内错角相等
6.两个角的两边分别平行,其中一个角是60°,则另一个角是 ( )
A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 无法确定
7.如图,AB⊥CD,垂足为B,EF是经过B点的一条直线,已知∠EBD=145°,则∠CBE,∠ABF的度数分别为( )
A. 55°,35° B. 35°,55° C. 45°,45° D. 25°,55°
8.已知:如图,下面判定正确的是 ( )
A. ∵∠1=∠2,∴AB∥CD B. ∵∠1+∠2=180°,∴AB∥CD
C. ∵∠3=∠4,∴AB∥CD D. ∵∠1+∠4=180°,∴AB∥CD
(二)活用知识,对号入座:
1. 如果a∥b,b∥c,则______∥______,因为___ ___ _。
2.下列语句 ①直角都相等,②延长AB到C,使BC=2AB,③若∠α >∠β,则∠α +∠γ >∠β +∠γ,④对顶角相等,相等的角也都是对顶角,⑤等角的余角相等.其中正确的有_____ ___ (只填序号)。
3.将“平行于同一直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式_______________________________________________________ 。
4.自钝角的顶点引角的一边的垂线,把这个钝角分成两个角的度数之比是3∶1,则这个钝角的度数是___________。
5.如图BE,CF相交于O,OA,OD是射线,其中构成对顶角的角是_______________。
6.如图,直线AB,CD相交于O,OE平分∠AOC,∠EOC=35°,则∠BOD=___________。
(三)填注理由:
如图,已知:直线AB,CD被直线EF,GH所截,且∠1=∠2。求证:∠3+∠4=180°。
证明:∵∠1=∠2 ( )
又∵∠2=∠5 ( )
∴∠1=∠5 ( )
∴AB∥CD ( )
∴∠3+∠4=180° ( )
(四)计算题:
1.已知:如图,AB,CD,EF三直线相交于一点,OE⊥AB,∠COE=20°,OG平分∠BOD,求∠BOG的度数.
2.已知:如图,∠1+∠2=180°,∠3=100°,OK平分∠DOH,求∠KOH的度数。
3 如图已知,△ABC中,∠B=40°,∠C=62°,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线。求:∠DAE的度数。
(五)解决问题,展现能力:
1.如图:已知∠BCD=∠B+∠D,AB与ED的位置关系是什么?请说明理由。
2.已知:如图AD∥BE,∠1=∠2,∠A与∠E有何数量关系,请说明理由。
3.已知:如图,CD平分∠ACB,AC∥DE,CD∥EF, EF能平分∠DEB吗?请说明理由.
4. 在铁路的同旁有A、B两个工厂,要在铁路L旁边修建一个仓库,使与A、B两厂的距离相等,画出仓库的位置,并写出画法。
二、三角形
(一)一般三角形的性质
1、三边的关系:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
2、三内角的关系:
①三角形三内角之和等于180o;②三角形任何一个外角等于和他不相邻的两个内角的和。
3、三角形的面积公式:S三角形=。
(二)特殊三角形
1、等腰三角形
(1)性质:
①等腰三角形的两底角相等(等边对等角);
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称三线合一);
③等腰三角形是轴对称图形。
(2)识别:
①定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
②判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)。
2、等边三角形
(1)性质:
①等边三角形的三个角相等,且每一个角都等于60o;
②等边三角形每一条边上的高、中线和所对角的平分线互相重合(简称三线合一);
③等边三角形是轴对称图形。
(2)识别:
①定义:三条边相等的三角形叫做等边三角形。
②判定定理:
Ⅰ、有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形;Ⅱ、三个角相等的三角形是等边三角形。
3、直角三角形
(1)性质:
①直角三角形的两个锐角互余;
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
③直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理);
④在直角三角形中,30o所对的直角边等于斜边的一半;
⑤等腰直角三角形的每一个锐角都等于45o。
(2)识别:
①定义:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
②判定定理:
Ⅰ、如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形;
Ⅱ、若果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
★练习
(一)反复比较,精心挑选:(在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的)。
1、如果三角形的一个角的度数等于另两个角的度数之和,那么这个三角形一定是( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形
2、下列给出的各组线段中,能构成三角形的是( )
(A)5,12,13 (B)5,12,7 (C)8,18,7 (D)3,4,8
3、下列图形中,不是轴对称图形的是( )
(A)线段 MN (B)等边三角形 (C)有一个角为30o的直角三角形 (D) 钝角∠AOB
4、直角三角形两锐角的平分线相交所夹的钝角为( )
125° (B)135° (C)145° (D)150°
5、设α是等腰三角形的一个底角,则α的取值范围是( )
(A)0<α<90° (B) α<90° (C) 0<α≤90° (D) 0≤α<90°
6、在△ABC中,下列推理过程正确的是( )
(A)如果∠A=∠B,那么AB=AC (B)如果∠A=∠B,那么AB=BC (C) 如果CA=CB ,那么 ∠A=∠B (D) 如果AB=BC ,那么∠B=∠A.。
(二)活用知识,对号入座:
1、如果三角形的两边长分别为5和9,那么第三边x的取值范围是 。
2、如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角,那么这个三角形一定是 三角形。
3、等腰△ABC中,AB=2BC,其周长为45,则AB长为 。
4、如图,BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,∠BOC=136°,则∠A= 度。
5、如果等腰三角形的一个外角为80°,那么它的底角为 度。
6、已知:△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于E,垂足为D,如果∠A=40?,那么∠BEC= ;如果△BEC的周长为20cm,那么底边BC= 。
(三)计算题
1、如图已知,△ABC中,∠B=40°,∠C=62°,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线。求:∠DAE的度数。
2、如图已知:△ABC≌△DBE,∠A=50°,∠E=30°。求∠ADB和∠DBC的度数。
3、如图已知:Rt△ABC中,∠ACB=90 o,DE是BC的垂直平分线,交AB于E,垂足为D,如果AC= ,BC=3,求∠A的度数和△CDE的周长。
三、四边形
(一)一般四边形的性质
1、四边形的内角和等于360o;2、四边形的外角和等于360o。
(二)特殊四边形
1、平行四边形性质和识别
(1)性质:
①平行四边形的对边分别相等;
②平行四边形的对边分别平行;
③平行四边形的对角分别相等;
④平行四边形的对角线互相平分;
⑤平行四边形是中心对称图形,对称中心是它的对角线的交点。
⑥平行四边形的面积公式:S平行四边形=。
(2)识别:
①定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
②判定定理:
Ⅰ、两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
Ⅱ、两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
Ⅲ、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
2、矩形的性质和识别
(1)性质(除平行四边形的性质外还有如下性质):
①矩形的对角线相等;
②矩形的每一个角是直角;
③矩形既是轴对称图形又是中心对称图形;
④矩形的面积公式:S矩形=。
(2)识别
①定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
②判定定理:
Ⅰ、对角线相等的平行四边形是矩形;Ⅱ;有三个角是直角的四边形是矩形。
3、菱形的性质和识别
(1)性质(除平行四边形的性质外还有如下性质):
①菱形的四条边相等;
②菱形的对角线互相垂直;
③菱形的每一条对角线平分一组对角;
④菱形既是轴对称图形又是中心对称图形;
⑥菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半;
⑦菱形的面积公式:。
(2)识别:
①定义:又以租赁边相等的平行四边形叫做菱形。
②判定定理:
Ⅰ、四条边相等的四边形是菱形;
Ⅱ、对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
Ⅲ、每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。
4、梯形的性质和识别
(1)性质:
①梯形中位线的性质:梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一边。
②梯形的面积公式:S梯形=
(2)识别:
①定义:.
5、等腰梯形的性质和识别
(1)性质:
①等腰梯形同一底上的两个角相等;
②等腰梯形的对角线相等;
③等腰梯形是轴对称图形,对称轴是它两底的垂直平分线。
(2)识别:
①定义:两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
②判定定理:
Ⅰ、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;
Ⅱ、对角线相等的梯形是等腰梯形。
★练习题
(一)活用知识,对号入座:
1、如下图,EF过矩形ABCD的对角线的交点O,且分别交AB、CD于E、F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的 。
A B C D
2、如上图,已知点E、F是矩形ABCD的边BC、CD的中点,且BF与DE交于点G,则的值为 。
3、如上图,已知点E是 ABCD的CD边的中点,且BE交对角线AC于点G;如果S△CEG=1,则 ABCD的面积为 。
4、如上图,已知点E、F是 ABCD的BC、CD边的中点,AE、AF与对角线BD相交。如果图中阴影部分面积为S1,非阴影部分面积为S2,则= 。
(二)解答题
1、如下图,已知P是矩形ABCD的内的一点.求证:PA2+PC2=PB2+PD2 。
2、如下图,已知点P是边长为1的正方形ABCD内一点,如果∠DPC=90°,PA2-PB2=。求∠PCB的度数。
3、如下图,点E、F是 ABCD边AB、BC上的点。
⑴ 如果AB=10,AB与CD的距离为8,且点E、F分别是AB、BC的中点,求S△DEF ;(2)已知⊿ADE、⊿BEF、⊿CDF的面积分别为5、3、4,求⊿DEF的面积。
4、如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/秒的速度移动,点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/秒的速度移动,如果P、Q分别从A、C同时出发,设移动时间为t秒。
(1)当t为何值时,四边形PDCQ是平行四边形?
(2)当t为何值时,四边形PDCQ是等腰梯形?
四、多边形
(一)一般多边形的性质和识别
(1)性质:
①n边形的内角和等于(n-2)·180o;
②n边形的内角和等于360 o。
(2)识别:
①定义:在同一平面内,由n条线段首尾顺次连接而成的图形叫做n边形。
(二)正多边形
1、性质:
①正多边形是轴对称图形;
②当正多边形的边数为偶数时,既是轴对称图形又是中心对称图形。
2、识别:
①定义:每一条边和每一个角都分别相等的多边形是正多边形。
五、全等三角形的性质和识别
1、性质:
①全等三角形的对应边相等、对应角相等;
②全等三角形对应的高、中线、角平分线分别相等。
2、识别:
①定义:
②判定定理(或公理)
Ⅰ、两边和其夹角对应相等的两个三角形全等;
Ⅱ、两角和其夹边对应相等的两个三角形全等;
Ⅲ、两角和其中一角的对边对影响等的两个三角形全等;
Ⅳ、三条边对应相等的两个三角形全等;
Ⅴ、斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等。
★练习题
(一)反复比较,精心挑选:(在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的)。
1、在线段、射线、直线、角、直角三角形、等腰三角形中是轴对称图形的有( )。
(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个
2、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝,则斜边的长为( )
(A)2 ㎝ (B)4 ㎝ (C)6 ㎝ (D)8㎝
3、点M(1,2)关于原点对称的点的坐标为( )
(A)(—1,2) (B)(-1,-2) (C)(1,-2) (D)(2,-1)
4、下列说法正确的是( )
A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B.顶角相等的两个等腰三角形全等
C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 D.等腰三角形的两个底角相等
5、已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则P,P1,P2三点构成的三角形是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
6、DE是⊿ABC中AC边的垂直平分线,若BC=8厘米,AB=10厘米,则⊿EBC的周长为( )厘米
A.16 B.28 C.26 D.18。
7、下列命题中,错误的是( )
A.全等三角形对应边上的中线相等 B.面积相等的两个三角形是全等三角形
C.全等三角形对应边上的高线相等 D.全等三角形对应角的平分线相等
8、如图7,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,且,判定△APD与△APE全等的理由应该是( )A.SAS B.AAS C.SSS D.HL
9、如图8,已知AB,CD相交于O点,,E,F分别在OA,OB上,要使,添加的一个条件不可以是( )
A.∠OCE=∠ODF B.∠CEA=∠DFB C.CE=DF D.OE=OF
10、如图9,在△ABC中,AB=AC,AD是的角平分线,,垂足分别为E,F.则下列四个结论:①AD上任意一点到点C,B的距离相等;②AD上任意一点到边AB,AC的距离相等;③BD=CD ,AD⊥BC;④∠BDE=∠CDF.其中,正确的个数为 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11、△ABC中,AB=AC,三条高AD,BE,CF相交于O,那么图10中全等的三角形有( )
A.5对 B.6对 C.7对 D.8对
12、将一张长方形纸片按下图所示的方式折叠, 为折痕,则 的度数为( )
A.60° B.75° C.90° D.95°
(二)填空题
1、等腰三角形的两边长是6和3,周长为______________________。
2、等腰三角形一个角为50°,则此等腰三角形顶角为________________________。
3、在△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,且BD=BC=AD,则∠A= 度。
4、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15㎝和12㎝,则这个三角形的底边长为 ㎝。
5、腰长为12㎝,底角为15°的等腰三角形的面积为 。
6、到三角形各顶点距离相等的点是三角形 的交点。
7、在直角坐标系内有两点A(-1,1)、B(2,3),若M为x轴上一点,且MA+MB最小,则M的坐标是________,MA+MB=________。
8、如图5,AB,CD相交于点O,AD=CB,请你补充一个条件,使得△AOD≌△COB.你补充的条件是____ __.
(三)解答题
1、已知,如图,ΔABC中,AB=AC,D点在BC上,且BD=AD,DC=AC,将图中的等腰三角形全都写出来,并求∠B的度数。
2、如图,在⊿ABC中,∠ACB=90,DE是AB的垂直平分线,∠CAE∶∠EAB=4∶1.求∠B的度数.
3、如图16,D是BC中点,AD⊥BC,E是BC上除B,D,C外任意一点,根据“SAS”,可证明,所以AB=AC,∠B=∠C.在△ABE和△ACE中,,不能证明,因为这是“SSA”的情形,是钝角三角形,是锐角三角形,它们不可能全等.如果两个三角形都是直角三角形,“SSA”就变成“HL”,就可以用来证明两个三角形全等.同样,如果我们知道两个三角形都是钝角三角形或锐角三角形,并且它们满足“SSA”的情形,也是一定能全等的,但必须通过构造直角三角形来间接证明.
问题:已知,如图17,AD=AC,,根据现有条件直接证明⊿ABC≌⊿ABD,可以吗为什么
A |
D |
C |
图17 |
B |
A |
D |
E |
C |
图16 |
B |
六、相似三角形的性质和识别
1、性质:
(1)相似三角形对应中线的比等于相似比;
(2)相似三角形对应角平分线的比等于相似比;
(3)相似三角形对应高的比等于相似比;
(4)相似三角形周长的比等于相似比;
(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
2、识别:
①定义:形状相同大小不一定相同的三角形叫做相似三角形。
②判定定理(或公理)
Ⅰ、有两个角对应相等的两个三角形相似;
Ⅱ、有两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;
Ⅲ、三条边对应成比例的两个三角形相似;
Ⅳ、有一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。
★练习题
(一)填空题
1、已知一条线段的长度是另一条线段长度的5倍,则这两条线段的比是 。
2、在比例尺为20∶1的图纸上,某矩形零件面积为12cm2;则零件实际面积为_________cm2。
3、已知 。
4、已知 ,则 。
5、如图,要测量A、B两点间距离,在O点打桩,取OA中点C,OB中点D,测得CD=31.4米,则AB=_______________米。
6、一根竹竿的高为150㎝ ,影长为100㎝ ,同一时刻,某塔楼影长是200㎝ ,则塔楼的高度为 ㎝。
7、 如图所示,在△ABC中,DE∥AC,BD=10,DA=15,BE=8,则EC= , , .= 。
8、已知:在△ABC中,P是AB上一点,连结 CP,当满足条件∠ACP= 或∠APC= 或 AC2= 时,△ACP∽△ABC.
9、如图,锐角三角形ABC的边AB,AC上的高线CE和BF相交于点D.请写出图中的两对相似三角形: (用相似符号连接).
(二)选择题(每小题5分,共 30 分)
1、下列命题:
(1) 有一个锐角相等的两个直角三角形相似
(2) 斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似
(3) 两个等边三角形一定相似
(4) 任意两个矩形一定相似
其中正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2、如下图,D是△ABC的AB边上一点,过D作DE∥BC, 交AC于E,已知 ,那么 的值为( )
(A) (B) (C) (D) .
3、如图所示,在 △ABC中,DE∥BC,AD∶DB=1∶2,则下列结论中正确的是( )
① ② ③
④
(A)①② (B)②③④ (C)①②③ (D)①③
4、如图,一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上,某一时刻,小明竖起1米高的直杆,量得其影长为0.5米,此时,他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米,落在墙上的影子CD的高为2米。小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高。请你计算,电线杆AB的高为( )
(A) 5米 (B)6米 (C)7米 (D)8米
5、如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2米,桌面距离地面1米.若灯泡距离地面3米,则地面上阴影部分的面积为( ).
A.0.36π平方米 B. 0.81π平方米
C.2π平方米 D. 3.24π平方米
(三)解答题
1.已知如图,∠BAC=90o,AD⊥BC,AE=EC,ED延长线交AB的延长线于点F。 求证:(1)⊿DBF∽⊿ADF:(2) 。
2、小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度:
如右图,在水平地面上放一面平面镜,镜子与教学大楼的距离EA=21米.当她与镜子的距离CE=2.5米时,她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B。已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米。请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米(注意:根据光的反射定律:反射角等于入射角)。
3、如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F。
(1)ΔABE与ΔADF相似吗?请说明理由;(2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的长。
4、已知:在梯形ABCD中,AD∥BC,点E在AB上,点F在 DC上,且AD= ,BC= 。
设点E、F分别为AB、DC的中点。(1)如图1,求证:EF∥BC,且EF= 。(2)如果 ,如图(2)判断EF和BC是否平行,并用 , , , 的代数式表示EF。请证明你的结论。
七、两个图形成轴对称和轴对称图形的性质和识别
1、性质:
(1)成轴对称的两个图形(或轴对称图形)的对应线段相等;(2)成轴对称的两个图形(或轴对称图形)的对应角相等;(3)连结对称点的线段被对称轴垂直平分。(4)如果成轴对称的两个图形(或轴对称图形)对应线段不平行,则其延长线的交点必过对称轴。
2、识别:
①定义1:把两个图形沿着某一条直线对折,如果在直线两旁的部分能够重合,那么,我们就说这两个图形成轴对称。
②定义2:如果一个图形沿着一条直线对折,在直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形。
八、两个图形成中心对称和中心对称图形的性质和识别
1、性质:
(1)成中心对称的两个图形(或中心对称图形)的对应线段平行且相等、对应角相等;(2)连结对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分。
2、识别:
①定义:把一个图形沿着某一点旋转180 o,若果它能够和另一个图形重合,那么,我们就说这两个图形成中心对称。
②定义2::如果一个图形沿着某一定点旋转180o后能和原来的图形重合,那么这个图形是中心对称图形。
③判定定理:
如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点,并且都被该点平分,那么这两个图形一定关于这一点成中心对称
九、图形变换
1、轴对称变换的性质
(1)性质
①对应线段相等、对应角相等;
②如果对应线段延长线的有交点,那么交点必过对称轴;
③连结对应点的线段被对称轴垂直平分。
2、平移变换的性质
①连结对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等;
②对应线段平行(或在同一直线上)且相等;
③对应角相等。
3、旋转变换的性质
①对应点与旋转中心的距离都相等;
②每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
③对应线段相等、对应角相等。
4、位似变换的性质:
①对应边成比例;②对应角相等。
十、线段垂直平分线的性质和逆定理
1、性质定理:
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
2、逆定理:
到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
十一、角平分线的性质和逆定理
1、性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、逆定理:
到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
★练习题
(一)仔细选一选,填一填
1.下列图案既是中心对称图形,又是轴对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
2. 一个汽车牌在水中的倒影为 ,则该车牌照号码为 。
3. 生活中因为有美丽的图案才显得丰富多彩,以下是来自现实生活中的三个商标:
图(1)、(2)、(3)
⑤ |
④ |
① |
一石激起千层浪 |
② |
③ |
铜钱 |
(1)以上①②③三个图中轴对称图形有____________,中心对称图形有______________;(写序号)
(2)请在图④中画出是轴对称图形但不是中心对称图形的新图案;
(3)在图(5)中画出是轴对称图形又是中心对称图形的新图案.
4. 如图是一个旋转对称图形,要使它旋转后与自身重合,至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数是……………………………………( )
A.30° B. 60° C.120° D.180°
5. 如图,网格中有一个四边形和两个三角形。
⑴请你画出三个图形关于点O的中心对称图形;
⑵将⑴中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请你写出这个整体图形对称轴的条数是( );这个整体图形至少旋转( )度才能与自身重合。
6. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
7. 如图,△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于点D,若AC=6cm,AB=4cm,
则△ADB的周长= 。
(二)解答题
1、如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=8cm,CD=2cm,AD=6cm.点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向终点B运动;点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿CD向终点D运动(P、Q两点中,有一个点运动到终点时,所有运动即终止)。设P、Q同时出发并运动了t秒。
(1)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时,求t的值;
(2)试问是否存在这样的t,使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半?若存在,求出这样的t的值,若不存在,请说明理由。
2、(1)平移ΔABC,使点A平移到点Aˊ处,画出平移后的图形。
(2)已知ΔABC和点O,画出ΔDEF,使ΔDEF和ΔABC关于点O成中心对称。
3、如图,点O是平行四边形ABCD的对称中心,将直线DB绕点O顺时针方向旋转,交DC、AB于点E、F(1)证明:△DEO≌△BFO(2)若DB=2,AD=1,AB= ,当DB绕点O顺时针方向旋转45°时,判断四边形AECF的形状,并说明理由。
4、如图,已知在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,BC=26cm,AD=20㎝,动点P从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动,P、Q别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒。
(1)当t为何值时,四边形ABQP为矩形?
(2)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?
(3)当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形?
十三、三角形的重心、外心、内心的性质和识别
1、重心
(1)性质:
三角形的重心与一边的中点的线段长等于对应中线的。
(2)识别:
①定义:三角形三条中线的交点叫三角形的重心。
2、外心
(1)性质:
三角形的外心到三个顶点的距离相等。
(2)识别:
①定义:三角形外接圆的圆心叫三角形的外心。
3、内心
(1)性质:
三角形的内心到三边的距离相等。
(2)识别:
①定义:三角形的内切圆的圆心叫三角形的内心。
十四、三角形和梯形的中位线性质和识别
1、三角形的中位线
(1)性质:
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
(2)识别:
①定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2、梯形的中位线
(1)性质:
梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一边。
(2)识别:
①定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
十五、圆
1、性质:
(1)圆既是轴对称图形又是中心对称图形,也是旋转对称图形,经过圆心的每一条直线是它的对称轴,圆心是它的对称中心。
(2)圆的面积公式:S⊙=πr2。
十六、垂径定理及其推论
(1)垂直于弦的直径平分这条弦和它所对的两条弧;
(2)平分弦(非直径的弦)的直径垂直于这条弦且平分这条弦所对的两条弧;
(3)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦且平分另一条弧。
十七、弧、弦、圆心角、弦心距之间的相等关系
在同圆或等圆中,弧、圆心角、弦、弦心距四组量中,如果有一组量对应相等,那么其余三组量分别对应相等。
十八、圆周角
1、性质(圆周角定理及其推论)
①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;
②在同圆或等圆中,同弧(或等弧)所对的圆周角相等,反过来,在同圆或等圆中,如果圆周角相等,那么它所对的弧也相等。
③如果圆周角是直角,那么它所对的弦是直径;反过来,直径所对的圆周角是直角。
2、识别
①定义:顶点在圆上且角的两边都与圆相交的角叫做圆周角。
十九、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线,切线长相等,且这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
二十、圆的切线的性质和识别
1、性质;
(1)圆的切线垂直于过切点的半径;
(2)过切点垂直于切线的直线必过圆心;
(3)过圆心垂直于切线的直线必过切点。
2、识别:
(1)定义:和圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线。
(2)判定定理:
①如果圆心到直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线;
②经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
二十一、扇形
1、性质;
①扇形是轴对称图形,它的圆心角的平分线所在的直线是它的对称轴。
②扇形的面积公式:S扇形=
2、识别:
①定义:由圆心角的半径和它所对的弧围成的图形叫做扇形。
二十二、与圆有关的位置关系
1、 点与圆的位置关系(设点与圆心的距离为d,圆的半径为r):
(1)性质:
①若点在圆外,则d﹥r;②若点在圆上,则d=r;③若点在圆内,则d﹤r。
(2)识别:
①若d﹥r,则点在圆外;②若d=r,则点在圆上;③若d﹤r,则点在圆内。
2、 直线与圆的位置关系(设直线与圆心的距离为d,圆的半径为r):
(1)性质:
①若直线与圆相离,则d﹥r;②若直线与圆相切,则d=r;③若直线与圆相交,则d﹤r。
(2)识别:
Ⅰ、定义:
①如果直线和圆没有公共点,那么叫做直线和圆相离;
②如果直线和圆只有唯一公共点,那么叫做直线和圆相切;
③如果直线和圆有两个公共点,那么叫做直线和圆相交。
Ⅱ、判定定理:
①若d﹥r,则直线与圆相离;
②若d=r,则直线与圆相切;
③若d﹤r,则直线与圆相交。
3、圆与圆的位置关系(设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R、r):
(1)性质:
①若两圆外离,则d﹥R﹢r;
②若两圆外切,则d=R﹢r;
③若两圆相交,则R﹣r﹤d﹤R﹢r;若两圆相交,则公共弦被连心线垂直平分;
④若两圆内切,则d=R﹣r;
⑤若两圆内含,则d﹤R﹣r。
(2)识别:
Ⅰ、定义:
①如果两个圆没有公共点且一个圆在另一个圆的外部,那么这两个圆的位置关系叫外离;
②如果两个圆只有公共点且一个圆在另一个圆的外部,那么这两个圆的位置关系叫外切;
③如果两个圆有两个公共点,那么这两个圆的位置关系叫相交;
④如果两个圆只有公共点且除公共点外一个圆在另一个圆的内部,那么这两个圆的位置关系叫内切;
⑤如果两个圆没有公共点且一个圆在另一个圆的内部,那么这两个圆的位置关系叫内含。
Ⅱ、判定定理:
①若d﹥R﹢r,则两圆外离;
②若d=R﹢r,则两圆外切;
③若R﹣r﹤d﹤R﹢r,则两圆相交;
④若d=R﹣r,两圆内切;
⑤若d﹤R﹣r,则两圆内含。
二十三、图形与坐标
1、用直角坐标系来描述物体的位置;
2、用坐标的方法研究图形的运动变化。
★练习题
(一)仔细选一选,填一填
1、如图一,同心圆,大⊙O的弦AB切小⊙O于P,且AB=6,则阴影部分的面积为 。
2、如图二,在⊙中,,垂足为,°,则 = 度, = 度
3、如图三,的半径为2,点在上,,,是 上一动点,则的最小值是___________;
(二)解答题
1、如图,⊙O的半径是 ,圆心与坐标原点重合,在直角坐标系中,把横坐标、纵坐标都是整数的点称为格点。
⑴ 写出⊙O上所有格点的坐标:
___________________________________________________。
⑵ 设ι为经过⊙O上任意两个格点的直线。
① 满足条件的直线ι共有多少条?
② 求直线ι同时经过第一、二、四象限的概率。
2、如图,AB是⊙O的直径,PA、PC分别切⊙O于A、C,连结BC。若∠P=50°,求∠B的度数。
3、 如图1-1,已知AB是直径,直线ι与⊙O相切于点B,直线m⊥AB于点C,交⊙O于P、
4、Q两点。连结AP,过O作OD∥AP交ι于点D,连结AD与m交于点M。
(1)如图1—1,当直线m过点O时,求证:M是PO的中点;
(2)如图1—2,当直线m不过点O时,M是否仍为PO的中点?证明你的结论。
5、在图25-1至图25-3中,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点.四边形BCGF和CDHN都是正方形.AE的中点是M。
(1)如图25-1,点E在AC的延长线上,点N与点G重合时,点M与点C重合,求证:FM = MH,FM⊥MH;
(2)将图25-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图25-2,求证:△FMH是等腰直角三角形;
(3)将图25-2中的CE缩短到图25-3的情况,△FMH还是等腰直角三角形吗?(不必说明理由)
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