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初中几何主要图形的性质和识别

一、平行线  

(一)、性质:

(1)如果二直线平行,那么同位角相等;

(2)如果二直线平行,那么内错角相等;

(3)如果二直线平行,那么同旁内角互补;

(4)平行线间的距离处处相等。

(二)、识别:

(1)定义:在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。

(2)判定定理(或公理)

①如果同位角相等,那么二直线平行;

②如果内错角相等,那么二直线平行;

③如果同旁内角互补,那么二直线平行;

④同垂直于一条直线的两条直线互相平行;

⑤同平行于一条直线的两条直线互相平行。

★练习

(一)反复比较,精心挑选:(在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的)。

1.在同一平面内,两条直线可能的位置关系是 ( 

A. 平行   B. 相交   C. 相交或平行   D. 垂直

2.下列说法正确的是( 

A. 若两个角是对顶角,则这两个角相等.  B. 若两个角相等,则这两个角是对顶角.   

C. 若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.  D. 以上判断都不对.

3.下列语句正确的是 ( 

A. 两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补. B. 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直. C. 相等的角是平行线的内错角. D.从直线外一点作这条直线的垂直线段叫点到直线的距离。

4.点到直线的距离是 ( 

A. 点到直线上一点的连线 B. 点到直线的垂线.C. 点到直线的垂线段 D. 点到直线的垂线段的长度

5.判定两角相等,不对的是 ( 

A. 对顶角相等  B. 两直线平行,同位角相等.  C. ∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3
D. 两条直线被第三条直线所截,内错角相等

6.两个角的两边分别平行,其中一个角是60°,则另一个角是 ( 

A. 60°   B. 120°  C. 60°或120°   D. 无法确定

7.如图,AB⊥CD,垂足为B,EF是经过B点的一条直线,已知∠EBD=145°,则∠CBE,∠ABF的度数分别为( 

   A. 55°,35°      B. 35°,55°     C. 45°,45°      D. 25°,55°

8.已知:如图,下面判定正确的是 ( 

A. ∵∠1=∠2,∴AB∥CD     B. ∵∠1+∠2=180°,∴AB∥CD

 C. ∵∠3=∠4,∴AB∥CD   D. ∵∠1+∠4=180°,∴AB∥CD

(二)活用知识,对号入座:

1. 如果a∥b,b∥c,则______∥______,因为___  ___                         _

2.下列语句 ①直角都相等,②延长AB到C,使BC=2AB,③若∠α >∠β,则∠α +∠γ >∠β +∠γ,④对顶角相等,相等的角也都是对顶角,⑤等角的余角相等.其中正确的有_____    ___          (只填序号)。

3.将“平行于同一直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式_______________________________________________________ 

4.自钝角的顶点引角的一边的垂线,把这个钝角分成两个角的度数之比是3∶1,则这个钝角的度数是___________。

5.如图BE,CF相交于O,OA,OD是射线,其中构成对顶角的角是_______________。          

6.如图,直线AB,CD相交于O,OE平分∠AOC,∠EOC=35°,则∠BOD=___________。

(三)填注理由:

如图,已知:直线AB,CD被直线EF,GH所截,且∠1=∠2。求证:∠3+∠4=180°。

证明:∵∠1=∠2 (                              

又∵∠2=∠5 (                                 

 ∴∠1=∠5 (                                   

 ∴AB∥CD (                                 

 ∴∠3+∠4=180° (                            

(四)计算题:

1.已知:如图,AB,CD,EF三直线相交于一点,OE⊥AB,∠COE=20°,OG平分∠BOD,求∠BOG的度数.
  

2.已知:如图,∠1+∠2=180°,∠3=100°,OK平分∠DOH,求∠KOH的度数。

3 如图已知,△ABC中,∠B=40°,∠C=62°,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线。求:∠DAE的度数。 

(五)解决问题,展现能力:

1.如图:已知∠BCD=∠B+∠D,AB与ED的位置关系是什么?请说明理由。

2.已知:如图AD∥BE,∠1=∠2,∠A与∠E有何数量关系,请说明理由。

3.已知:如图,CD平分∠ACB,AC∥DE,CD∥EF, EF能平分∠DEB吗?请说明理由.

4. 在铁路的同旁有A、B两个工厂,要在铁路L旁边修建一个仓库,使与A、B两厂的距离相等,画出仓库的位置,并写出画法。 

二、三角形

(一)一般三角形的性质

1、三边的关系:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。

2、三内角的关系:

①三角形三内角之和等于180o;②三角形任何一个外角等于和他不相邻的两个内角的和。

3、三角形的面积公式:S三角形

(二)特殊三角形

1、等腰三角形

(1)性质:

①等腰三角形的两底角相等(等边对等角);

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称三线合一);

③等腰三角形是轴对称图形。

(2)识别:

①定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

②判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)。

2、等边三角形

(1)性质:

①等边三角形的三个角相等,且每一个角都等于60o;

②等边三角形每一条边上的高、中线和所对角的平分线互相重合(简称三线合一);

③等边三角形是轴对称图形。

(2)识别:

①定义:三条边相等的三角形叫做等边三角形。

②判定定理:

Ⅰ、有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形;Ⅱ、三个角相等的三角形是等边三角形。

3、直角三角形

(1)性质:

①直角三角形的两个锐角互余;

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;

③直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理);

④在直角三角形中,30o所对的直角边等于斜边的一半;

⑤等腰直角三角形的每一个锐角都等于45o。

(2)识别:

①定义:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

②判定定理:

Ⅰ、如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形;

Ⅱ、若果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

★练习

(一)反复比较,精心挑选:(在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的)。

1、如果三角形的一个角的度数等于另两个角的度数之和,那么这个三角形一定是( 

(A)锐角三角形    (B)直角三角形    (C)钝角三角形    (D)等腰三角形

2、下列给出的各组线段中,能构成三角形的是( 

(A)51213        (B)5127         (C)8187         (D)348

3、下列图形中,不是轴对称图形的是(  

A)线段 MN     B)等边三角形    C)有一个角为30o的直角三角形     (D) 钝角∠AOB

4、直角三角形两锐角的平分线相交所夹的钝角为(  )

125°  (B)135°  (C)145°  (D)150°

5、设α是等腰三角形的一个底角,则α的取值范围是(   )

A0<α<90°   B α<90°   C 0<α≤90°   (D) 0≤α<90°

6、在△ABC,下列推理过程正确的是(   )

A)如果∠A=B,那么AB=AC  B)如果∠A=B,那么AB=BC   C 如果CA=CB ,那么 A=B   (D) 如果AB=BC ,那么∠B=A.

(二)活用知识,对号入座:

1、如果三角形的两边长分别为59,那么第三边x的取值范围是                

2、如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角,那么这个三角形一定是      三角形。

3、等腰△ABC中,AB=2BC,其周长为45,则AB长为                

4、如图,BOCO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,∠BOC=136°,则A=       度。 

5、如果等腰三角形的一个外角为80°,那么它的底角为          度。

6、已知:△ABC中,AB=ACAB的垂直平分线DEACE,垂足为D,如果∠A=40?,那么∠BEC=       ;如果△BEC的周长为20cm,那么底边BC=            

(三)计算题

1、如图已知,△ABC中,∠B=40°,∠C=62°,ADBC边上的高,AE是∠BAC的平分线。求:∠DAE的度数。

2如图已知:ABCDBEA=50°E=30°。求ADBDBC的度数。

3如图已知:Rt△ABC中,∠ACB=90 o,DEBC的垂直平分线,交ABE,垂足为D,如果AC= BC=3,求A的度数和△CDE的周长。

三、四边形

(一)一般四边形的性质

1、四边形的内角和等于360o;2、四边形的外角和等于360o。

(二)特殊四边形

1、平行四边形性质和识别

(1)性质:

①平行四边形的对边分别相等;

②平行四边形的对边分别平行;

③平行四边形的对角分别相等;

④平行四边形的对角线互相平分;

⑤平行四边形是中心对称图形,对称中心是它的对角线的交点。

⑥平行四边形的面积公式:S平行四边形

(2)识别:

①定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

②判定定理:

Ⅰ、两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

Ⅱ、两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

Ⅲ、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

2、矩形的性质和识别

(1)性质(除平行四边形的性质外还有如下性质):

①矩形的对角线相等;

②矩形的每一个角是直角;

③矩形既是轴对称图形又是中心对称图形;

④矩形的面积公式:S矩形

(2)识别

①定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

②判定定理:

Ⅰ、对角线相等的平行四边形是矩形;Ⅱ;有三个角是直角的四边形是矩形。

3、菱形的性质和识别

(1)性质(除平行四边形的性质外还有如下性质):

①菱形的四条边相等;

②菱形的对角线互相垂直;

③菱形的每一条对角线平分一组对角;

④菱形既是轴对称图形又是中心对称图形;

⑥菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半;

⑦菱形的面积公式:

(2)识别:

①定义:又以租赁边相等的平行四边形叫做菱形。

②判定定理:

Ⅰ、四条边相等的四边形是菱形;

Ⅱ、对角线互相垂直的平行四边形是菱形;

Ⅲ、每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。

4、梯形的性质和识别

(1)性质:

①梯形中位线的性质:梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一边。

②梯形的面积公式:S梯形

(2)识别:

①定义:.

5、等腰梯形的性质和识别

(1)性质:

①等腰梯形同一底上的两个角相等;

②等腰梯形的对角线相等;

③等腰梯形是轴对称图形,对称轴是它两底的垂直平分线。

(2)识别:

①定义:两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

②判定定理:

Ⅰ、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;

Ⅱ、对角线相等的梯形是等腰梯形。

★练习题

(一)活用知识,对号入座:

1、如下图,EF过矩形ABCD的对角线的交点O,且分别交ABCDEF,那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的             

 A    B     C     D

2、如上图,已知点EF是矩形ABCD的边BCCD的中点,且BFDE交于点G,则的值为            

3、如上图,已知点E ABCDCD边的中点,且BE交对角线AC于点G;如果SCEG1,则 ABCD的面积为           

4、如上图,已知点EF ABCDBCCD边的中点,AEAF与对角线BD相交。如果图中阴影部分面积为S1,非阴影部分面积为S2,则           

(二)解答题

1、如下图,已知P是矩形ABCD的内的一点.求证:PA2PC2PB2PD2

2、如下图,已知点P是边长为1的正方形ABCD内一点,如果DPC90°PA2PB2。求PCB的度数。

3、如下图,点EF ABCDABBC上的点。

⑴ 如果AB=10,ABCD的距离为8,且点EF分别ABBC的中点,求SDEF ;(2)已知⊿ADE、⊿BEF、⊿CDF的面积分别为5、3、4,求⊿DEF的面积。

4、如图所示,梯形ABCD中,ADBC,∠B=90°,AB=14cmAD=18cmBC=21cm,点P从点A开始沿AD边向点D1cm/秒的速度移动,点Q从点C开始沿CB向点B2cm/秒的速度移动,如果PQ分别从AC同时出发,设移动时间为t秒。

1)当t为何值时,四边形PDCQ是平行四边形?

2)当t为何值时,四边形PDCQ是等腰梯形?

四、多边形

(一)一般多边形的性质和识别

(1)性质:

①n边形的内角和等于(n-2)·180o;

②n边形的内角和等于360 o。

(2)识别:

①定义:在同一平面内,由n条线段首尾顺次连接而成的图形叫做n边形。

(二)正多边形

1、性质:

①正多边形是轴对称图形;

②当正多边形的边数为偶数时,既是轴对称图形又是中心对称图形。

2、识别:

①定义:每一条边和每一个角都分别相等的多边形是正多边形。

五、全等三角形的性质和识别

1、性质:

①全等三角形的对应边相等、对应角相等;

②全等三角形对应的高、中线、角平分线分别相等。

2、识别:

①定义:

②判定定理(或公理)

Ⅰ、两边和其夹角对应相等的两个三角形全等;

Ⅱ、两角和其夹边对应相等的两个三角形全等;

Ⅲ、两角和其中一角的对边对影响等的两个三角形全等;

Ⅳ、三条边对应相等的两个三角形全等;

Ⅴ、斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等。

★练习题

(一)反复比较,精心挑选:(在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的)。

1、在线段、射线、直线、角、直角三角形、等腰三角形中是轴对称图形的有(    )。

  A3  B4  C5  D6

2、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝,则斜边的长为(    

A2   B4 C6 D8

3、点M12)关于原点对称的点的坐标为( 

A)(—12 B)(-1,-2  C)(1,-2    D)(2,-1

4、下列说法正确的是(     )

A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合  B.顶角相等的两个等腰三角形全等

C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍      D.等腰三角形的两个底角相等

5、已知AOB=30°,点PAOB的内部,P1P关于OB对称,P2P关于OA对称,则PP1P2三点构成的三角形是(      

A.直角三角形   B.钝角三角形    C.等腰三角形   D.等边三角形

6DE是⊿ABCAC边的垂直平分线,若BC=8厘米,AB=10厘米,则⊿EBC的周长为(    )厘米

A16    B28     C26    D18                    

7、下列命题中,错误的是(  )

A.全等三角形对应边上的中线相等     B.面积相等的两个三角形是全等三角形

C.全等三角形对应边上的高线相等     D.全等三角形对应角的平分线相等

8、如图7,PDABPEAC,垂足分别为DE,且,判定△APD与△APE全等的理由应该是(  )A.SAS   B.AAS   C.SSS   D.HL

9、如图8,已知ABCD相交于O点,EF分别在OAOB上,要使,添加的一个条件不可以是(  )

A.∠OCE=∠ODF  B.∠CEA=∠DFB  C.CEDF  D.OEOF

10、如图9,在△ABC中,ABACAD的角平分线,,垂足分别为EF.则下列四个结论:①AD上任意一点到点CB的距离相等;②AD上任意一点到边ABAC的距离相等;③BDCDADBC;④∠BDE=∠CDF.其中,正确的个数为 (  )

A.1个   B.2个   C.3个   D.4个

11、△ABC中,ABAC,三条高ADBECF相交于O,那么图10中全等的三角形有(  )

A.5对   B.6对   C.7对   D.8对

12、将一张长方形纸片按下图所示的方式折叠, 为折痕,则 的度数为(  )

A60°   B75°   C90°   D95°

(二)填空题

1、等腰三角形的两边长是63,周长为______________________

2、等腰三角形一个角为50°,则此等腰三角形顶角为________________________

3、在ABC中,AB=AC,点DAC边上,且BD=BC=AD,则A=        度。

4、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15㎝和12㎝,则这个三角形的底边长为          ㎝。

5、腰长为12㎝,底角为15°的等腰三角形的面积为          

6、到三角形各顶点距离相等的点是三角形              的交点。

7、在直角坐标系内有两点A(-11)B(23),若Mx轴上一点,且MA+MB最小,则M的坐标是________MA+MB=________

8、如图5ABCD相交于点OADCB,请你补充一个条件,使得△AOD≌△COB.你补充的条件是____     __

(三)解答题

1、已知,如图,ΔABC中,ABACD点在BC上,且BDADDCAC,将图中的等腰三角形全都写出来,并求B的度数。

2、如图,在ABC中,ACB=90DEAB的垂直平分线,CAEEAB=41.求B的度数.

3、如图16,DBC中点,ADBCEBC上除BDC外任意一点,根据“SAS”,可证明,所以ABAC,∠B=∠C.在△ABE和△ACE中,,不能证明,因为这是“SSA”的情形,是钝角三角形,是锐角三角形,它们不可能全等.如果两个三角形都是直角三角形,“SSA”就变成“HL”,就可以用来证明两个三角形全等.同样,如果我们知道两个三角形都是钝角三角形或锐角三角形,并且它们满足“SSA”的情形,也是一定能全等的,但必须通过构造直角三角形来间接证明.

问题:已知,如图17,ADAC,根据现有条件直接证明⊿ABC≌⊿ABD,可以吗为什么

A

D

C

17

B

A

D

E

C

16

B

六、相似三角形的性质和识别

1、性质:

(1)相似三角形对应中线的比等于相似比;

(2)相似三角形对应角平分线的比等于相似比;

(3)相似三角形对应高的比等于相似比;

(4)相似三角形周长的比等于相似比;

(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方。

2、识别:

①定义:形状相同大小不一定相同的三角形叫做相似三角形。

②判定定理(或公理)

Ⅰ、有两个角对应相等的两个三角形相似;

Ⅱ、有两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;

Ⅲ、三条边对应成比例的两个三角形相似;

Ⅳ、有一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。

★练习题

(一)填空题

1、已知一条线段的长度是另一条线段长度的5倍,则这两条线段的比是       

2、在比例尺为201的图纸上,某矩形零件面积为12cm2;则零件实际面积为_________cm2

3、已知          

4、已知  ,则                

5、如图,要测量A、B两点间距离,在O点打桩,取OA中点C,OB中点D,测得CD=31.4米,则AB=_______________米。

6、一根竹竿的高为150 ,影长为100 ,同一时刻,某塔楼影长是200 ,则塔楼的高度为                 ㎝。

7、 如图所示,在△ABC中,DEACBD=10DA=15BE=8,则EC=            .=            

8、已知:在△ABC中,P是AB上一点,连结 CP,当满足条件∠ACP=          或∠APC=          或 AC2=             时,△ACP∽△ABC.

9、如图,锐角三角形ABC的边ABAC上的高线CE和BF相交于点D.请写出图中的两对相似三角形:                                (用相似符号连接).

(二)选择题(每小题5分,共 30 分)

1、下列命题:

(1)       有一个锐角相等的两个直角三角形相似

(2)       斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似

(3)       两个等边三角形一定相似

(4)       任意两个矩形一定相似

其中正确的个数是(   

A  1      B   2     C  3          D 4

2、如下图,D是△ABCAB边上一点,过DDEBC ACE,已知 ,那么 的值为(      )

A     B     C       (D) 

3、如图所示,在 △ABC中,DEBCADDB12则下列结论中正确的是(  

         

   

A)①②            B)②③④         C)①②③           D)①③

4、如图,一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上,某一时刻,小明竖起1高的直杆,量得其影长为0.5,此时,他又量得电线杆AB落在地上的影子BD3,落在墙上的影子CD的高为2。小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高。请你计算,电线杆AB的高为(   

A 5   B6     C7     D8

5、如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2,桌面距离地面1.若灯泡距离地面3,则地面上阴影部分的面积为( ).

A0.36π平方米  B 0.81π平方米

C2π平方米       D 3.24π平方米

(三)解答题

1.已知如图,BAC=90oADBCAE=ECED延长线交AB的延长线于点F 求证:(1DBF∽⊿ADF:(2

2、小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度:

如右图,在水平地面上放一面平面镜,镜子与教学大楼的距离EA=21.当她与镜子的距离CE=2.5时,她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B。已知她的眼睛距地面高度DC=1.6。请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米(注意:根据光的反射定律:反射角等于入射角)。

3、如图,矩形ABCD中,EBC上一点,DFAEF

(1)ΔABEΔADF相似吗?请说明理由;(2)AB=6AD=12BE=8,求DF的长。

4、已知:在梯形ABCD中,ADBC,点EAB上,点F DC上,且AD= BC=

设点EF分别为ABDC的中点。(1)如图1,求证:EFBC,且EF= 。(2)如果 ,如图(2)判断EFBC是否平行,并用 的代数式表示EF。请证明你的结论。

七、两个图形成轴对称和轴对称图形的性质和识别

1、性质:

(1)成轴对称的两个图形(或轴对称图形)的对应线段相等;(2)成轴对称的两个图形(或轴对称图形)的对应角相等;(3)连结对称点的线段被对称轴垂直平分。(4)如果成轴对称的两个图形(或轴对称图形)对应线段不平行,则其延长线的交点必过对称轴。

2、识别:

①定义1:把两个图形沿着某一条直线对折,如果在直线两旁的部分能够重合,那么,我们就说这两个图形成轴对称。

②定义2:如果一个图形沿着一条直线对折,在直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形。

八、两个图形成中心对称和中心对称图形的性质和识别

1、性质:

(1)成中心对称的两个图形(或中心对称图形)的对应线段平行且相等、对应角相等;(2)连结对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分。

2、识别:

①定义:把一个图形沿着某一点旋转180 o,若果它能够和另一个图形重合,那么,我们就说这两个图形成中心对称。

②定义2::如果一个图形沿着某一定点旋转180o后能和原来的图形重合,那么这个图形是中心对称图形。

③判定定理:

如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点,并且都被该点平分,那么这两个图形一定关于这一点成中心对称

九、图形变换

1、轴对称变换的性质

(1)性质

①对应线段相等、对应角相等;

②如果对应线段延长线的有交点,那么交点必过对称轴;

③连结对应点的线段被对称轴垂直平分。

2、平移变换的性质

①连结对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等;

②对应线段平行(或在同一直线上)且相等;

③对应角相等。

3、旋转变换的性质

①对应点与旋转中心的距离都相等;

②每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

③对应线段相等、对应角相等。

4、位似变换的性质:

①对应边成比例;②对应角相等。

十、线段垂直平分线的性质和逆定理

1、性质定理:

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

2、逆定理:

到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

十一、角平分线的性质和逆定理

1、性质:

角平分线上的点到角两边的距离相等。

2、逆定理:

到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

★练习题

(一)仔细选一选,填一填

1.下列图案既是中心对称图形,又是轴对称图形的是                                            (  )

 

    A                  B              C                 D

2. 一个汽车牌在水中的倒影为            ,则该车牌照号码为              

3. 生活中因为有美丽的图案才显得丰富多彩,以下是来自现实生活中的三个商标:

图(1)、(2)、(3

一石激起千层浪

铜钱

1)以上①②③三个图中轴对称图形有____________,中心对称图形有______________(写序号)

2)请在图④中画出是轴对称图形但不是中心对称图形的新图案;

3)在图(5)中画出是轴对称图形又是中心对称图形的新图案.

4. 如图是一个旋转对称图形,要使它旋转后与自身重合,至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数是……………………………………(    

A.30°          B. 60°        C.120°       D.180°

5. 如图,网格中有一个四边形和两个三角形。

请你画出三个图形关于点O的中心对称图形;

将⑴中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请你写出这个整体图形对称轴的条数是(       );这个整体图形至少旋转(      )度才能与自身重合。

6. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    

7. 如图,△ABC的边BC的垂直平分线MNAC于点D,若AC=6cmAB=4cm

则△ADB的周长=           

(二)解答题

1、如图,在等腰梯形ABCD中,ABDCAB8cmCD2cmAD6cm.P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向终点B运动;点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿CD向终点D运动(PQ两点中,有一个点运动到终点时,所有运动即终止)。设PQ同时出发并运动了t秒。

(1)PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时,求t的值;

(2)试问是否存在这样的t,使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半?若存在,求出这样的t的值,若不存在,请说明理由。

2(1)平移ΔABC,使点A平移到点Aˊ处,画出平移后的图形。

(2)已知ΔABC和点O,画出ΔDEF,使ΔDEF和ΔABC关于点O成中心对称。

3如图,点O是平行四边形ABCD的对称中心,将直线DB绕点O顺时针方向旋转,交DCAB于点EF1)证明:△DEO△BFO2)若DB=2AD=1AB= ,当DB绕点O顺时针方向旋转45°时,判断四边形AECF的形状,并说明理由。

4、如图,已知在四边形ABCD中,ADBC,∠B=90°AB=8cmBC=26cmAD=20㎝,动点PA开始沿AD边向点D1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B3cm/s的速度运动,PQ别从点AC同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒。

1)当t为何值时,四边形ABQP为矩形?

2)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?

3)当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形?

十三、三角形的重心、外心、内心的性质和识别

1、重心

(1)性质:

三角形的重心与一边的中点的线段长等于对应中线的

(2)识别:

①定义:三角形三条中线的交点叫三角形的重心。

2、外心

(1)性质:

三角形的外心到三个顶点的距离相等。

(2)识别:

①定义:三角形外接圆的圆心叫三角形的外心。

3、内心

(1)性质:

三角形的内心到三边的距离相等。

(2)识别:

①定义:三角形的内切圆的圆心叫三角形的内心。

十四、三角形和梯形的中位线性质和识别

1、三角形的中位线

(1)性质:

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

(2)识别:

①定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、梯形的中位线

(1)性质:

梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一边。

(2)识别:

①定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

十五、圆

1、性质:

(1)圆既是轴对称图形又是中心对称图形,也是旋转对称图形,经过圆心的每一条直线是它的对称轴,圆心是它的对称中心。

(2)圆的面积公式:S=πr2

十六、垂径定理及其推论

(1)垂直于弦的直径平分这条弦和它所对的两条弧;

(2)平分弦(非直径的弦)的直径垂直于这条弦且平分这条弦所对的两条弧;

(3)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦且平分另一条弧。

十七、弧、弦、圆心角、弦心距之间的相等关系

在同圆或等圆中,弧、圆心角、弦、弦心距四组量中,如果有一组量对应相等,那么其余三组量分别对应相等。

十八、圆周角

1、性质(圆周角定理及其推论)

①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;

②在同圆或等圆中,同弧(或等弧)所对的圆周角相等,反过来,在同圆或等圆中,如果圆周角相等,那么它所对的弧也相等。

③如果圆周角是直角,那么它所对的弦是直径;反过来,直径所对的圆周角是直角。

2、识别

①定义:顶点在圆上且角的两边都与圆相交的角叫做圆周角。

十九、切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线,切线长相等,且这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

二十、圆的切线的性质和识别

1、性质;

(1)圆的切线垂直于过切点的半径;

(2)过切点垂直于切线的直线必过圆心;

(3)过圆心垂直于切线的直线必过切点。

2、识别:

(1)定义:和圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线。

(2)判定定理:

①如果圆心到直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线;

②经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

二十一、扇形

1、性质;

①扇形是轴对称图形,它的圆心角的平分线所在的直线是它的对称轴。

②扇形的面积公式:S扇形=

2、识别:

①定义:由圆心角的半径和它所对的弧围成的图形叫做扇形。

二十二、与圆有关的位置关系

1、  点与圆的位置关系(设点与圆心的距离为d,圆的半径为r):

(1)性质:

①若点在圆外,则d﹥r;②若点在圆上,则d=r;③若点在圆内,则d﹤r。

(2)识别:

①若d﹥r,则点在圆外;②若d=r,则点在圆上;③若d﹤r,则点在圆内。

2、  直线与圆的位置关系(设直线与圆心的距离为d,圆的半径为r):

(1)性质:

①若直线与圆相离,则d﹥r;②若直线与圆相切,则d=r;③若直线与圆相交,则d﹤r。

(2)识别:

Ⅰ、定义:

①如果直线和圆没有公共点,那么叫做直线和圆相离;

②如果直线和圆只有唯一公共点,那么叫做直线和圆相切;

③如果直线和圆有两个公共点,那么叫做直线和圆相交。

Ⅱ、判定定理:

①若d﹥r,则直线与圆相离;

②若d=r,则直线与圆相切;

③若d﹤r,则直线与圆相交。

3、圆与圆的位置关系(设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R、r):

(1)性质:

①若两圆外离,则d﹥R﹢r;

②若两圆外切,则d=R﹢r;

③若两圆相交,则R﹣r﹤d﹤R﹢r;若两圆相交,则公共弦被连心线垂直平分;

④若两圆内切,则d=R﹣r;

⑤若两圆内含,则d﹤R﹣r。

(2)识别:

Ⅰ、定义:

①如果两个圆没有公共点且一个圆在另一个圆的外部,那么这两个圆的位置关系叫外离;

②如果两个圆只有公共点且一个圆在另一个圆的外部,那么这两个圆的位置关系叫外切;

③如果两个圆有两个公共点,那么这两个圆的位置关系叫相交;

④如果两个圆只有公共点且除公共点外一个圆在另一个圆的内部,那么这两个圆的位置关系叫内切;

⑤如果两个圆没有公共点且一个圆在另一个圆的内部,那么这两个圆的位置关系叫内含。

Ⅱ、判定定理:

①若d﹥R﹢r,则两圆外离;

②若d=R﹢r,则两圆外切;

③若R﹣r﹤d﹤R﹢r,则两圆相交;

④若d=R﹣r,两圆内切;

⑤若d﹤R﹣r,则两圆内含。

二十三、图形与坐标

1、用直角坐标系来描述物体的位置;

2、用坐标的方法研究图形的运动变化。

★练习题

(一)仔细选一选,填一填

1如图一,同心圆,大O的弦AB切小OP,且AB=6,则阴影部分的面积为      

2、如图二,在⊙中,,垂足为°,则 =          度, =          

3、如图三,的半径为2,点上, 上一动点,则的最小值是___________

(二)解答题

1、如图,O的半径是 ,圆心与坐标原点重合,在直角坐标系中,把横坐标、纵坐标都是整数的点称为格点。

写出O上所有格点的坐标:

___________________________________________________

设ι为经过O上任意两个格点的直线。

满足条件的直线ι共有多少条?

求直线ι同时经过第一、二、四象限的概率。

2、如图,ABO的直径,PAPC分别切OAC,连结BCP50°,求B的度数。

3、  如图1-1,已知AB是直径,直线ι与⊙O相切于点B,直线m⊥AB于点C,交⊙O于P、

4、Q两点。连结AP,过O作OD∥AP交ι于点D,连结AD与m交于点M。

(1)如图1—1,当直线m过点O时,求证:M是PO的中点;

(2)如图1—2,当直线m不过点O时,M是否仍为PO的中点?证明你的结论。

5、在图25-1至图25-3中,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点.四边形BCGFCDHN都是正方形.AE的中点是M

1)如图25-1,点EAC的延长线上,点N与点G重合时,点M与点C重合,求证:FM = MHFMMH

2)将图25-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图25-2,求证:△FMH是等腰直角三角形;

3)将图25-2中的CE缩短到图25-3的情况,△FMH还是等腰直角三角形吗?(不必说明理由)

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