此文发《中国新课程教育教研》2016.10.
拓宽数学教学视野与训练学生的发散思维能力
湖北省巴东县东壤口镇初级中学在地图中查看 李大珍 邮编：444301
所谓发散思维是不依常规，寻求变异，对给出的材料、信息从不同角度，向不同方向，用不同方法或途径进行分析和解决问题的一种思维方式。这种思维方式的最基本的特色是：从多方面#、多思路去思考问题，而不是囿于一种思路，一个角度，一条路走到黑。它主要特征是：多向性、变通性、独特性。事实上，在创造性思维活动中，发散性思维又起着主导作用，是创造性思维的核心和基础。数学教学其实是数学思维活动的教学。学习数学高有开思维，在数学思维过程中最高品质，最高层次，而又最可贵的是创造性思维品质。其实数学家创造能力的大小是与他本身的发散思维能力成正比的，即是说：科科学家的创造能力可用公式估计：创造能力=知识×发散思维能力。而加强发散思维能力的训练，是培养学生创造性思维的重要环节。
一、在诱导乐于求异的心理倾向中，培养学生的发散思维能力
长期以来，初中数学教学以集中思维为主要思维方式，课本上的题目和材料的呈现过程大都循着一个模式，学生习惯于按照书上写的与教师教的方式去思考问题，用符合常规的思路和方法解决问题，这对于基础知识、基本技能的掌握是必要的，但对于中学生学习数学兴趣的激发、智力能力的发展，特别是创造性思维的发展，显然是不够的。而发散思维却正好反映了创造性思维“尽快联想，尽多作出假设和提出多种解决问题方案”的特点，因而成为创造性思维的一种主要形式。在中学数学教学的过程中，在培养学生初步的逻辑思维能力的同时，也要有意识地培养学生的发散思维能力。赞可夫说过：“凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东西，是很容易从记忆中挥发掉的”。赞可夫这句话说明了发散思维能力的形成，需要以乐于求异的心理倾向作为一种重要的内驱力。教师妥善于选择具体题例，创设问题情境，精细地诱导学生的求异意识。对于学生在思维过程中时不时地出现的求异因素要及时予以肯定和热情表扬，使学生真切体验到自己求异成果的价值。对于学生欲寻异解而不能时，教师则要细心点拨，潜心诱导，帮助他们获得成功，使学生渐渐生成自觉的求异意识，并日渐发展为稳定的心理倾向，在面临具体问题时，就会能动地作出“还有另解吗？”“试试看，再从另一个角度分析一下！”的求异思考。事实证明，也只有在这种心理倾向驱使下，那些相关的基础知识、解题经验才会处于特别活跃的状态，也才可能对题中数量作出各种不同形式的重组，逐步形成发散思维能力。
训练学生对同一条件，联想到多种结论的发散思维习惯。这种思维习惯是指确定了已知条件后，没有固定的结论，让学生自己尽可能多地确定未知结论，并这个过程充分去求解这些未知结论。揭示思维的广度和深度。不同层次的学生都能得到有益的尝试，符合素质教育面向全体学生的要求。
(一)教育学生从多个方面、多个角度去认识事物，让思维向四面八方发散出去，从而寻找解决问题更多更好的方法
1、在课堂教学中应该适当给学生提供独立思考问题、自己提问题的条件与机会为发散思维的培养创造良好的内、外部的环境。
２、在课堂上善于创设思维情景，引导学生积极思维，运用已学过知识去解决新问题。其中组织课堂讨论是一种使用较普遍的有效方法。这样培养的学生敢于提问题、敢于批判、敢于质疑、思维敏捷。不受老师讲解的束缚，可为发散思维的培养创良好的内、外部环境。
例1我在讲完直线和圆的位置关系后，用下面方式复习了切线的性质：已知直线CB与⊙O相切于点A，请同学们任意添加辅助线，并写出添加辅助线后能得到的结论（切线作为必要条件）．
把同学们的做法列成表写在黑板上：辅助结论（１） 连结ＯＡ。 OA⊥CB (2) 过A作ＣＢ的垂线ＡＤ。 AD圆心O, （3） 过Ｏ作ＣＢ的垂线OE。 OE过切点A （４） 过B作⊙O的割线交⊙O于F、G。 BA2=BF×BG （５） 过B作⊙O的另一条切线交⊙O于M。 BA=BM （６）过A作弦AN，在∠CAN夹的弧上取点P,连结PA、 PN。 ∠BAN=∠APN （７）过A作弦AS=AT,连结ST。 AＢ∥ST …… …… ……
例2，已知△ABC，P是边AB的一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只要加上什么条件即可？（至少写出三种方案）方案一：（∠APC=∠ACB）方案二：(∠ACP=∠B) 方案三：(AP ：AC=AC ：AB) 让学生充分展开想象的翅膀，使学生发散思维能力得到同步提高。目的基本达到后，再让学生对其中的部分结论加以证明。在刚开始进行这训练时，学生是不习惯的，思路有被“堵塞”感觉，但经过一段时间的训练后。学生的发散思维能力有了明显的提高。比如。题目有切线这个条件时，他们就会迅速地对切线的性质进行一次“盘点”，然后，从中挑出最利于问题解决的用法。
(二)发散性思维体现了思维的开放性、创造性，是事物普遍联系在头脑中的反映
1、既然事物是相互联系的，是多方面关系的总和。所以在教学中教育学生当一种方法，一个方面不能解决问题时，应主动地否定这一方法、方面，让思维向另一方法、另一方面跨越。不要满足已有的思维成果，力图向新的方法、领域探索，并力图在各种方法、方面中，寻找一种更好一点的方法、方面。
2、教学上运用相关的题目进行训练，促使学生在思维上善于从同一对象中产生多种分化因素的能力，从不同的方向去思考，揭示同一本质表现出来的现象、形式之间的差异。
3、使思维富于联想，思路宽阔，能对已知信息进行多方向、多角度的联想，从而能够发现新知识、提出新问题，得到多种解答或结论。
4、注意在学习过程中，对于学生提出的不同结论，如果讲得有道理，教师就应该给予肯定，即便是与教材中的叙述有所出入，教师也不应该硬将教材中的结论强加给学生，因为任何知识的学习都要经历由不完整到完整的过程。
(1)让学生真实的坦陈自己的想法，尊重孩子的思维成果，不轻易否定孩子在认真思维基础上的答案，这样，学生才会“放下包袱、开动机器”，这样，才会“百花齐放、百家争鸣”。
(2)在引导学生进行发散思维的基础上，我们还要引导学生相互比较鉴别，把发散的思维再回拢起来，这样就有利于培养学生思维的系统性、严谨性和深刻性。
二、在多种形式的训练中，培养学生的发散思维能力
在中学数学教学过程中，教师可结合教学内容和学生的实际情况，采取多种形式的训练，培养学生思维的敏捷性和灵活性，以达到诱导学生思维发散，培养发散思维能力的目的。这种思维习惯是指问题的结论确定以后，尽可能变化已知条件，进而不同的角度，用不同的知识来解决问题。这样，一方面可以充分揭示数学问题的层次。另一方面又可以充分暴露学生自身的思维层次，使学生从中吸收数学知识的营养。在教学中，我们常常会遇到类似的问题，为了实现某个目标，要首先设计实现这一目标的各种可能性方案。加强学生这方面能力的培养，也是对学生进行素质教育的一个方面。适当进行“一题多解”、“一题多变”、“一题多问”等教学活动，培养学生的发散思维
（一） 一题多变
是对题中的条件、问题、情节作各种扩缩、顺逆、对比或叙述形式的变化，让学生在各种变化了的情境中，从各种不同角度理清问题间的逻辑关系。采取步步变化深入，既发展了学生的探究思维能力，又综合性地复习与巩固了已学的有关知识，可取得较好的教学效果。
对题中的条件、问题、情节作各种扩缩、顺逆、对比或叙述形式的变化，让学生在各种变化了的情境中，从各种不同角度认识数量关系。
例如：在正方形ABCD中，M是AB边上任意一点，MN垂直MD，MN=MD。
(1)求证：BN平分∠CBE。
(3)若将MN垂直MD变成结论,而BE平分∠CBE变为条件,是否仍然成立?
（二）一题多解
是多角度地考虑同一个问题，找出各方法之间的关系和优劣。在条件和问题不变的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析思考，探求不同的解题途径。一题多解的训练是培养学生发散思维的一个好方法。也可以通过纵横发散，使知识串联、综合沟通，达到举一反三、融会贯通的目的。
如：几何课本上有一题：正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画斗圆，求所围成的图形（图中阴影部分）的面积。
思路1：因为阴影部分面积是相同的八个弓形面积之和组成。故利用扇形与三角形面积之差，就可求解。
思路2：这个图形里包含有正方形和半圆图形，那么能不能利用这两个图形求阴影部分面积呢？容易发现正方形面积减去两个半圆的面积等于两个空隙的面积，再用正方形面积减去四个空隙面积即可得到所求的阴影部分面积。
显然，思路2思路1更广一些。但是共同的思路是：都没有离开基本的几何图形去求解。沿着这个思路。我们还可以进一步启发学生得到其它的求解方法（如一圆去两空）。扩散思维可以是纵向的，也可以是横向的，实际上我们在思考一个问题时，很难说是具体的运用了哪一种思维方向，而是全方位去想，去思考，即从扩散点向四面八方想开去。一题多解、多证就很好的体现了这种思维模式。
再如:已知:在反比例函数Y=-4X-1上有一点P，在坐标轴上分别有两个点，点A(0,2)和点B(2,0)，并且三角形PAB的面积为6，求点P的坐标.这到题有四个解,学生讨论。点P有可能在第二和第四象限，学生很快想到这两种可能。进而求解。充分调动学生的思维，横向思维，还有纵向思维，开阔了思路，拓宽了视野。
（三）一题多问
是利用一个题设多个结论来培养学生发散思维。提供某种数学情境，调度学生多方面的旧知、技能或经验，组织议论，引起思维火花的撞击。“业精于勤”。只要我们在教学中运用以上各种解题方法培养学生，让学生去理解各知识点之间的联系，触类旁通，使学生的思维时常处于多向、发散、开放状态，让他们去发现问题，从而使他们的思维上升到一个新的领域。
例如：在学习弦切角定理时，可以从这样一道智力题出发。
例1：一张圆的烙饼，切三刀可分成几块？（注意，不可挪动烙饼）
面对此题思维立刻会活跃起来，并探索出（图１）共有四种答案，第一种是四块，第二种是六块，第三种是五块，第四种是七块。每种答案的思维比前一种都深了一层。通过这道题研究探索，应当认识到：有些问题的答案并不唯一，要分情况进行讨论。
为了深化，还可进一步思考：
(1)最少切几块？最多切几块？为什么？
(2)切成４、５、６、７块，各有几种方法？（为什么切７块时，只有一种？）
(3)各种切法之间，有何联系？（可以通过什么把它们贯串起来？）
(4)用刀切西瓜会如何？
在进行发散思维训练时，不但要找准“发散点”，而且要能打破习惯的思维模式，发展思维的“求异”性。
例2：试画出平行四边形ＡＢＣＤ的高（图２）
图二（１）是习惯画性，以ＢＣ为底画高。从Ｄ画，并延长ＢＣ，得到（２）。（３）呢？是以ＣＤ为底画高，通常我们认为这样画很别扭，但比（１）的思维方式就新奇了一点，再引伸下去到（４），无论从Ａ还是Ｄ，向ＢＣ画高，都必须延长ＢＣ。
（四）一题多法和一法多用
是通过一题多种方法的训练，使学生灵活掌握数学思想和方法，提高应变能力，大面积的提高发散思维能力。目的则是求得应用范围的变化。条件开放型是利用一个结论多种题设，培养学生的发散思维能力。
例如：解法发散类型题。为了搞好夏季防洪工作，要求必须在规定日期内完成，如果由乙队单独做，需超过期限3天；如果由甲队单独做，恰能如期完成。现在由甲乙两队合作２天后，余下的工作有乙队单独去做，恰好能在规定日期内完成，求规定日期。(要求用三种解法)。做这道题时，我把学生分成三组进行讨论，合作交流，寻求不同的解题方法。这三种方法，都有不同的思维角度，从不同的侧面进行思考，得出的结论也不同。最后得出三种答案。
(1)２（１／Ｘ＋１／Ｘ＋３）＋１／Ｘ＋3（Ｘ－２）＝１
(2)２／Ｘ＝３／Ｘ＋３
(3)１／Ｘ＋Ｘ／Ｘ＋３＝１
（五）一图多问、一图多变和一题多图
图形发散习惯指对学生图形中某些元素的位置不断变化，从而产生一系列新的图形。了解几何图形的演变过程，不仅可以举一反三。触类旁通，还可以通过演变过程了解它们之间的区别和联系，找出特殊与一般之间的关系。引导学生观察同一事物时，要从不同的角度、不同的方面仔细地观察，认识事物，理解知识，这样既能提高学生思维的灵活性，又能培养学生的发散思维能力。
例3：已知：△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE=∠B，求证：AE与⊙O相切于点A。证明完毕后，我做了如下变化 ：如若
（1）把“AB为直径”改为“AB非直径”，结论是否仍成立？并加以证明。
（2）已知：等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC、AE∥BC。求证：AE与⊙O相切于点A。
（3）已知：等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，AE=AC，AE与⊙O相切于点A。求证：AE∥BC。
（4）已知：△ABC内接于⊙O，AE与⊙O相切于点A，AE∥BC。 求证：△ABC是等腰三角形。
例4：多边形内角和定理：n边形的内角和等于（n-2)·180°。
课本用了从特殊到一般，由直观到抽象的方式，找出了其中的规律（三角形个数，算出内角和）从而推出公式（n-2)·180°（如图四（1）。但这是以一个顶点为出发点向各项顶点引辅助线。这时，可移动这出发点P到边上（2）、内部（3）、外部（4）或多个出发点（5），甚至改变“方向”，先求外角和（6）或归纳地研究（7）等等，但注意适可而止。
通过适当变化几何题目的已知或结论，可使学生的发散思维能力得到进一步加强。进行一次适当的变式训练，学生就相当于做了一套“思维体操”。不仅能巩固知识，开阔学生视野,还能活跃学生思维，提高学生的应变能力。
三、在诱导变通中，培养学生的发散思维能力
变通是发散思维的显著标志。要对问题实行变通，只有在摆脱习惯性思考方式的束缚，不受固定模式的制约以后才能实现。因此，在学生较好地掌握了一般方法后，要注意诱导学生离开原有思维轨道，从多方面思考问题，进行思维变通。当学生思维闭塞时，教师要善于调度原型帮助学生接通与有关旧知识和解题经验的联系，作出转换、假设、化归、逆反等变通，产生多种解决问题的设想。
如对于下面的应用题：王师傅做一批零件，8天做了这批零件的2/5，这样，剩下的工作还要几天可以完成？学生一般都能根据题意作出（1-2/5）÷（2/5÷8）的习惯解答。此时，教师可作如下诱导：教师诱导性提问学生求异性解答：
① 完成这批零件需要多少天8÷2/5-8或8÷2/5×（1-2/5）？
② 已做零件数是剩下零件数2/5÷（1一2/5）的几分之几？
③ 剩下零件数是已做零件数（1-2/5）÷2/5的几倍？
④ 能从题中数量间找出相等方程解法（略）关系吗？
⑤ 从题中几种量中能判断出比例解法（略）比例关系吗？
通过这些诱导，能使学生自觉地从一个思维过程转换到另一个思维过程，逐步形成在题中数量间自由往返调节的变通能力，这对于培养学生的发散思维是极为有益的。
四、在鼓励独创中，培养学生的发散思维能力
心理学研究表明，创造性既非与生俱来，也不是少数尖子生所特有的。85%的创造性，只需要具有中等或中等以上的智力。老师在教学中要多表扬、少批评，让学生建立自信，承认自我，同时鼓励学生求新。训练学生沿着新方向、新途径去思考新问题，弃旧图新、超越已知，寻求首创性的思维。
（一）
（二）淡化标准答案，鼓励多向思维
学习知识要不惟书、不惟上、不迷信老师和家长、不轻信他人。应倡导让学生提出与教材、与老师不同的见解，鼓励学生敢于和同学、和老师争辩。
单向思维大多是低水平的发散，多向思维才是高质量的思维。只有在思维时尽可能多地给自己提一些“假如…”、“假定…”、“否则…”之类的问题，才能强迫自己换另一个角度去思考，想自己或别人未想过的问题。
老师在教学中要多表扬、少批评，让学生建立自信，承认自我，同时鼓励学生求新。训练学生沿着新方向、新途径去思考新问题，弃旧图新、超越已知，寻求首创性的思维。
在寻求“唯一正确答案”的影响下，学生往往是受教育越多，思维越单一，想象力也越有限。这就要求教师要充分挖掘教材的潜在因素，在课堂上启发学生，展开丰富合理的想象，对作品进行再创造。
（三）学会反向思维
反向思维也叫逆向思维。它是朝着与认识事物相反的方向去思考问题，从而提出不同凡响的超常见解的思维方式。反向思维不受旧观念束缚，积极突破常规，标新立异，表现出积极探索的创造性。其次，反向思维不满足于“人云亦云”，不迷恋于传统看法。但是反向思维并不违背生活实际。
在分析和解决问题的过程中，学生能别出心裁地提出新异的想法和解法，这是思维独创性的表现。教师应满腔热情地鼓励他们别出心裁地思考问题，大胆地提出与众不同的意见与质疑，独辟蹊径地解决问题，这样才能使学生思维从求异、发散向创新推进。事实上，独创往往蕴含于求异与发散之中，经常诱导学生思维发散，才有可能出现超出常规的独创；反之，独创性又丰富了发散思维，促使思维不断地向横向与纵向发散。
总之，在初中数学教学过程中，教师可结合教学内容和学生的实际情况，采取多种形式的训练，培养学生思维的敏捷性和灵活性，以达到诱导学生思维发散，培养发散思维能力的目的。
综上所述，培养学生多角度，全方位的全面思考问题能力，应该让学生注意克服已有的思维定势，改变固有的思路与方法。激发学生敢于提出问题，勤于思考，善于思考，提高分析问题和解决问题的能力，所有这些都是培养学生的发散思维的关键。也是当前数学教学改革的重点之一。
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