待定系数法

提要

在解决某些数学问题时，有时需要先用某些字母表示需要确定的系数，然后根据一些条件或要求来确定这些系数，从而使问题得到解决。这种解决方法即为待定系数法。待定系数法是一种重要的数学方法，可以用于因式分解，确定方程系数，确定函数关系式，解决应用题等。

知识全解

一．待定系数法的概念

待定系数法是指事先设定一些待确定的系数，再根据题意，建立起含有待定字母系数的方程（组），并求出相应字母的值，从而使问题得到解决的方法。

待定系数法是根据两个多项式恒等的条件而产生的一种方法，因此，从恒等变形的意义来看，它不过是把一个代数式从一种形式变换成另一种形式，并且确保变形前后的两个代数式是恒等的，也就是形变而值不变。

二．待定系数法的一般步骤

（1）设定含有系数的关系式

（2）根据恒等条件，列出含待定系数的方程（组）

（3）解这个方程（组），求出各待定系数

（4）从而使问题得到解决

三．待定系数法的解题策略

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

学法指导

类型1 求字母的值

类型2 确定函数关系式

例2 二次函数的图像过点(-1,0)，对称轴是直线x=-3，函数的最大值是2，求此二次函数的表达式

【解析】本事是用待定系数法求二次函数表达式的典型例子。二次函数的表达式

方法二（交点式）：由图像与x轴交于（-5，0），（-1，0）两点，故可设所求函数表达式为y=a(x+5)(x+1)

又∵图像过点（-3，2）

∴a(-3+5)×(-3+1)=2

解得a=-1/2

【点评】待定系数法是求函数表达式的主要方法，一般地，有几个待定系数就应该有几个待定系数的方程，找到或求出适合图像的点坐标是能否取得函数表达式的前提。求二次函数表达式一般有3种方法。

解题时可根据具体情况灵活选择。

链接中考

考点1 利用待定系数法确定一次函数的表达式

例1 已知一次函数y=kx+b的图像经过两点A（0，1），B（2，0），则当x___时，y≤0

【解析】将点A（0，1），B（2，0）分别代入y=kx+b可得b=1，k=-1/2。

所以y=-1/2x+1

若y≤0

则-1/2x+1≤0

解得x≥2

【点评】本题考查了一次函数和一元一次不等式的关系，解题的关键是利用待定系数法确定一次函数的表达式后解不等式。

考点2 利用待定系数法确定反比例函数的表达式

例2 如图所示

一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=m/x的图像相较于点A（1，5）和点B，与y轴相较于点C（0，6）

（1）求一次函数和反比例函数的解析式

（2）现有一直线l与直线y=kx+b平行，且与反比例函数y=m/x的图像在第一象限有且只有一个交点，求直线l的函数解析式

【解析】（1）由题意知：点A（1，5）在函数y=m/x的图像上

把点A（1，5）代入y=m/x中，解得m=5

所以反比例函数的解析式为y=5/x

一次函数y=kx+b过点A（1，5），C（0，6），则

∴一次函数的解析式为y=-x+6

（2）根据题意，直线l与直线y=kx+b平行，故k=-1

设直线l的函数解析式为：y=-x+t

∵直线与反比例函数y=5/x的图像在第一象限有且只有一个交点

【点评】反比例函数y=k/x中只有一个待定系数k，故只需双曲线上一个点的坐标即可确定关系式；而一次函数y=kx+b中有两个待定k，b，因此需要直线上两个点的坐标才能确定其关系式。

考点3 利用待定系数法确定二次函数的表达式

例3 如图所示

考点4 利用待定系数法确定不等式（组）中待定字母的值（或取值范围）

【解析】解不等式2x+1>3，得x>1

解不等式a-x>1，得x<a-1< p="">

因为原不等式组的解集为1<x<3，所以1<x<a-1，对照可知< p="">

a-1=3，即a=4

【点评】本题利用已知条件1<x<3，按不等式组的解法求出解集为1<x<a-1的形式，从而将含有待定系数的不等式问题转化为待定系数的方程，使问题获解。< p="">