孙子算经编辑

中国古代重要数学著作

《孙子算经》是中国古代重要的数学著作。成书大约在四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年不详。传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

來此题冄被頭义务筿教育课程标准实验教科书人教版数学五年级上册选为补充教材并且在部分五~六年级的课外习题所用。

全书共分三卷：

上卷

详细的讨论了度量衡的单位和筹算的制度和方法。

度量衡包括长度（度），质量（量），体积/容积（衡）。长度的基本单位是蚕吐出的一根丝（直径为一忽），以上为十进。质量的基本单位是一颗黍的质量，体积和容积的基本单位是一颗粟的体积。

大数的名称，一万万为亿，以上每一万倍称为兆，京，陔，秭，穣，沟，涧，正，载。

圆周率约等于三（周三径一），根号2约等于1.4（方五斜七）。

以下还记载了黄金，白银，铅，铜，铁，玉，石等生产生活和经济生活中常见的物质的密度。

筹算在春秋战国时代已经运用，但在古代中国数学著作如算数书、九章算术等书中都不曾记载算筹的使用方法；孙子算经第一次详细地记述筹算的布算规则：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相当”，此外又说明用空位表示零。

在进行乘法时，“凡乘之法：重置其位，上下相观，头位有十步，至十有百步，至百有千步，至千以上 命下所得之数列于中。言十即过，不满，自如头位。乘讫者，先去之下位；乘讫者，则俱 退之。六不积，五不只。上下相乘，至尽则已。”。《孙子算经》明确说明“先识其位”的位值概念，和“逢十进一”的十进位制。

除法法则：“凡除之法：与乘正异乘得在中央，除得在上方，假令六为法，百为实，以六除百，当进之二等，令在正百下。以六除一，则法多而实少，不可除，故当退就十位，以法除实，言一六而折百为四十，故可除。若实多法少，自当百之，不当复退，故或步法十者，置于十百位（头位有空绝者，法退二位。余法皆如乘时，实有余者，以法命之，以法为母，实余为子。”

在此之后记载了谷物换算成精谷物和米饭的经验比例：粟米打成粝米的体积是五分之三，粝米煮成米饭的体积是二分之五。

第一章的最后是乘法表（从九九八十一开始到一一得一）和每个乘法结果的乘方表。用表格记载下来如下：

《孙子算经》乘法表

乘法（口诀）

乘法答案的平方

平方约去乘法口诀所在行

8×9=72（八九七十二）

5148

5148÷8=648

7×9=63（七九六十三）

3969

3969÷7=567

…………

…………

…………

1×1=1（一一如一）

1（一乘不长）

中卷

主要是关于分数的应用题，包括面积、体积、等比数列等计算题，大致都在《九章》中论述的范围之内；

下卷

对后世的影响最为深远，如下卷第31题即著名的“鸡兔同笼”问题，后传至日本，被改为“鹤龟算”。

今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉、兔各几何？答曰：雉二十 三，兔一十二。

术曰：上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七，以少减多，再命之，上三 除下三，上五除下五，下有一除上一，下有二除上二，即得。又术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。

算法译文：第一行放好头的数目，第二行放好脚的数目。将脚的数目除以二，得四十七。以较少的头数减较多的”脚数的一半“，得十二（现在我们知道这就是兔的数目），将第一行的算筹数目根据第二行得出的数目依次取去，即得鸡的数目。

另一种算法是：第一行放头的数目，第二行放脚的数目，将脚的数目除以二，从脚的数目的一半减去头的数目，再从头的数目减去刚才所获得的结果，即得鸡的数目。

下卷27题则是”鸡兔同笼“的一种推广。即使是头多于一个的奇异生物也能计算它们的数量。

今有兽，六首四足；禽，四首二足，上有七十六首，下有四十六足。问：禽、兽各几何？答曰：八兽、七禽。

术曰：倍足以减首，余半之，即兽；以四乘兽，减足，余半之，即禽。

算法译文：将脚的总数乘以二，减去头的数目，差除以二，得到兽的数目。将兽的数目乘以四，减去脚的数目，除以二，得到禽的数目。

下卷第28题“物不知数”为后来的“大衍求一术”的起源，被看作是中国数学史上最有创造性地成就之一，称为中国余数定理：今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问：物几 何？答曰：二十三。

术曰：三三数之，剩二，置一百四十；五五数之，剩三，置六十三；七七数之，剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之，剩一，则置七十；五五数之，剩一，则置二十一；七七数之，剩一，则置十五。一百六以上，以一百五 减之，即得。

下卷最后一题还提供了一种卜算胎儿性别的”方法“，颇有些现代”校验算法“的旨趣，一并记之如下：

今有孕妇，行年二十九岁。难九月，未知所生？答曰：生男。

术曰：置四十九加难月，减行年，所余以天除一，地除二，人除三，四时除四，五行除五，六律除六，七星除七，八风除八，九州除九。其不尽者，奇则为男，耦则为女。

算法译文：基数七七四十九，加上孕妇的孕期（九月，得五十八），减去孕妇的年龄（二十九，得二十九）。计算结果连续除以一到九的整数。如果最后的余数是奇数就是生男，偶数就是生女。本例的结果是除到4时余1，不能继续除以5，所以孕妇生的是男孩。

《孙子算经》有新加坡大学数学教授蓝丽蓉的英译本。

孙子算经 - 古籍 - 汉典：http://gj.zdic.net/archive.php?aid-1303.html

孙子算经

一、【《孙子算经》简介】

《孙子算经》算经十书之一，是公元四世纪左右的数学著作，编撰年代不详。作者孙子，公元四世纪时人，生平不详。现传本分上、中、下三卷。上卷叙述度量衡制度、筹算记数和筹算乘除算法；中卷举例说明筹算分数算法、开平方和面积、体积计算；下卷是各种应用问题。中、下两卷共有各类算题64题。

《孙子算经》中“物不知数”问题及解法，属于一次同余式组，数论中称为“中国剩余定理”，也称“孙子定理”，秦九韶在此基础上，进一步研究，提出了“大衍求一术”。经我国历代数学家研究发展成完整严谨的理论与方法。 　　《孙子算经》是古代较为普及的算书。其中算题写得浅近有趣。例如“鸡兔同笼”（雉兔同笼）题远传日本（日本称为“鹤龟算”）。

“雉兔同笼”题为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何？”

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《孙子算经》三卷，案《隋书。经籍志》有《孙子算经》二卷，不著其名，亦不著其时代。《唐书。艺文志》称李淳风注甄鸾《孙子算经》三卷。於孙子上冠以甄鸾，盖如淳风之注《周髀算经》，因鸾所注更加辨论也。《隋书》论审度引《孙子算术》，蚕所生吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分，本书乃作十忽为一丝，十丝为一毫。又论嘉量引《孙子算术》，六粟为圭，十圭为秒，十秒为撮，十撮为勺，十勺为合。本书乃作十圭为一撮，十撮为一秒，十秒为一勺。考之夏侯阳《算经》引田曹、仓曹亦如本书，而《隋书》中所引与史传往往多合。盖古书传本不一，校订之儒各有据证，无妨参差互见也。唐之选举，算学孙子、五曹共限一岁习肄，於後来诸算术中特为近古，第不知孙子何许人。朱彝尊《曝书亭集。五曹算经跋》云，相传其法出於孙武，然孙子别有《算经》，考古者存其说可尔。又有《孙子算经》跋云，首言度量所起，合乎兵法地生度，度生量，量生数之文。次言乘除之法设为之数，十三篇中所云廓地、分利、委积、远输、贵贱、兵役、分数比之《九章》方田、粟米、差分、商功、均输、盈不足之目，往往相符，而要在得算多，多自然胜。以是知此编非伪托也云云。合二跋观之，彝尊之意盖以为确出於孙武。今考书内设问有云，长安洛阳相去九百里。又云，佛书二十九章，章六十三字，则後汉明帝以後人语。孙武春秋末人，安有是语乎？旧本久佚。今从《永乐大典》所载裒集编次，仍为三卷。其甄、李二家之注则不可复考，是则姚广孝等割裂刊削之过矣。