1.1.3 条件语句（1）
下面讨论其他几个重要的命题组合方式。
定义5
令p和q为命题。条件语句p→q是命题“若p，则q”。当p为真而q为假时，条件语句 p→q 为假，否则为真。在条件语句p→q中，p称为假设（或前项、前提），q称为结论（或推论）。
称语句p→q为条件语句，是因为p→q可以断定在条件p成立的时候q为真。条件语句也称为蕴含。
条件语句p→q的真值表如表1-5所示。注意，当p和q都为真，或者当p为假（与q的真值无关）时，p→q为真。
表1-4 两命题异或的真值表
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由于在数学推理中许多地方会用到条件语句，因此表示p→q的术语很多，下面是常用的几个:
“如果p，那么q”“p蕴含q”
“如果p，则q”“q仅当p”
“p是q的充分条件”“q的充分条件是p”
“q如果p”“q每当p”
“当p则q”“q是p的必要条件”
“p的必要条件是q”“q跟随p”
“q，除非┐p”
为了便于理解条件语句的真值表，可以将条件语句想象为合同或义务。例如，许多政治家在竞选时都许诺:
“如果我当选了，那么我将会减税。”
如果这个政治家当选了，选民将期望他能减税。进一步地，如果这个政治家没有当选，那么选民就无法指望他能减税，尽管这个人也许有足够的影响力可令当权者减税。只有在该政治家当选但却没有减税的情况下，选民才能说政治家违背了竞选诺言。这种情形对应于在p→q中p为真但q为假的情况。
类似地，考虑教授可能作出的如下陈述:
“如果你在期末考试得了满分，那么你的成绩将被评定为A。”
如果你设法在期末考试得了满分，那么你可以期望得到A。如果你没得到满分，那么你是否能得到A将取决于其他因素。然而，如果你得到满分，但教授没有给你A，你会有受骗的感觉。
许多人对“p仅当q”与“如果p，那么q”表示同一意思感到有些不解。要理解这一点，请记住，“p仅当q”说的是当q不为真时p不能为真。也就是说，如果p为真但q为假，则这个语句为假。当p为假时，q或者为真，或者为假，因为语句并没有谈及q的真值。人们常犯的一个错误是用“q仅当p”来表达p→q。然而，当p和q有不同的真值时，这两个语句有不同的真值。
“除非”这个词经常用于表达条件语句。例如“q，除非┐p”，意思是如果 ┐p是假的，则q必是真的。也就是说，当p为真，q为假时，语句“q，除非┐p”是假的，否则是真的。因此，“q，除非┐p”与p→q总是有相同的真值。
例7说明了条件语句与中文语句之间的转换。
例7令p为语句“玛利亚学离散数学”，q为语句“玛利亚将找到好工作”。用中文表达语句p→q。
解从条件语句的定义，我们得知，当p为语句“玛利亚学离散数学”，q为语句“玛利亚将找到好工作”时，p→q代表了语句
“如果玛利亚学习离散数学，那么她将找到好工作。”
还有许多其他表述方法来表达这个条件语句。其中大多数自然的是：
“玛利亚学离散数学时，她将找到一份好工作。”
“玛利亚为了得到一份好工作，她需要学离散数学。”
以及
“玛利亚将找到一份好工作，除非她不学离散数学。”
注意我们定义条件语句的方法比其汉语陈述更加通用。比如，在例7中的条件语句，又如语句
“如果今日天晴，那么我们将去海滩。”
中有假设和结论之间的联系，这是一般语言中的语句。而且除非玛利亚学离散数学但没有找到好工作，以及除非今日的确天晴但我们不去海滩，否则上述语句总是成立。另一方面，语句
“如果今天是星期五，那么2+3=5。”
总是成立的，因为它的结论是真的（于是假设部分的真值不起作用）。条件语句
“如果今天是星期五，那么2+3=6。”
是除星期五以外天天成真，尽管2+3=6为假。
在自然语言中，我们不会使用最后这两个条件语句（除非偶尔在讽刺中用到），因为其中的假设和结论之间没有什么联系。在数学推理中我们考虑的条件语句比语言中使用的要广泛一些。条件语句作为一个数学概念不依赖于假设和结论之间的因果关系。我们关于条件语句的定义规定了它的真值，而这一定义不是以语言的用法为基础的。命题语言是一种人工语言，这里为了便于使用和记忆，才将其类比于语言的用法。
许多程序设计语言中使用的if-then（如果那么）结构与逻辑中使用的不同。大部分程序设计语言中都有if p then S这样的语句，其中p是命题而S是一个程序段（待执行的一条或多条语句）。当程序的运行遇到这样一条语句时，如果p为真，就执行S；但若p为假，则S不执行。下面的例子说明这一点。
例8若执行语句
if 2+2=4 thenx∶=x+1
之前，x=0，执行以后x的值是什么?（符号∶=代表赋值，语句x∶=x+1表示将x+1的值赋给x。）
解因为2+2=4为真，所以赋值语句x∶=x+1被执行。因此,在执行此语句之后,x的值是0+1=1。
逆、倒置与反
由条件语句p→q可以构成一些新的条件语句。特别地，产生有3个相关的条件语句，通常它们拥有特殊的名称。
命题q→p称为p→q的逆蕴含，而p→q的倒置蕴含是命题┐q→┐p。命题 ┐p→┐q 称为p→q的反蕴含。
我们会发现，3个由p→q衍生的条件语句中，只有倒置蕴含和 p→q 总是有相同的真值。
我们首先看到，与p→q有相同真值的是倒置蕴含┐q→┐p。注意，只有当┐p为假且┐q为真，即p为真且q为假时，该倒置蕴含为假。现在我们确定，无论p和q的真值如何，逆q→p和反蕴含┐q→┐p与原蕴含p→q都没有相同的真值。注意，当p为真q为假时，原蕴含命题为假，而逆命题和反命题都为真。
当两个复合命题总是具有相同真值时，我们称之为等价。因此一个条件语句与它的倒置等价，一个蕴含的逆蕴含与反蕴含也是等价的，读者可以验证这一点，但它们都不与原条件语句等价（1.2节将介绍等价命题）。一个常见的逻辑错误是假设一个条件语句的逆蕴含和反蕴含等价于这个条件语句。
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