绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。
绝对值有两个意义：
（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
即|a|＝a（当a≥0） , |a|＝－a （当a＜0）
（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。
灵活应用绝对值的基本性质：
（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)
（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；
思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？
|a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？
常用解题方法：
（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）
（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。
（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。
例题解析：
第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用
1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：
解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0
c＜0，b＞0 ∴c－b＜0
故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a
（2）|a－c|－|a＋c|
解：∵a＜0，c＜0 ∴ a＋c＜0，但是a－c 要分类讨论
当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a
当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c
2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。
解：∵x＜－1 ∴x－2＜0
原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x
3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。
解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0
原式＝（a－3）－(a－6) ＝3
4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？
答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b，
解得b＝0，这时a≥0；
当a－b＜0时，a＜b，|a－b|＝b－a，由已知|a－b|＝a＋b，得b－a＝a＋b，
解得a＝0，这时b＞0；
综上所述，（1）是正确的。
第二类：考察对绝对值基本性质的运用
5、已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，求x＋y＋2012的值？
解：∵|x－1|≥0，|y＋1|≥0 ∴2011|x－1|＋2012|y＋1|≥0
又∵已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，∴|x－1|＝0, |y＋1|＝0
∴x＝1，y＝－1，原式＝1－1＋2012＝2012
6、设a、b同时满足：
(1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1
(2) |a－4|＝0
那么ab等于多少？
解：∵|a－2b|≥0，|b－1|≥0 ∴|a－2b|＋|b－1|＝b－1≥0
∴ （1）式＝|a－2b|＋b－1＝b－1 ，得|a－2b|＝0，即a＝2b
∵ |a－4|＝0 ∴ a－4＝0，a＝4
∵ a＝2b ∴ b＝2 ，ab＝4×2＝8
7、设a、b、c为非零有理数，且|a|＋a＝0，|ab|＝ab，|c|－c＝0,
请化简：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c| 。
解：∵|a|＋a＝0，a≠0 ∴a＜0
∵|ab|＝ab≥0 ，b≠0，a＜0 ∴b＜0，a＋b＜0
∵|c|－c＝0，c≠0 ∴c＞0 ，c－b＞0，a－c＜0
∴原式＝b＋（a＋b）－（c－b）＋c－a＝b
8、满足|a－b|＋ab＝1的非负整数（a，b）共有几对？
解：∵a，b都是非负整数 ∴|a－b|也是非负整数，ab也是非负整数
∴要满足|a－b|＋ab＝1，必须|a－b|＝1，ab＝0 或者|a－b|＝0，ab＝1
分类讨论：
当|a－b|＝1，ab＝0时，a＝0，b＝1 或者 a＝1，b＝0 有两对（a，b）的取值；
当|a－b|＝0，ab＝1时，a＝1，b＝1有一对（a，b）的取值；
综上所述，（a，b）共有3对取值满足题意。
9、已知a、b、c、d是有理数，|a－b|≤9，|c－d|≤16，且|a－b－c＋d|＝25，
求|b－a|－|d－c|的值？
分析：此题咋一看无从下手，但是如果把a－b和c－d分别看作一个整体，并且运用绝对值基本性质：|x－y|≤|x|＋|y|即可快速解出。
解：设x＝a－b，y＝c－d，则|a－b－c＋d|＝|x-y|≤|x|＋|y|
∵|x|≤9，|y|≤16 ∴|x|＋|y|≤25 ,|x-y|≤|x|＋|y|≤25
∵已知|x-y|＝25 ∴|x|＝9，|y|＝16
∴|b－a|－|d－c|＝|－x|－|－y|＝|x|－|y|＝9－16＝－7
第三类：多个绝对值化简，运用零点分段法，分类讨论
以上这种分类讨论化简方法就叫做零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合。
根据以上材料解决下列问题：
（1） 化简：2|x－2|－|x＋4|
（2） 求|x－1|－4|x＋1|的最大值。
解：（1）令x－2＝0，x＋4＝0，分别求得零点值：x＝2，x＝-4，分区段讨论：
当x≤-4时，原式＝－2（x－2）＋（x＋4）＝－x＋8
当-4＜x≤2时，原式＝－2（x－2）－（x＋4）＝－3x
当x＞2时，原式＝2（x－2）－（x＋4）＝x－8
综上讨论，原式＝…（略)
（2）使用“零点分段法”将代数式简化，然后在各个取值范围内求出最大值，再加以比较，从中选出最大值。
令x－1＝0，x＋1＝0，分别求得零点值：x＝1，x＝-1，分区段讨论：
当x≤-1时，原式＝－（x－1）＋4（x＋1）＝3x＋5 ，当x=-1时，取到最大值等于2；
当-1＜x≤1时，原式＝－（x－1）－4（x＋1）＝－5x－3，此时无最大值；
当x＞1时，原式＝（x－1）－4（x＋1）＝－3x＋3，此时无最大值。
综上讨论，当x=-1时，原式可以取到最大值等于2。
11、若2x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4的值恒为常数，则此常数的值为多少？
解：我们知道，互为相反数的两个数，它们的绝对值相等，利用这条性质，可以把绝对值内带x的项的符号由负号都变成正号，便于在区段内判断代数式的正负。
即原式＝2x＋|5x－4|＋|3x－1|＋4
令5x－4＝0，3x－1＝0，分别求得零点值：x＝4/5 , x＝1/3，分区段讨论：
当x≤1/3时，原式＝2x－（5x－4）－（3x－1）＋4＝－6x＋9，此时不是恒值；
当1/3＜x≤4/5时，原式＝2x－（5x－4）＋（3x－1）＋4＝7，此时恒为常数7；
当x＞4/5时，原式＝2x＋（5x－4）＋（3x－1）＋4＝10x－1，此时也不是恒值。
综上所述，若原式恒为常数，则此常数等于7 。
12、若|a|＝a＋1，|x|＝2ax，且|x＋1|＋|x－5|＋2|x－m|的最小值是7，则m等于多少？
解：∵当a≥0时，|a|＝a＝a＋1,得到0＝1矛盾 ∴a＜0，|a|＝－a＝a＋1，解得a＝－1/2。
∵|x|＝2ax＝－x，即x的绝对值等于它的相反数 ∴x≤0
令x＋1＝0，x－5＝0，x－m＝0，分别求得零点值：x＝－1，x＝5，x＝m
∵x≤0 ∴要对m进行分类讨论，以确定分段区间：
（1）若m≥0，则x取值范围分成x≤－1和－1＜x≤0
当x≤－1，原式＝－（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－4x＋4＋2m， x＝－1时取到最小值8＋2m；
当－1＜x≤0，原式＝（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－2x＋6＋2m， x＝0时取到最小值6＋2m；
所以当m≥0时，最小值是6＋2m，令6＋2m＝7，得m＝0.5，符合题意
（2）若－1≤m＜0，则x取值范围分成x≤－1和－1＜x≤m和m＜x≤0
当x≤－1，原式＝－（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－4x＋4＋2m， x＝－1时取到最小值8＋2m,因为－1≤m＜0，所以最小值≥6；
当－1＜x≤m，原式＝（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－2x＋6＋2m， x＝m时取到最小值6；
所以当－1≤m＜0时，最小值是6，和题意不符。
（3） 若m＜－1，则x取值范围分成x≤m和m＜x≤－1和－1＜x≤0
当x≤m，原式＝－（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－4x＋4＋2m， x＝m时取到最小值4－2m；
当m＜x≤－1，原式＝－（x＋1）－（x－5）＋2（x－m）＝4－2m，这时为恒值4－2m；
当－1＜x≤0，原式＝（x＋1）－（x－5）＋2（x－m）＝2x－2m＋6，无最小值；
所以当m＜－1时，最小值是4－2m，令4－2m ＝7，得m＝－1.5，符合题意
综上所述，m＝0.5或－1.5 。
第四类：运用绝对值的几何意义解题
理解1、x的绝对值的几何意义是在数轴上表示 x的点到原点的距离，即|x|=|x－0|
|x－1|的几何意义是在数轴上表示 x的点到表示1的点的距离，
|x＋2|的几何意义是在数轴上表示 x的点到表示－2的点的距离，
|a－b|的几何意义是在数轴上表示 a的点到表示b的点的距离。
理解2、设A和B是数轴上的两个点，X是数轴上一个动点，我们研究下，当X在什么位置时，X到A点和B点的距离之和最小？很显然，当X点在A点和B点之间时，X点到两个点的距离之和最小，最小值即为A点到B点的距离。当再增加一个C点时，如何求动点X到三个点的距离之和的最小值呢？不难发现，当X点和最中间的点重合时，它到三个点的距离之和最小，最小值也是A点到B点的距离。继续推论下去，我们可以得到结论：如果有偶数个点，当动点处在最中间的两个点之间时，它到所有点的距离之和最小。如果有奇数个点，当动点处在最中间那个点的位置时，它到所有点的距离之和最小。用一句话来记忆就是：奇中偶范。即有奇数个点时，取最小值是在最中间的点。偶数个点时，取最小值是在最中间的两个点之间的范围内都可以。
13、点A、B的数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a－b|。根据以上知识解题：
（1）表示x的点和－1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|＝2，那么x为 。
（2）若|x＋1|＋|x－2|取最小值，相应的x的取值范围是 ，此时最小值是 。
（3）若|x＋1|＋|x－2|＋|x－3|取最小值，相应的x的取值范围是 ，此时最小值是 。
(4) 设a＜b＜c ＜d，则 |x－a|＋|x－b|＋|x－c|＋|x－d|的最小值为 。
答：（1）A点和B点的距离是|x－(－1)|＝|x＋1|，如果|AB|＝2，说明x点在－1点的左右两边并且距离－1点两个单位长度，所以x＝－3或1。
（2）|x＋1|＋|x－2|可以理解为x点分别到表示－1的点和2的点的距离之和，当x点在两个点之间时，即－1≤x≤2时，距离之和取最小值，此时为－1到2的距离，等于3。
（3）同理可以理解为x点分别到表示－1，2，和3的点的距离之和，由奇中偶范的结论可知，当取中间点即x＝2时，它有最小值等于4。（即表示－1的点到表示3的点的距离）
(4)同理，一共有4个点，所以x的取值范围是b≤x≤c，最小值是d－a＋c－b 。
14、若|x＋2|＋|x－4|≥a恒成立，则a的取值范围为 。
答：因为|x＋2|＋|x－4|≥6，所以当a ≤6时，|x＋2|＋|x－4|≥a恒成立。
15、已知有理数x满足|x＋4|＋|x－9|=13，求|x－4|＋|x－8|的最大值？
答：因为|x＋4|＋|x－9|≥13，当－4≤x≤9时，|x＋4|＋|x－9|=13。|x－4|＋|x－8|的几何意义是数轴上表示x的点到表示4的点和8的点的距离之和，x点离4和9越远，它们之间的距离之和就越大，所以当x=-4时，|x－4|＋|x－8|取最大值20。
16、已知|x＋2|＋|1－x|=9－|y－5|－|1＋y|，求x＋y的最大值与最小值？
答：对原式进行移项，整理可得|x＋2|＋|1－x|＋|y－5|＋|1＋y|=9。
因为|x＋2|＋|1－x|≥3，|y－5|＋|1＋y|≥6，只有当x＋2|＋|1－x|和|y－5|＋|1＋y|都取最小值时，上面等式才成立，即－2≤x≤1，－1≤y≤5，所以x＋y的最大值为1＋5＝6，最小值为－2－1＝－3。
练习题：
1、已知|x|≤1，|y|≤2，且k＝|x＋y|＋|y＋2|＋|2y－x－6|，求k的最大值和最小值？
2、如果a、b、c、d为互不相等的有理数，且|a－c|＝|b－c|＝|d－b|＝1,那么|a－d|等于多少？
3、求| x－1|＋| x－2|＋| x－3|＋…＋| x－2015|的最小值。
4、已知有理数a、b满足|b＋1|－|1－a|＝|a－b|，则a、b、－1之间的大小关系可以是 。
5、数轴上A、B、C三点所代表的数分别是a、1、c，且|c－1|－|a－1|＝|a－c|，若下列选项中，有一个表示A、B、C三点在数轴上的位置关系，则选项为（ ）。
（完）
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