高考数学常考知识点之数列

数列

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数学探索?版权所有www.delve.cn数列．
数学探索?版权所有www.delve.cn等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．
数学探索?版权所有www.delve.cn等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．
数学探索?版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索?版权所有www.delve.cn（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
数学探索?版权所有www.delve.cn（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．
数学探索?版权所有www.delve.cn（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．
                   §03. 数 列  知识要点

	等差数列	等比数列
定义
递推公式	；	；
通项公式		（ ）
中项	（ ）	（ ）
前 项和
重要性质

1. ⑴等差、等比数列：

		等差数列	等比数列
定义
通项公式		= +（n-1）d= +（n-k）d= + -d
求和公式
中项公式		A=     推广：2 =	。推广：
性质	1	若m+n=p+q则	若m+n=p+q，则 。
	2	若 成A.P（其中 ）则 也为A.P。	若 成等比数列 （其中 ），则 成等比数列。
	3	．  成等差数列。	成等比数列。
	4		，
	5

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①

②2

(

)

③

(

为常数).

⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：

①

②

(

，

)①

注①：i. 

，是a、b、c成等比的双非条件，即

a、b、c等比数列.

ii. 

（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.

iii. 

→为a、b、c等比数列的必要不充分.

iv. 

且

→为a、b、c等比数列的充要.

注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.

③

(

为非零常数).

④正数列{

}成等比的充要条件是数列{

}（

）成等比数列.

⑷数列{

}的前

项和

与通项

的关系：

[注]： ①

（

可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若

不为0，则是等差数列充分条件）.

②等差{

}前n项和

  →

可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若

为零，则是等差数列的充分条件；若

不为零，则是等差数列的充分条件.  

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）

2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍

；

②若等差数列的项数为2

，则

；

③若等差数列的项数为

，则

，且

，

 

.      

3. 常用公式：①1+2+3 …+n =

    

②

    

③

[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…

； 5，55，555，…

.

4. 等比数列的前

项和公式的常见应用题：

⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为

，年增长率为

，则每年的产量成等比数列，公比为

. 其中第

年产量为

，且过

年后总产量为：

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存

元，利息为

，每月利息按复利计算，则每月的

元过

个月后便成为

元. 因此，第二年年初可存款：

=

.

⑶分期付款应用题：

为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；

为年利率.

5. 数列常见的几种形式：

⑴

（p、q为二阶常数）

用特证根方法求解.

具体步骤：①写出特征方程

（

对应

，x对应

），并设二根

②若

可设

，若

可设

；③由初始值

确定

.

⑵

（P、r为常数）

用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为

的形式，再用特征根方法求

；④

（公式法），

由

确定.

①转化等差，等比：

.

②选代法：

.

③用特征方程求解：

.

④由选代法推导结果：

.

6. 几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前

项和为

，在

时，有最大值. 如何确定使

取最大值时的

值，有两种方法：

一是求使

，成立的

值；二是由

利用二次函数的性质求

的值.

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前

项和可依照等比数列前

项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差

的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证

为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证

都成立。

3. 在等差数列｛

｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当

>0,d<0时，满足

的项数m使得

取最大值. (2)当

<0,d>0时，满足

的项数m使得

取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

数列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

      2.裂项相消法:适用于

其中{ 

}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

　　　3.错位相减法:适用于

其中{ 

}是等差数列，

是各项不为0的等比数列。

      4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论

1）: 1+2+3+...+n = 

     

2） 1+3+5+...+(2n-1) =

 3）

  

    4） 

   

5）  

   

6）