第六章 三角形
课时26．几何初步及平行线、相交线
【课前热身】
1. 如图，延长线段到，使，
若，则线段是的 倍．
2．如图，已知直线，，则的度数是 ．
3．如图，在不等边中，，，图中等于的角还有______________．
4．经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（ ）
A．一条或三条 B．三条
C．两条 D．一条
5．如图，直线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【考点链接】
1. 两点确定一条直线，两点之间线段最短._______________叫两点间距离.
2. 1周角＝__________平角＝_____________直角＝____________．
3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果_____________________互为补角，__________________的补角相等.
4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________.
5. 过直线外一点心___________条直线与这条直线平行.
6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补.
7. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行.
8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.
【典例精析】
例1 如图：AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=720，则∠2等于多少度？
例2 如图，中，的平分线相交于点，过作，
若，则等于多少？
【中考演练】
1．(08永州) 如图，直线a、b被直线c所截，若要a∥ b，需增加条件
_____________．（填一个即可）
2．（08义乌） 如图直线l1//l2，AB⊥CD，∠1=34°，那么∠2的度数是 ．
3．(08河南) 如图, 已知直线, 则（ ） A. B. C. D.
( 第1题) ( 第2题) (第3题)
4．(08益阳) 如图，在△ABC中，AB＝BC＝12cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC．
(1) 求∠EDB的度数；
(2) 求DE的长．
5. (08宁夏)如图，AB∥CD， AC⊥BC，∠BAC＝65°，求∠BCD度数．
﹡6. (08东莞) 如图，在ΔABC中，AB＝AC＝10，BC＝8．用尺
课时27．三角形的有关概念
【课前热身】
1． 如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，
点D在BC的延长线上，则∠ACD＝ 度.
2． 中，分别是的
中点，当时， cm． （第1题）
3． 如图在△ABC中，AD是高线，AE是角平分线，AF中线.
(1) ∠ADC＝ ＝90°； (2) ∠CAE＝ ＝ ；
(3) CF＝ ＝ ； (4) S△ABC＝ ．
（第3题） （第4题）
4． 如图，⊿ABC中，∠A = 40°,∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF = 度.
5． 如果两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的度数之比为3:6，那么这两个角分别等于 °和 °．
【考点链接】
一、三角形的分类：
1．三角形按角分为______________，______________，_____________．
2．三角形按边分为_______________,__________________.
二、三角形的性质：
1．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边
2．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________．
三、三角形中的主要线段：
1．___________________________________叫三角形的中位线．
2．中位线的性质：____________________________________________．
3．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线)
【典例精析】
例1 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°．
求∠DAC的度数．
例2 如图，已知D 、E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE、AD，
若S＝24cm,求△DEC的面积.
例3 如图，在等腰三角形中，，，为底边上一动点（不与点重合），，，垂足分别为，求的长．
【中考演练】
1．在△ABC中，若∠A＝∠C＝∠B，则∠A＝ ，∠B＝ ，这个三角形是 .
2． （07深圳）已知三角形的三边长分别为3、8、x，若x的值为偶数，则x的值有（ ）
A. 6个 B. 5个 C. 4 个 D. 3个
3．（07济南）已知一个三角形三个内角度数的比是1:5:6，则其最大内角度数为（ ）
A.60° B.75° C.90° D.120°
4．如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度数．
5. 如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，
求∠EDC和∠BDC的度数．
﹡6. △ABC中，AD是高，AE、BF是角角平分线相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，
课时28．等腰三角形与直角三角形
【课前热身】
1．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______．
2. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝_____°．
3．在△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，且BD＝BC＝AD．则∠A等于（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
（第2题） （第3题） （第4题）
4．（07南充）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
【考点链接】
一．等腰三角形的性质与判定：
1. 等腰三角形的两底角__________；
2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；
3. 有两个角相等的三角形是_________．
二．等边三角形的性质与判定：
1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；
2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．
三．直角三角形的性质与判定：
1. 直角三角形两锐角________．
2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．
3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；
4. 勾股定理：_________________________________________．
5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________．
【典例精析】
例1 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
例2 （06包头）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1．5秒．
（1）试求该车从A点到B的平均速度；
【中考演练】
1．(08湖州)已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为____________．度．
2．（08白银）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为____．
3． (08武汉) 如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前
有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中
点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔
所在的位置到公路的距离AB是____________．
（第3题）
4．如图，已知在直角三角形中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．
⑴ 若∠BAC=30°，求证：AD=BD；
5．(08义乌) 如图，小明用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小明离
树的距离为4米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米）
课时29．全等三角形
【课前热身】
1．如图1所示，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=____．
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图2，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去
3．如图，已知AE∥BF, ∠E=∠F,要使△ADE≌△BCF,可添加的条件是________.
4. 在⊿ABC和⊿A/B/C/中，AB=A/B/，∠A=∠A/，若证⊿ABC≌⊿A/B/C/还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（ ）
A. ∠B=∠B/ B. ∠C=∠C/ C. BC=B/C/， D. AC=A/C/，
【考点链接】
1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.
2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.
3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.
4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等.
【典例精析】
例1 已知：在梯形ABCD中，AB//CD，E是BC的中点，直线AE与DC的延长线交于点F. 求证：AB=CF.
例2 （06重庆）如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，
且AE∥BC．求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．
【中考演练】
1.（08遵义）如图，，，，，则
等于（ ）
A． B． C． D．
2. ( 08双柏) 如图，点在的平分线上，，则需添加的一个条件是 （只写一个即可，不添加辅助线）：
（第1题） （第2题） （第3题）
3. ( 08郴州) 如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则 __________度．
5. 如图，AB=AD，BC=DC，AC与BD交于点E，由这些条件你能推出哪些结论？
（不再添加辅助线，不再标注其它字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论即可）
﹡6. (08东莞) 如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小.
课时30．相似三角形
【课前热身】
1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．
2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．
A． B．
C． D．
4．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：
（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
【考点链接】
一、相似三角形的定义
三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．
二、相似三角形的判定方法
1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________．
2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____．
3. 两个角对应相等的两个三角形__________．
4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．
5. 三边对应成比例的两个三角形___________．
三、相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．
2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．
3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．
【典例精析】
例1 在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=4，AC=3，DE=1，当DF等于多少时，这两个三角形相似．
例2 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
例3 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？
【中考演练】
1.（08大连）如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为______________．
2. (08杭州) 在
写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _ ； 并写出它的面积比_____.
（第1题） （第2题） （第3题）
3.( 08常州) 如图，在△ABC中,若DE∥BC,
A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm
4. （08无锡） 如图，已知
课时31．锐角三角函数
【课前热身】
1．（06黑龙江）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则AC的长是（ ）
A． B．3 C． D．
2．RtABC中，∠C=，∠A∶∠B=1∶2，则sinA的值（ ）
A． B． C． D．1
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），
点B（0，－4），则 等于_______．
4．=____________．
【考点链接】
1．sinα，cosα，tanα定义
sinα＝____，cosα＝_______，tanα＝______ ．
2．特殊角三角函数值
| | 30° | 45° | 60° |
| sinα | | | |
| cosα | | | |
| tanα | | | |
【典例精析】
例1 在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA．
例2 计算:．
例3 等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，求底角∠B的四个三角函数值．
【中考演练】
1．(08威海) 在△ABC中，∠C ＝ 90°，tanA ＝，则sinB ＝( )
A． B． C． D．
2．若，则下列结论正确的为（ ）
A． 0°< ∠A < 30° B．30°< ∠A < 45°
C． 45°< ∠A < 60° D．60°< ∠A < 90°
3. (08连云港) 在中，，，，则 ．
4.（07济宁） 计算的值是 .
5. 已知 ．
6．△ABC中，若（sinA－）2＋|－cosB|＝0，求∠C的大小．
﹡7.（07长春）图中有两个正方形，A，C两点在大正方形的对角线上，△HAC是等边三角形，若AB=2，求EF的长．
﹡8. 矩形ABCD中AB＝10，BC＝8， E为AD边上一点，沿BE将△BDE对折，点D正好落在AB边上，求 tan∠AFE．
课时32．解直角三角形及其应用
1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号）
（第1题）
2. 某坡面的坡度为1：，则坡角是_______度．
3．(07山东)王英同学从A地沿北偏西60º方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地 ( )
A．150m B．m C．100 m D．m
【考点链接】
2．解直角三角形的类型：
已知____________；已知___________________．
3．如图（1）解直角三角形的公式：
（1）三边关系：__________________．
（2）角关系：∠A+∠B＝_____，
（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．
cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．
4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．
5．如图（3）方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________．
6．如图（4）坡度：AB的坡度iAB＝_______，∠α叫_____，tanα＝i＝____．
（图2） （图3） （图4）
【典例精析】
例1 Rt的斜边AB＝5, ，求中的其他量.
例3（07辽宁）为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米．（如图所示）
求：（1）渠面宽EF；
（2）修200米长的渠道需挖的土方数．
【中考演练】
1．在中，，AB＝5，AC＝4，则 sinA的值是_________.
2．(07乌兰察布)升国旗时，某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时， 该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m，则旗杆高度约为_______.（取，结果精确到0.1m）
3．（07云南）已知：如图，在ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长. (结果保留根号)
﹡4．（06哈尔滨）如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）
第七章 四边形
课时33．多边形与平面图形的镶嵌
【课前热身】
1.（07嘉兴）四边形的内角和等于__________．
2．(08黑河）一幅图案．在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的
两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 ．
3. 内角和为1440°的多边形是 ．
4. 一个正多边形的每一个外角都等于72°,则这个多边形的边数是_________.
5.（08山东）只用下列图形不能镶嵌的是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形
6. 若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（ ）
A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形
7. (08青海）一个多边形内角和是，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【考点链接】
1. 四边形有关知识
⑴ n边形的内角和为 ．外角和为 ．
⑵ 如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，
外角和增加 ．
⑶ n边形过每一个顶点的对角线有 条，n边形的对角线有 条．
2. 平面图形的镶嵌
⑴ 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个____________时，就拼成一个平面图形.
⑵ 只用一种正多边形铺满地面，请你写出这样的一种正多边形____________．
3．易错知识辨析
多边形的内角和随边数的增加而增加,但多边形的外角和随边数的增加没有变化，外角和恒为360 º．
【典例精析】
例1 已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数．
例2 （08杭州）在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
﹡例３ 请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽
图案.
【中考演练】
1．（08北京）若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2. （08哈尔滨）某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
3.
则∠CAD的度数是 °．
4. 下面各角能成为某多边形的内角的和的是（ ）
A．430° B．4343° C．4320° D．4360°
5. （08凉山）一个多边形的内角和与它的一个外角的和
为，那么这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．
（1）求它的边数； （2）求少的那个内角的度数．
课时34．平行四边形
【课前热身】
1．平行四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝130 o，则∠D的度数是 .
2．ABCD中，∠B=30°，AB＝4 cm，BC=8 cm，则四边形ABCD的面积是_____.
3．平行四边形ABCD的周长是18，三角形ABC的周长是14，则对角线AC的长是 .
4．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，
∠Ｃ＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE＝
度．
（第4题）
5．平行四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是（ ）
A．1:2:3:4 B. 3:4:4:3
C. 3:3:4:4 D. 3:4:3:4
6．（08厦门）在平行四边形中，，那么下列各式中，不能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点链接】
1．平行四边形的性质
（1）平行四边形对边______，对角______；角平分线______；邻角______.
（2）平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相______．（填“平行”或“垂直”）
（3）平行四边形的面积公式____________________.
2．平行四边形的判定
（1）定义法：________________________.
（2）边：________________________或_______________________．
（3）角：________________________．
（4）对角线：________________________．
【典例精析】
例1 （08南京）如图，在ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE．
求证：△ABF≌△DCE；
例2 如图,小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少?
例3 如图，在□ABCD中，E，F分别是CD，AB上的点，且DE＝BF.
求证：AE＝CF
【中考演练】
1．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. 一组对边相等 B. 对角线互相平分
C. 一组对角相等 D. 对角线互相垂直
2．
长线上的一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3. □ABCD中，∠A比∠B大20°,则∠C的度数为___ .
4．□ABCD中, AB:BC＝1:2，周长为24cm, 则AB＝_____cm, AD＝_____cm．
5. 如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF, 请你以F为一个端点，和图中已标有字母的某一点连成一条新线段, 猜想并证明它和图中已有的某一线段相等.(只需证明一组线段相等即可)
(1) 连结_________,
(2) 猜想______＝________.
(3) 证明:
﹡6． （08西宁）如图，已知：中，的平分线交边于， 的平分线 交于，交于．求证：．
课时35．矩形、菱形、正方形
【课前热身】
1. 矩形的两条对角线的一个交角为60 o，两条对角线的长度的和为8cm，则这个矩形的一条较短边为 cm.
2.（08肇庆）边长为５cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是 .
3. 若正方形的一条对角线的长为2cm，则这个正方形的面积为 ．
4.（08义乌）下列命题中，真命题是 （ ）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
5. (08宁夏)平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（ ）
A．AB＝BC B.AC＝BD C.AC⊥BD D.AB⊥BD
【考点链接】
1. 特殊的平行四边形的之间的关系
2. 特殊的平行四边形的判别条件
要使 ABCD成为矩形，需增加的条件是_______ _____ ；
要使 ABCD成为菱形，需增加的条件是_______ _____ ；
要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ ；
要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ .
3. 特殊的平行四边形的性质
| | 边 | 角 | 对角线 |
| 矩形 | | | |
| 菱形 | | | |
| 正方形 | | | |
【典例精析】
例1 如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长积．
例2 （08乌鲁木齐）如图，在四边形中，点是线段上的任意一点（ 与不重合），分别是的中点．
（1）证明四边形是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，若，且，证明平行四边形 是正方形．
【中考演练】
1.（08恩施）已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为 cm2．
2.（08白银）如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，
则=（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
则得到的四边形
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
4．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，
求∠EBF的度数.
5．（08湘潭）如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，
过C作CF⊥DE，垂足为F .
（1）猜想：AD与CF的大小关系；
（2）请证明上面的结论.
6. 已知：如图，Ｄ是⊿ABC的边ＢＣ的中点，ＤＥ⊥ＡＣ、ＤＦ⊥ＡＢ，垂足分别是Ｅ、Ｆ，且ＢＦ＝ＣＥ，求证：
（１）⊿ABC是等腰三角形
（２）当∠Ａ＝90°时，判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的判断结论.
﹡
MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是
矩形？并证明你的结论．
课时36． 梯 形
【课前热身】
1．下列结论正确的是( )
A．四边形可以分成平行四边形和梯形两类
B．梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类
C．平行四边形是梯形的特殊形式
D．直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式
2．等腰梯形ABCD对角线交于O点，∠BOC＝120°，∠BDC＝80°，则∠DAB＝__．
3．一梯形是上底为4cm，过上底的一顶点，作-直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，若三角形的周长为12cm，则梯形的周长是________．
4．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝80°，BC＝5，AC＝3，则CD＝____．
E为BC上一点，DE∥AB，AD的长为1，BC的长
为2，则CE的长为 ________．
【考点链接】
1．梯形的面积公式是________________.
2．等腰梯形的性质：边 __________________________________.
角 __________________________________.
对角线 __________________________________.
3． 等腰梯形的判别方法__________________________________.
4． 梯形的中位线长等于__________________________.
【典例精析】
例1（08福州）如图，在等腰梯形中，，是的中点，
例2 如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，
例3 （08北京）如图，在梯形中，，，，，，求的长．
例4 已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8.
求梯形两腰AB、CD的长.
【中考演练】
1．（08盐城）梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 ．
2．四边形ABCD中，若∠A︰∠B︰∠C︰∠D＝2︰2︰1︰3，那么这个四边形
是（ ）
A．梯形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．任意四边形
3．（08黄冈）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC，BD相交
A．梯形ABCD是轴对称图形 B．BC=2AD
C．梯形ABCD是中心对称图形 D．AC平分∠DCB
4．梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，CE∥DA，交AB于E，且△BCE的周长为7cm，CD为3cm，求梯形ABCD的周长．
5． 如图所示，在梯形ABCD中，上底AD＝1 cm，下底BC＝4cm，对角线BD⊥AC，
且BD＝3cm，AC＝4cm．求梯形ABCD的面积．
﹡6．（08山东）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．
﹡7．（08重庆）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．
求证：（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD=DE．
第八章 圆
课时37．圆的有关概念与性质
【课前热身】
1.（08重庆）如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.（08湖州）如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ） A． B． C． D．
3.（08梅州）如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC．则四边形OACB是（ ）
A．正方形 B.长方形
C．菱形 D．以上答案都不对
4.（08福州）如图，是⊙O的弦，于点，若，
，则⊙O的半径为 cm．
5. (08荆门)如图，半圆的直径AB＝___ ．
【考点链接】
1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .
2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又
是 对称图形， 是它的对称中心.
3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .
4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .
5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .
6. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .
【典例精析】
例1 （08呼伦贝尔）如图：⌒=⌒，分别是半径和的中点，与 的大小有什么关系？为什么？
例2 （08济南）已知：如图，，在射线AC上顺次截取AD =3cm，DB =10cm，
以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF 的长．
【中考演练】
1.（08台州）下列命题中，正确的是（ ）
① 顶点在圆周上的角是圆周角； ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③ 的圆周角所对的弦是直径； ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
⑤ 同弧所对的圆周角相等
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
2.（08湘潭）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，
半径 OA＝10 m，高度CD为_ ____m．
3.（08襄樊）如图，⊙O中，，则的度数为 ．
4.（08广州）如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且⌒=⌒．
（1）求证：AC = AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．
﹡5. (07德州) 如图，是⊙O的内接三角形，，为⊙O的⌒上一点，延长至点，使．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
课时38．与圆有关的位置关系
【课前热身】
1.（08湛江）⊙O的半径为
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法确定
2.（08宁德）如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映 出的两圆位置关系有（ ）
A．内切、相交 B．外离、相交
C．外切、外离 D．外离、内切
3. (08庆阳)两圆半径分别为3和4，圆心距为7，则这两个圆( )
A．外切 B．相交 C．相离 D．内切
4.（08上海）如图，从圆外一点引圆的两条切线
，切点分别为．如果，
，那么弦的长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
5.（08郴州）已知⊙O的半径是3，圆心O到直线AB的距离是3，则直线AB与⊙O的位置
关系是 .
【考点链接】
1. 点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：
①d r，②d r，③d r.
2. 直线与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ .
对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：
①d r，②d r，③d r.
3. 圆与圆的位置关系共有五种：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d R－r，②d R－r，③ R－r d R＋r，④d R＋r，⑤d R＋r.
4. 圆的切线 过切点的半径；经过 的一端，并且 这条 的直线是圆的切线.
5. 从圆外一点可以向圆引 条切线， 相等， 相等.
6. 三角形的三个顶点确定 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫 心，是三角形 的交点.
7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 .
【典例精析】
例1 （08南平）如图，线段经过圆心，交⊙O于点，点在⊙O上，连接，．是⊙O的切线吗？请说明理由．
例2 （08湘潭）如图所示，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O 的切线，切点为C，连结AC.
（1）若∠CPA=30°，求PC的长；
（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M. 你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求∠CMP的大小.
例3 （08恩施）如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，延长到点，使，连结，过点作，垂足为．
（1）求证：；
（2）求证：为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为5，，求的长．
【中考演练】
1.（08长沙）如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且OP=5，PA=4，则sin∠APO
等于（ ）
A． B．
C． D．
2.（08赤峰） 如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3两两相外切，⊙O1的半径，⊙O2的半
径，⊙O3的半径，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
3.（08自贡）如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝2，sinB＝，则弦AC的长为 ．
4.（08云南）已知，⊙
5. （08泰安）如图所示，是直角三角形，，以为直径的⊙O 交于点，点是边的中点，连结．
（1）求证：与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，，求．
﹡6. （08威海）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．
（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）
与时间t（秒）之间的函数表达式；
（2）问点A出发后多少秒两圆相切？
课时39．与圆有关的计算
【课前热身】
1. （08安徽）如图，在⊙O中，，， 则劣弧⌒的长
为 cm．
2. （08宜昌）翔宇学中的铅球场如图所示，已知扇形AOB的面积是36米2，⌒的
长度为9米，那么半径OA ＝ 米．
3.（07苏州）如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积
为 __________ .(结果保留
4.（07常州）已知扇形的半径为2cm，面积是，则扇形的弧长是 cm，
扇形的圆心角为 °．
5. （08潍坊）如图，正六边形内接于圆，圆的半径为10，则圆中阴影部分的
面积为 ．
【考点链接】
1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n°的圆心角所对
的弧长为 ，弧长公式为 .
2. 圆的面积为 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n°的圆心角所在的扇形面积为S=
3. 圆柱的侧面积公式：S=.（其中
4. 圆锥的侧面积公式：S=.（其中
【典例精析】
例1 （08金华）如图，CD切⊙O于点D，连结OC，交⊙O于点B，过点B作弦AB⊥OD，
点E为垂足，已知⊙O的半径为10，sin∠COD =．(1)求弦AB的长；（2）CD的长；
（3）劣弧AB的长.（结果保留三个有效数字，，≈3.142）
例2 （08南昌）如图，为⊙O的直径，于点，交⊙O于点，
于点．
（1）请写出三条与有关的正确结论；
（2）当，时，求圆中阴影部分的面积．
例3 (08庆阳)如图，线段与⊙O相切于点，连结、，交⊙O于点D，已知，.
求（1）⊙O的半径； （2）图中阴影部分的面积．
【中考演练】
1. （08孝感）中，，，，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
2. （08厦门）如图，在矩形空地上铺4块扇形草地．若扇形的半径均为米，圆心角均为，则铺上的草地共有 平方米．
3.（08贵阳）如图，已知是⊙O的直径，点在⊙O上，且，．
（1）求的值；
（2）如果，垂足为，求的长；
（3）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）．
﹡
﹡4.（07贵阳）如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．
（1）求这个扇形的面积（结果保留）；
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．
（3）当⊙O的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
第九章 图形与变换
课时40．视图与投影
【课前热身】
1.（08福州）如图所示的物体是一个几何体，其主视图是（ ）
2. (08深圳) 如图，圆柱的左视图是（ ）
3.（08贵阳）在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（ ）
4.（08长沙）如图是每个面上都有一个汉字的正方体
的一种展开图，那么在正方体的表面，与“迎”相
A.文 B.明 C.奥 D.运
5. （08哈尔滨）右图是某一几何体的三视图，
则这个几何体是（ ）
A．圆柱体 B．圆锥体
C．正方体 D．球体
【考点链接】
1. 从 观察物体时，看到的图叫做主视图 ；从 观 察物体时，看到的图叫做左视图 ；从 观察物体时，看到的图叫做俯视图.
2. 主视图与俯视图的 一致；主视图与左视图的 一致；俯视图与左视图的
一致.
3. 叫盲区.
4. 投影可分为平行投影与中心投影.其中 所形成的投影叫平行投影；
所形成的投影叫中心投影.
5. 利用光线是否平行或是否交于一点来判断是 投影或 投影，以及光源的位置和物体阴影的位置.
【典例精析】
例1 （08襄樊）如图4，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
例2 （08兰州）（1）一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（用线段表示）；
（2）图2是两根标杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置（用点表示），并在图中画出人在此光源下的影子．（用线段表示）．
【中考演练】
1. (08庆阳)当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小
．（填 “相同”、“不一定相同”、“不相同”之一）．
2.（08苏州）如图，水平放置的长方体 的底面是边长
体积等于 ．
3.（08威海）下图的几何体是由三个同样大小的立方体搭
成的，其左视图为 （ ）
4. （08巴中）在学校开展的“为灾区儿童过六一”的活动中，晶晶把自己最喜爱的铅笔盒送给灾区儿童．这个铅笔盒（右图）的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5. （08西宁）将图所示的绕直角边旋转一周，所得几何体的主视图为（ ）
6. （08青海）若干桶方便面摆放在桌子上，如图所示是它的三视图，则这一堆方便面共有（ ）
A．6桶 B．7桶 C．8桶 D．9桶
7. （08乌兰察布）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则关于它的视图说法正确的是（ ）
A．正视图的面积最大
B．左视图的面积最大
C．俯视图的面积最大
D．三个视图的面积一样大
8. （08连云港）若一个几何体的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆，则这个几何体可能是（ ）
A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．棱锥
9.（08盐城）下列四个几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ）
A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．三棱柱
课时41．轴对称与中心对称
【课前热身】
1. （08芜湖）下列几何图形中,一定是轴对称图形的有 ( ).
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. (08庆阳)下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是图中的（ ）
3.（08南平）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正三角形 D．矩形
4.（08白银）如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案.其中，是轴对称图形但不是中心对称的图形为（ ）
A.①③ B. ①④ C.②③ D.②④
【考点链接】
1. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ，那么这个图形就是 ，这条直线就是它的 .
2. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形 ，那么这两个图形成 ，这条直线就是 ，折叠后重合的对应点就是 .
3. 如果两个图形关于 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .
4. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫做 图形，这个点就是它的 ．
5. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ．这两个图形中的对应点叫做关于中心的 ．
6. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心所 ．关于中心对称的两个图形是 图形.
7. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ，即点关于原点的对称点为 .
【典例精析】
例1 （08温州）如图，方格纸中有三个点，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
例2 （07苏州）如图，在直角坐标系xOy中， A(一l，5)，B(一3，0)，C (一4，3)．
(1) 在右图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′；
(2) 如果中任意一点的坐标为360docimg_501_，那么它的对应点360docimg_502_的坐标是 ． 
例3 （08徐州）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．菱形 C．直角梯形 D．正六边形
【中考演练】
1. (08绍兴）下列各图中，为轴对称图形的是（ ）
360docimg_503_
360docimg_504_2. (08自贡）如图是一个中心对称图形，A为对称
中心，若∠C = 90°， ∠B = 30°，BC =1，则360docimg_505_的长为（ ）
A．4 B．360docimg_506_ C．360docimg_507_ D．360docimg_508_
3. （08包头）如图是奥运会会旗杆标志图
360docimg_509_案，它由五个半径相同的圆组成，象
征着五大洲体育健儿团结拼搏，那么
这个图案（ ）
A．是轴对称图形 B．是中心对称图形
C．不是对称图形 D．既是轴对称图形又是中心对称图形
4. （08怀化）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是 ( )
360docimg_510_
A. B. C. D.
5. （08广州）若将图2中的每个字母都看成独立的图案，则这七个图案中是中心对称图形的有（ ）
360docimg_511_
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6. （08乌兰察布）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
360docimg_512_
A． B． C． D．
课时4２．平移与旋转
【课前热身】
1. （08长春）下列四个图案中，可能通过右图平移得到的是（ ）
360docimg_513_
360docimg_514_2. （08广州）将左图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（ ）
3. （08无锡）如图，360docimg_515_绕点360docimg_516_逆时针旋转360docimg_517_到360docimg_518_的位置，已知360docimg_519_360docimg_520_，则360docimg_521_等于（ ）
Ａ．360docimg_522_ Ｂ．360docimg_523_
Ｃ．360docimg_524_ Ｄ．360docimg_525_
4. （08广州） 将线段AB平移1cm，得到线段360docimg_526_，则对应点A与360docimg_527_的距离为 cm．
【考点链接】
1. 一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样的图形运动称为______，它是由移动的 和 所决定．
2. 平移的特征是：经过平移后的图形与原图形的对应线段 ，对应 ，图形的 与 都没有发生变化，即平移前后的两个图形 ；且对应点所连的线段 ．
3. 图形旋转的定义：把一个图形 的图形变换，叫做旋转， 叫做旋转中心， 叫做旋转角．
4. 图形的旋转由 、 和 所决定．其中①旋转 在旋转过程中保持不动．②旋转 分为 时针和 时针. ③旋转 一般小于360º.
5. 旋转的特征是：图形中每一点都绕着 旋转了 的角度，对应点到旋转中心的 相等，对应 相等，对应 相等，图形的 都没有发生变化.也就是旋转前后的两个图形 .
【典例精析】
例1 （08长沙）在下面的格点图中，每个小正方形的边长均为1个单位，请按下列要求画出图形：
（1）画出图①中阴影部分关于O点的中心对称图形；
（2）画出图②中阴影部分向右平移9个单位后的图形；
（3）画出图③中阴影部分关于直线AB的轴对称图形.
360docimg_528_
（图①） （图②） （图③）
360docimg_529_例2 （08绵阳）如图是由若干个边长为1
的小正方形组成的网格，在图中作出
将五角星360docimg_530_向其东北方向平移
360docimg_531_个单位的图形．
360docimg_532_
【中考演练】
1. （08宜昌）如图，将三角尺ABC（其中
∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时
针方向转动一个角度到A1BC1的位置，
使得点A，B，C1在同一条直线上，那么
这个角度等于（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
360docimg_533_2. （07遵义）如图所示是重叠的两个直角
三角形．将其中一个直角三角形沿360docimg_534_方
向平移得到360docimg_535_．如果360docimg_536_，360docimg_537_，
360docimg_538_，则图中阴影部分面积为 360docimg_539_．
3. （08哈尔滨）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并写出点C1的坐标；
（2）将△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
360docimg_540_
4. （08 金华）在平面直角坐标系中，ΔABC 的三个顶点的位置如图所示， 点A′的坐标是(一2，2) ，现将360docimg_541_ABC 平移．使点A 变换为点A′， 点B′、C′分别是B、C 的对应点. (1) 请画出平移后的像360docimg_542_ (不写画法) ，并直接写出点360docimg_543_、360docimg_544_ 的坐标： 360docimg_545_ ( )、360docimg_546_( ) ．
(2) 若ΔABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P 的对应点360docimg_547_的坐标是 ．
360docimg_548_
360docimg_549_
﹡5.（08枣庄）把一副三角板如图甲放置，其中360docimg_550_，360docimg_551_，360docimg_552_，斜边360docimg_553_，360docimg_554_．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点360docimg_555_，与D1 E1 相交于点F．
（1）求360docimg_556_的度数； （2）求线段AD1的长；
（3）若把三角形D1 C E1 绕着点360docimg_557_顺时针再旋转30°得△D2 C E2 ，这时点B在
△D2 C E2的内部、外部、还是边上？说明理由．
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