中考数学专题训练10 开放与探究(含答案)

专题五 综合类问题

第一节 开放与探究

【例题经典】

条件开放

例1  如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，试探究BD与a、b满足什么关系时，△ABC与△CDB相似？

【解析】根据题目所给条件及要求，可结合直角三角形相似的判定方法来加以解决，要注意分两种情况考虑．

【解答】当BD=

时，图中△ABC与△CDB相似．

例2  （2006年泰州市）已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD=x．

  （1）如图（1）当x取何值时，⊙O与AM相切；

（2）如图（2）当x为何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC=90°．

【解答】（1）在图（1）中，当⊙O与AM相切时，设切点为F．

连结OF，则OF⊥AM，∵在Rt△AOF中，∠MAN=30°，

∴OF=

OA．∴2=

（x+2），∴x=2，

∴当x=2时，⊙O与AM相切． 

（2）在图（2）中，过点O作OH⊥BC于H．

当∠BOC=90°时，△BOC是等腰直角三角形，

∴BC=

=2

，

∵OH⊥BC，∴BH=CH，∴OH=

BC=

．

在Rt△AHO中，∠A=30°，

∴OH=

OA，∴

=

（x+2），∴x=2

-2．

∴当x=2

-2时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC=90°．

【点评】解答这类问题往往是把结合反过来当条件用，本例利用了圆的切线性质和垂径定理，构造特殊直角三角形，使问题得以求解．

结论开放

例3  （2006年莆田市）已知矩形ABCD和点P，当点P在边BC上任一位置（如图①所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当P点分别在图②、图③中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图②证明你的结论．

    答：对图②的探究结论为__________．

对图③的探究结论为_________．

    证明：如图2．

    结论均是：PA2+PC2=PB2+PD2．

    证明：如图②过点P作MN⊥AD交AD于点M，交BC于点N．

    ∵AD∥BC，MN⊥AD，∴MN⊥BC

    在Rt△AMP中，PA2=PM2+MA2

    在Rt△BNP中，PB2=PN2+BN2

    在Rt△DMP中，PD2=DM2+PM2

    在Rt△CNP中，PC2=PN2+NC2

    ∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2

    PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2

    ∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC．

    ∴四边形MNCD是矩形．

    ∴MD=NC．

    同理  AM=BN．

    ∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2．

    即PA2+PC2=PB2+PD2．

    【评析】本题也是一道结论开放题，通过阅读题目已知条件及要求，不难探究出正确结论，但是说明理由时，有一定的难度．正确作出辅助线，创造使用勾股的条件，是解决问题的关键．

【考点精练】

1．（2006年山东省）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：

    ①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．

  （1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；

（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．

2．（2006年随州市）如图，矩形ABCD中，M是AD的中点．

    （1）求证：△ABM≌△DCM；

（2）请你探索，当矩形ABCD中的一组邻边满足何种数量关系时，有BM⊥CM成立，说明你的理由．

3．如图，在△ABC中，D为BC上一个动点（D点与B、C不重合），且DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．

    （1）试探究，当AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？并说明理由．

（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由．

4．如图，AB是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，切点是C．点D是EF上一个动点，连接AD．试探索点D运动到什么位置时，AC是∠BAD的平分线，请说明理由．

5．（2006年成都市）已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．

  （1）求证：AF=CE；

（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

6．（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．

    （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

7．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、DC都是⊙O的切点，A、B、E分别是切点．

    （1）判定△COD的形状，并说明理由．

（2）设AD=a，BC=b，⊙O的半径为r，试探究r与a，b之间满足的关系式，并说明理由．

8．（2006年绵阳市）在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．

    （1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P在DC的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；

    （2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．

答案:

考点精练  

1．答案不惟一，符合题意即可．  

2．（1）略  （2）当AD=2AB时，有BM⊥CM成立．说明理由（略）  

3．（1）当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形．理由（略）  

（2）在（1）的条件下，当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形．说明理由（略）  

4．当点D运动到满足条件AD⊥EF时，AC平分∠BAD．证明（略）  

5．（1）证明△ADF≌△CDE即可  （2）四边形AFCE是矩形．（证明略）  

6．（1）证明△BPA≌△BQC，AP=CQ  

（2）△PQC是直角三角形，

∵PA：PB：PC=3：4：5，

设PA=3k，PB=4k，PC=5k，

∵∠PBQ=60°，BP=BQ，∴△PBQ是等边三角形，

∴PQ=PB=4k，在△PQC中，

∵PQ2+QC2=（4k）2+（3k）2=25k2，PC2=（5k）2=25k2，

∴PQ2+QC2=PC2，∴△PQC是Rt△．  

7．（1）△COD是直角三角形，连OE，

由圆的切线的性质可证得：△OAD≌△OED，△OEC≌△OBC，

∴∠AOD=∠EOD，∠EOC=∠BOC，可证得∠DOC=90°，

所以△COD是直角三角形．  

（2）r与a、b之间满足的关系是r2=ab．证明△OAD∽△CBO，

得

，OA·OB=AD·BC即r2=ab．  

8．解：（1）①BE=DF+EF，②BE=DF-EF，③EF=BE+DF．  

（2）证明略．