初三几何进阶：图形的翻折

一、图形翻折的特点

• 对应边相等,对应角相等
• 对称点连线被折痕垂直平分
• 计算时多用勾股定理或相似比例式

二、翻折用到的知识点

• 折叠问题
• 等腰三角形三线合
• 角平分线
• 线段和或差求最值问题
• 垂线
• 特殊角

引题

如图,把正方形沿着折叠使点落在上的点,落在点，交于点,已知正方形的边长为,求的周长.

• 正方形四边都相等,四个角都为直角
• 折叠前后对应边相等,对应角相等
• 求周长,需要转化三边

小试

在正方形中,
(1)如图1,若点,分别在边,上,,交于点,且=.求证:
(2)如图2,将正方形折叠,使顶点与边上的点重合,折痕交于,交于,边折叠后与边交于点.若,,求的长.

中考演练

1. 在平面直角坐标系中,一张矩形纸片按下图放置,已知,,将这张纸片折叠,使点落在边上,记作点,折痕与边(含端点)交于点,与边(含端点)或其延长线交于点.请回答:
    若点的坐标为,求点的坐标
    将矩形沿直线折叠,求点的坐标;
    将矩形沿直线折叠,点在边上(含端点),直接写出的取值范围.

   
2. 如图1,在矩形纸片中,=cm,=cm.
   第一步:如图,将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠,使点落在上的点处,折痕为,再沿折叠,然后把纸片展平.
   第二步:如图,将图中的矩形纸片再次折叠,使点与点重合,折痕为, 然后展平,隐去.
   第三步:如图,将图中的矩形纸片沿折叠,得到折叠, 折痕为,与折痕交于点,然后展平.

   

   (1)请在图2中,证明:四边形是正方形;
   (2)请在图4中,判断与<span role="presentation" data-formula="ND" '="">的数量关系,并加以证明;
   (3)请在图4中, 证明:的三边的比为;
   (4)在不添加字母的情况下,图4中还有哪些三角形三边的比为?请找出并直接写出它们的名称.
   
3. 如图,一张矩形纸片,,,在边上取一点，在边上取一点，将纸片沿折叠，使与交于点,得到, 如图.(1) 若，求的度数;(2)的面积能否小于?若能，求出此时的度数;若不能,请说明理由;(3)如何折叠能够使的面积最大?请你画图探究可能出现的情况,求出最大值.