如图,已知△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB边上的点,CD=BF,以AD为边作等边△ADE.
(1)△ACD和△CBF全等吗?请说明理由;
(2)判断四边形CDEF的形状,并说明理由;
(3)当点D在线段BC上移动到何处时,∠DEF=30°. 分析:(1)△ACD和△CBF中,已知的条件有:AC=BC,CD=BF,∠ACD=∠CBF=60°;根据SAS即可判定两个三角形全等.
(2)由(1)的全等三角形知:AD=CF,即DE=CF=AD;因此只需判断DE与CF是否平行即可.
由(1)的全等三角形,可得∠DAC=∠BCF,而∠BCF+∠ACG=60°,即∠CAD+∠ACG=60°;根据三角形外角的性质,可得∠AGF=60°=∠CGD,由此可判定DE∥FC,即可得出四边形CDEF的形状.
(3)由于四边形EDCF是平行四边形,当∠DEF=30°时,∠DCF=30°;由(2)知:∠DCF=∠DAC,因此∠DAC=30°,即D点移动到BC中点时∠DEF=30°.
解答:解:(1)△ACD≌△CBF
证:∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC
∠ACD=∠B=60°
∵CD=BF
∴△ACD≌△CBF(SAS)
(2)四边形CDEF为平行四边形
∵△ACD≌△CBF
∴∠DAC=∠BCF,CF=AD
∵△AED是等边三角形
∴AD=DE
∴CF=DE①
∵∠ACG+∠BCF=60°
∴∠ACG+∠DAC=60°
∴∠AGC=180°-(∠ACG+∠DAC)=120°
∴∠DGF=∠AGC=120°
∵△AED是等边三角形
∴∠ADE=60°
∴∠DGF+∠ADE=180°
∴CF∥DE②
综合①②可得四边形CDEF是平行四边形.
(3)∵AC=BC,
当点D是BC中点时,BF=CD=
BC=
AB,
∴CF为AB边上的中线,CF平分∠ACB,
∴∠DEF=
∠ACB=30°,
∴当点D是BC中点时,∠DEF=30°.
点评:本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形及平行四边形的判定和性质等知识,综合性较强,难度较大.
本站仅提供存储服务,所有内容均由用户发布,如发现有害或侵权内容,请
点击举报。