欧拉分割函数理论成功解决

分割函数p(n)是指一个整数能用自然数分拆表达的次数总和，例如3可以用“3，2+1，1+1+1”三种方法表示，因此p(3)=3；4可以用“4，3+1，2+2，2+1+1，1+1+1+1”五种表示，因此p(4)=5；...p(100) = 190569292...p(1000) = 24061467864032622473692149727991...

Examples

The partitions of 4 are listed below:

1. 4
2. 3 + 1
3. 2 + 2
4. 2 + 1 + 1
5. 1 + 1 + 1 + 1

The partitions of 8 are listed below:

1. 8
2. 7 + 1
3. 6 + 2
4. 6 + 1 + 1
5. 5 + 3
6. 5 + 2 + 1
7. 5 + 1 + 1 + 1
8. 4 + 4
9. 4 + 3 + 1
10. 4 + 2 + 2
11. 4 + 2 + 1 + 1
12. 4 + 1 + 1 + 1 + 1
13. 3 + 3 + 2
14. 3 + 3 + 1 + 1
15. 3 + 2 + 2 + 1
16. 3 + 2 + 1 + 1 + 1
17. 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
18. 2 + 2 + 2 + 2
19. 2 + 2 + 2 + 1 + 1
20. 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1
21. 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
22. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

分割函数是数论研究的核心问题之一，早在250年前，数学大师欧拉尝试给出一个p(n)的生成函数，他发现了欧拉函数，但并不令人满意，对大数n，函数没什么用；1918年，印度天才数学家拉马努金和哈代给出了一个近似的结果；1937年，Hans Rademacher提出了一个精确的公式，但实用性没有超过欧拉：2007年，埃默里大学的数学家Ken Ono改进了拉马努金的结果；现在，Ken Ono和同事发表了最新研究，宣布彻底解决了这个有250年历史的数论难题，解释如何正确的生成分割数(PDF)，他们发现分割数的模式是分形。