数列知识精要

2010-05-18

数列知识精要

 

数列

[数列的通项公式]       [数列的前n项和]

等差数列

[等差数列的概念]

[定义]如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。

[等差数列的判定方法]

1.  定义法:对于数列 ,若 (常数),则数列 是等差数列。

2.等差中项:对于数列 ,若 ,则数列 是等差数列。

[等差数列的通项公式]

如果等差数列 的首项是 ,公差是 ,则等差数列的通项为

[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。

[等差数列的前n项和] 1      2. 

[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。

[等差中项]

如果 成等差数列,那么 叫做 的等差中项。即:

[说明]:在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

[等差数列的性质]

1等差数列任意两项间的关系:如果 是等差数列的第 项, 是等差数列的第 项,且 ,公差为 ,则有

2.  对于等差数列 ,若 ,则

也就是: ,如图所示:

3.若数列 是等差数列, 是其前n项的和, ,那么 成等差数列。如下图所示:

4.设数列 是等差数列, 是奇数项的和, 是偶数项项的和, 是前n项的和,则有如下性质:

1n项的和

2n为偶数时, ,其中d为公差;

3n为奇数时,则 (其中 是等差数列的中间一项)。

 

5.若等差数列 的前 项的和为 ,等差数列 的前 项的和为

等比数列

[等比数列的概念]

[定义]如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示( )。

[等比中项]

如果在 之间插入一个数 ,使 成等比数列,那么 叫做 等比中项

也就是,如果是的等比中项,那么 ,即

[等比数列的判定方法]

1.  定义法:对于数列 ,若 ,则数列 是等比数列。

2.等比中项:对于数列 ,若 ,则数列 是等比数列。

[等比数列的通项公式]

如果等比数列 的首项是 ,公比是 ,则等比数列的通项为

[等比数列的前n项和]

1    2    3 时,

 [等比数列的性质]

1等比数列任意两项间的关系:如果 是等数列的第 项, 是等差数列的第 项,且 ,公 ,则有

3.  对于等比数列 ,若 ,则

也就是: 。如图所示:

4.若数列 是等数列, 是其前n项的和, ,那么 成等数列。如下图所示:

 

[练习]

1.数列 中, ,若 是等差数列,则          ;若 是等比数列,则         

2.在等差数列 中,若 ,则       

3.两个等差数列,它们的前n项和之比为 ,则它们的第9项之比为         

4.等差数列 的公差为 ,且 ,则       

5.项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求此数列的中间项;
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