数列知识精要

 

数列

[数列的通项公式]       [数列的前n项和]

等差数列

[等差数列的概念]

[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

[等差数列的判定方法]

1．  定义法：对于数列 ，若 (常数)，则数列 是等差数列。

2．等差中项：对于数列 ，若 ，则数列 是等差数列。

[等差数列的通项公式]

如果等差数列 的首项是 ，公差是 ，则等差数列的通项为 。

[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。

[等差数列的前n项和] 1．      2. 

[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。

[等差中项]

如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项。即： 或

[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

[等差数列的性质]

1．等差数列任意两项间的关系：如果 是等差数列的第 项， 是等差数列的第 项，且 ，公差为 ，则有

2．  对于等差数列 ，若 ，则 。

也就是： ，如图所示：

3．若数列 是等差数列， 是其前n项的和， ，那么 ， ， 成等差数列。如下图所示：

4．设数列 是等差数列， 是奇数项的和， 是偶数项项的和， 是前n项的和，则有如下性质：

1前n项的和

2当n为偶数时， ，其中d为公差；

3当n为奇数时，则 ， ， ， ， （其中 是等差数列的中间一项）。

 

5．若等差数列 的前 项的和为 ，等差数列 的前 项的和为 ，

则 。

等比数列

[等比数列的概念]

[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（ ）。

[等比中项]

如果在 与 之间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么 ，即 。

[等比数列的判定方法]

1．  定义法：对于数列 ，若 ，则数列 是等比数列。

2．等比中项：对于数列 ，若 ，则数列 是等比数列。

[等比数列的通项公式]

如果等比数列 的首项是 ，公比是 ，则等比数列的通项为 。

[等比数列的前n项和]

1    2    3当 时，

 [等比数列的性质]

1．等比数列任意两项间的关系：如果 是等比数列的第 项， 是等差数列的第 项，且 ，公比为 ，则有

3．  对于等比数列 ，若 ，则

也就是： 。如图所示：

4．若数列 是等比数列， 是其前n项的和， ，那么 ， ， 成等比数列。如下图所示：

 

[练习]

1．数列 中， ， ，若 是等差数列，则          ；若 是等比数列，则          ；

2．在等差数列 中，若 ，则        ；

3．两个等差数列，它们的前n项和之比为 ，则它们的第9项之比为          ；

4．等差数列 的公差为 ，且 ，则        ；

5．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求此数列的中间项；