本章内容涉及初中数学的逻辑学基础，这些内容对多数人来说虽不是陌生的，但是，也不是系统学习过的，尤其是，数理逻辑初步是多数人陌生的。因而，相对系统地学习本章内容就变得十分重要。不仅如此，还需要结合初中数学中的概念、命题、推理、证明等具体内容加以学习、体会。
数学推理是数学的重要工具和思维形式，分析初中数学课程内容的学科内涵，需要依据初中数学逻辑基础。因此，理解与掌握本章的内容就显得十分重要。通过学习 ,领会概念、命题、推理、证明的基本概念和有关理论，领会逻辑思维的基本规律。 识记概念的含义、内涵与外延、概念间的关系、概念的定义、概念的划分及概念的功能；识记数学判断、命题、简单命题、公理和定理的含义；识记复合命题的真值，领会数学命题的四种形式； 识记逻辑思维的基本规律；初步识记数学推理的意义和结构；领会演绎推理、归纳推理、类比推理的意义和方法；初步识记证明的意义、结构和规则；领会数学证明的常用方法，能够应用逻辑学知识分析初中数学内容的逻辑问题。
逻辑学是由亚里士多德创立，是一门研究思维、思维的规定和规律的科学。自欧几里得将逻辑学引入数学以来， 逻辑学是数学科学的重要基础。本章包含初中数学概念、数学命题、数理逻辑初步的基本介绍，旨在明晰数学概念的定义类型、定义方法、类型；数学命题的教育功能、类型；公理与定理的教学；证明的教学，在此理论基础上，促进教学 质量的提高与教师数学专业理论的提升。
( 一 )如何理解数学概念？
客观事物都有各自的许多性质，或者称为属性。人们在实践活动中，逐渐认识了所接触对象的各种属性。在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，称为这种事物的本质属性。反映事物本质属性的思维形式叫做概念。数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系。反映数学对象的本质属性的思维形式叫做数学概念。
例如，一组对边平行 “是平行四边形的属性，但不是本质属性； “对角线相等 ”是正方形的属性，但不是本质属性。
( 二 ) 数学概念的特点都有什么？
数学概念具有抽象化、形式化等鲜明的特点。
1. 抽象化
数学概念反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性。有些可以直接从客观事物的空间形式和数量关系反映得来，而大多数概念排除对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性，甚至在已有数学概念的基础上，经过多级的抽象过程才产生和发展而成。这种抽象可以脱离具体的实物模型，形成一种具有层次性的体系。
2. 形式化
使用特定的数学符号来表示数学概念，使概念形式化。特定的数学符号既反映数学概念的本质属性，又使数学概念表现形式简化、准确，而且使数学概念可以在符号体系这种纯形式化中得以抽象和发展。
3. 逻辑化
在一个特定的数学体系中，孤立的数学概念是不存在的，它们之间往往存在着某种关系，如相容关系、不相容关系等，这些关系称之为数学概念的逻辑关系。这种逻辑关系使得数学概念系统化、公理化。
4. 简明化
数学概念具有高度的抽象性，再借助数学符号语言，使得一定事物的本质可以用某种简明的形式表现出来，这种简明化使人们在较短时间内领会数学概念成为可能。如“ lim”、 “y=f(x)”是极限概念和函数概念的简明形式。
( 三 )概念的外延与内涵应该如何理解？
概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物。
一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延。例如，“平行四边形”这一概念的外延是“所有平行四边形的集合”，“偶素数”这一概念的外延是“ 2”。
一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵。
概念的内涵 是说明一个概念所反映的事物的本质属性。
例如 : 等腰三角形的内涵是 :三角形、两边相等；
平行四边形的内涵是 :四边形、两组对边互相平行；
无理数的内涵是 :无限小数并且这些小数是不循环的，即无限不循环小数。
概念的外延 是指适合这个概念的一切对象，即符合这一概念所有对象的集合。换言之，是指这个概念的延用范围。
例如 : 所有各种形状的三角形如直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、等腰三角形、等边三角形等等都包含在三角形这一概念的外延之内；
各种平行四边形如矩形、正方形、菱形、以及其它平行四边形等等都是平行四边形这一概念的外延。
概念的内涵和外延之间相互依存，二者是一对矛盾，共处于统一体的概念之中。它们之间有着相互依存、相互制约的关系。例如，如果在平行四边形这个概念的内涵之中增加一个本质属性——各边相等，那么，平行四边形这个概念的外延仅有菱形，它的外延缩小了。
再如，无理数这个概念的内涵是无限不循环小数。如果去掉“不循环”这个本质属性，只剩下一个本质属性“无限小数”；那么，无理数的外延把能化为分数的循环小数，也被包括在内 .它的外延扩大了。
通过以上例子，可以启示我们 :对于那些具有反变关系的两个概念而言，如果概念的内涵扩大，那么它的外延缩小；如果概念的内涵缩小，那么它的外延扩大。而这里的反变关系，就是指两个概念具有种属关系，例如，四边形与正方形。
( 四 ) 初中数学概念的特点是什么？
1. 初中数学概念并非都是通过定义给出的
许多数学概念都是在相应的公理体系下孕育而生的，其中，一些概念就具有公理性的特征。在初中数学中，考虑到学生认知因素等原因，一般不过分强调公理化思想方法，这就使得一些初中数学概念是不定义概念，如“直线”的概念，它的教学就不必非给出定义不可。此外，象“点”、“线”、“面”、“介于”等概念都不是通过定义给出的。
2. 初中数学概念的层次性
数学概念本身具有层次性。这种层次性使得一些数学概念之间具有较明显的体系特征。如实数系统根据定义比较有关概念的内涵。再由外延出发，一般就能够较容易地得到类似实数体系的有关体系结构。
3. 数学概念是理想概念
从理论上讲，数学科学是以数学模型为研究对象的，但数学模型是从大量具体存在中抽象概括成的理想存在。数学概念是一类数学模型，为此具有理想性特征。存在不等于被感知，一些数学概念不存在能被感知的自然界原型，比如直线、平面等。
4. 数学概念是 “过程 ”与 “对象 ”的统一体
国际数学教育心理学研究者在 20世纪 80年代提出，数学内容可以区分为过程和对象两个侧面。过程就是具备了可操作性的法则、公式、定理等，对象就是数学中定义的结构关系。数学概念往往既表现为过程操作，又表现为对象、结构，即所谓的概念的二重性。例如，函数 y=f(x)，既表示定义域中元素 、 r按照对应法则、 f 与值域中元素 y对应的过程，又表示特定对应的关系结构。
( 五 )如何理解数学概念之间的关系？
1. 同一关系
两个外延完全相同的概念之间的关系，叫做同一关系。同一关系，叙述上常用连接词 “即 ”、 “就是 ”等表示。在一个判断过程中，具有同一关系的两个概念可以互相代替。
例如，等边三角形与正三角形，等腰三角形底边上的高与顶角的平分线、底边的中线都是同一概念，它们在判断中可以互相代替，相互为用。
2. 交叉关系
两个外延部分相同的概念之间的关系，叫做交叉关系 .叙述上常用 “有的 ”、 “有些 ”等表示。
例如，等腰三角形与直角三角形，自然数与正整数等都是交叉关系，一个方程组是否有解就是判别各个方程的解集是否有交叉关系。
3. 从属关系
两个外延具有包含关系的概念之间的关系，叫做从属关系。其中外延范围大的概念 A叫做上位概念或种概念，外延范围小的概念 B叫做下位概念或类概念。
4. 矛盾关系
两个概念的外延互相排斥，但外延之和等于它们最邻近的种概念的外延，这样两个概念之间的关系，叫做矛盾关系。例如，有理数与无理数，直角三角形与非直角三角形。平面上的相交线与平行线等都是矛盾关系。
5. 对立关系
两个概念的外延互相排斥，但外延之和小于它们最邻近的种概念的外延，这样两个概念之间的关系，叫做对立关系。
例如，正数与负数，锐角三角形与直角三角形，空间中的相交线与平行线等都是对立关系。
( 六 )数学概念的定义与要求是什么 ?
定义是建立概念的逻辑方法。人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义。这就是说， 定义的功能是为了明确讨论问题的对象。 常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对象的本质属性。
常用的定义方法 :
1.“ 种 +类差 ”定义法
一般地，属概念加种差定义法就是，用被定义概念最邻近的属概念，连同被定义的概念与同一属概念下其它种概念之间的差别（即种差），来进行定义的方法。种差揭示了被定义概念相对于这个属概念来说特有的属性，它连同这个属概念的基本内涵一起，就构成了被定义概念的基本内涵。注意到被定义概念的属概念常常不止一个，显然，选择最邻近的属概念可使种差简单一些。
例如，上述平行四边形定义中，四边形就是它最邻近的种概念；类差是 “两组对边分别平行 ”这个本质属性。由于类差不唯一，因此，这种方法所作出的定义一般也不唯一。例如，平行四边形还可用 “两组对边分别相等 ”、 “一组对边平行且相等 ”、 “对角线互相平分 ”等作类差给出定义，且它们都是彼此等价的。
这种定义方法， 使概念间的关系很明了， 既准确又明了地揭示了概念的内涵，有助于建立概念之间的联系，使知识系统化，因此，在初中数学概念的定义中应用较多。
2. 发生式定义法
这是 不直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法。
这是一种特殊的 “种 +类差 ”定义法，是把只属于被定义的事物，而不属于其他事物的发生形成的特征作类差的定义。因而， 发生式定义法是属概念加种差定义法的一个变异，这里的属概念不一定是被定义概念最邻近的属概念，种差也不是揭示被定义概念相对于属概念来说特有的属性，而是给出被定义概念所反映对象发生的过程。
例如，平面 (空间 )上与定点等距离的点的轨迹叫做圆 (球 )。此外，中学数学中对圆柱、圆锥、圆台、微分、积分、坐标系等概念也都是采用的发生式定义法。
3. 外延定义法
这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法。例如，整数和分数统称为有理数；正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等，都是这种定义法。
4. 约定式定义法
这是一种特殊的逆式定义法。由于某种特殊的需要，通过约定的方法来定义的。例如， a 0=1(a≠0)， 0！ =1，
5 ． 关系定义法
这是以事物间的关系作为种差的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其他事物所不具有的特有属性。
例如，偶数的定义：能被２整除的整数叫做偶数。这是一个关于偶数的关系定义，它的种差是偶数与２的一种关系。
此外，中学数学中还有描述性定义法 (如现行中学数学中关于等式、极限的定义 )、递推式定义法 (如 n阶行列式、 n阶导数、 n重积分的定义 )，借助另一对象来进行定义 (如借助指数概念定义对数概念 )等等。
定义数学概念的基本要求
为了正确地给概念下定义，定义要符合下列基本要求：
1. 定义应当相称。 即定义概念的外延与被定义概念的外延必须是相同的，既不能扩大也不能缩小。即应当恰如其分，既不宽也不窄。例如，无限不循环小数，叫做无理数。而以无限小数来定义无理数 (过宽 )，或以不尽方根的数来定义无理数 (过窄 )，显然，都是错误的。
2. 定义不能循环。 即在同一个科学系统中，不能以 A概念来定义 B概念，而同时又以 B概念来定义 A概念。例如， 90°的角叫做直角，直角的九十分之一，叫做 l度，这就发生循环了。
3. 定义应清楚、简明。 定义中列举的属性对于揭示概念反映的对象的本质属性来说应是必不可少的。所谓必不可少是指每一个属性都是独立的，不能由列举出的其它属性推出。凡是可由列举的其它属性推出的，对于定义来说都是多余的条件，应删去。
定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点。例如，不能把“不是有理数的数叫做无理数”当作无理数的定义，因为这既没有揭示出无理数的基本内涵，也没有确定无理数的外延。当然也有例外的情形，如平行线的定义。不过，这个定义表面上看，是否定形式，但它揭示出了平行线“在同一平面内，没有公共点”的本质属性。
例如，笔直笔直的线，叫做直线 (不清楚 )；两组对边互相平行的平面平行四边形 (不简明 )；不是有理数的数，叫做无理数 (否定形式 )；对初中生来说，在复数以 a+bi中，虚部 b=0的数，叫做实数 (应用未知概念 )等，这些都是不妥的。
( 七 ) 如何理解数学概念的形成？
数学概念形成是从大量的实际例子出发，经过比较、分类，从中找出一类事物的本质属性，然后通过具体的例子对所发现的属性进行检验与修正，最后通过概括得到定义并用符号表达出来。
数学概念形成的过程有以下几个阶段：
1. 观察实例。观察概念的各种不同的正面实例，可以是日常生活中的经验或事物，也可以是教师提供的典型事物。例如，要形成平行线的概念，可以观察黑板相对的两条边，立在路边的两根电线杆，横格练习本中的两条横线等。
2. 分析共同属性。分析所观察实例的属性，通过比较得出各实例的共同属性。
3. 抽象本质属性。从上面得出的共同属性中提出本质属性的假设。
例如，提出平行线的本质属性的假设是：在同一个平面内，两条直线间的距离处处相等，两条直线不相交。
4. 确认本质属性。通过比较正例和反例检验假设。确认本质属性。例如，举出平行直线、相交直线和异面直线的例子确认平行线的本质属性。
5. 概括定义。在验证假设的基础上，从具体实例中抽象出本质属性推广到一切同类事物，概括出概念的定义。例如，可以概括出“在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。
6. 符号表示。用习惯的形式符号表示概念。例如，平行线用符号“∥”表示。
7. 具体运用。通过举出概念的实例。在一类事物中辨认出概念。或运用概念解答数学问题，使新概念与已有认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性联系。把所学的概念纳入到相应的概念体系中。
( 八 )如何理解判断？
判断是人们对事物情况有所肯定或否定的比概念高一级的思维形式。 判断是属于主观对客观的认识，因此，判断有真有假，其真假要由实践来检验，在数学中要进行证明。
其中，如实反映事物情况的判断，叫真判断；不符合事物情况的判断，叫假判断。例如， “正数大于零 ”是真判断， “两个无理数之和是无理数 ”是假判断。
1. 简单判断
在一个判断中，如果不包含其他的判断，叫做简单判断。简单判断又分为性质判断和关系判断。简单性质判断的结构可分为四种形式。
表 6.2-1 简单性质判断的结构形式
2. 复合判断
复合判断是由两个或两个以上的简单判断用连接词构成的判断。它有四种基本形式。
1. 负判断 。负判断是用连接词 “非 ”构成的判断，一般记为 ┑ P ，读作 “非 P”，当 P真时， P假；当 P假时， P真。例如，设 P表示 “所有质数都是奇数 ”(假 )，则 ┑ P 表示 “并非所有的质数都是奇数 ”，即 “有些质数不是奇数 ”(真 )。
2. 选言判断 。选言判断是由两个或两个以上判断用连接词 “或者 ”构成的判断，一般记成 A V B，读作 “A或 B”。例如，一个大于 1的自然数是质数或是合数；一个三角形为直角三角形，或为锐角三角形，或为钝角三角形等。
3. 联言判断 。联言判断是用连接词 “且 ”构成的判断，表明几个事物情况都存在，一般记成 A∧B，读作 “A且 B”。例如， 6可被 2整除，且可被 3整除；正方形的四条边相等，且四个角也相等。
4. 假言判断 。假言判断又叫蕴含判断，它是判断 P为另一判断 Q存在条件的判断， P、 Q分别叫做该假言判断的前件和后件 (或题设和题断，条件和结论 )，一般用 “若 ……，则 ……”，或 “如果 ……，那么 ……”的形式表示，记成 P→Q。例如，若两三角形相似，则对应边成比例。
(九) 如何理解命题的涵义？
关于数学对象及其属性的判断叫做数学判断。判断要借助于语句，表示判断的语句叫命题。在数学中，用来表示数学判断的陈述句或符号的组合叫做数学命题。 数学中的定义、公理、定理、法则、性质等都是命题。命题既可用语言叙述，也可用符号进行表示。常用的连接词有 “非 ”、 “或 ”、 “且 ”、 “蕴含 ”、 “等值 ”等等。它有真命题与假命题之分，结构上可分为简单命题与复合命题两种类型。
( 十 )如何理解命题的分类？
所谓性质命题，是指断定某事物具有（或不具有）某种性质的命题。例如
（１）一切矩形矩形都是平等四边形。
（２）自然数都是无理数。
（３）有些奇数是素数。
（４）有些一元二次方程没有实数根。
性质命题由主项、谓项、量项和联项四部分组成。
2. 关系命题
关系命题是断定事物与事物之间关系的命题 .例如，
(1) 一切正数都大于零 .
(2) 直线 a平行于直线 b.
关系命题由主项、谓项和量项三部分组成 .
主项又称关系项 ,是指存在某种关系的对象 .
谓项又称关系 ,是指各个对象之间的某种关系 .
量项表示主项的数量 .同性质命题一样 ,关系命题的量项也有单称、全称与特称三种 .
3. 复合命题
为便于说明，在此，我们首先介绍命题真值的概念。
对于命题 A、 B，如果 A是一个真命题，我们就说 A的真值等于 1，记成 A=1；如果 B是一个假命题，我们就说 B的真值等于 0，记成 B=0。一个命题或真或假，而不能既真又假。因此，一个命题的真值只能是 1或 0，不能既为 1，又为 0，或非 l又非 0。
( 十一 )复合命题的分类是怎么样的？
复合命题由于所采用的连接词不同，可分为下列五种形式。
否定式 。给定一个命题 A，用连接词 “非 ”组成一个复合命题 “非 A”，记作
析取式。 给定两个命题 A与 B，用连接词 “或 ”组成一个复合命题 “A或 B”，记作 A∨B，其真值可用下面的真值表来定义：
A∨B 叫做命题 A、 B的析取式。这里表明，若 A、 B中至少一个为真，则 A∨B为真；只有 A、 B都假，才有 A∨B为假。
合取式 。给定两个命题 A与 B，用连接词 “且 ”组成一个复合命题 “A且 B”，记作 A∧B，其真值可用下面的真值表来定义：
A ∧ B叫做命题 A、 B的合取式。这里表明，若 A、 B都真，则 A∧ B为真，若 A、 B中至少有一个为假，则 A∧B为假。
蕴含式 。给定两个命题 A与 B，用连接词 “若 ……，则 ……”组成一个复合命题 “若 A则 B”，记作 A ↔ B ，其真值可用下面的真值表来定义：
A→B 叫做命题 A、 B的蕴含式。这里表明，除去 A真 B假，则命题 A→B为假外，其余情况 A→B都真。
等值式。 给定两个命题 A与 B，用连接词 “等值 ”组成一个复合命题 “A等值 B”，记作 “A ↔ B” ，其真值可用下面的真值表来定义：
A ↔ B 叫做命题 A、 B的等值式。这里表明，若 A、 B同真或同假时，则 A ↔ B 为真，其余皆假。
( 十二 ) 如何理解命题的四种基本形式及其关系？
原命题；若 A则 B，即 A→B；
逆命题：若 B则 A，即 B→A；
否命题：若
逆否命题：若
它们之间的关系可用图解表示如图
(十三) 公理与定理
在数学中，对于命题的真实性，一般都需要加以证明，即要从一些已知为真的命题按逻辑规律推出。而这些为真的命题，其真实性又是通过另一些真命题证出的。如此追溯上去，必定要有一些命题，它们的真实性不能再用别的命题来证明，而它们却是证明其他真命题的依据。这些不加证明而被承认其真实性的命题叫做“公理”。恩格斯称“数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。”原始概念和公理是组成数学理论的主要基础。公理虽然不能加以证明，但有其合理性，它是从大量客观事物与现象中抽象出来的，符合客观规律。
按照现代数学的观点，在数学科学中，各专门分支研究各种特殊的结构，每一种结构由相应的公理体系确定。任何公理体系都必须满足相容性、完备性和独立性。相容性是指该体系的各公理之间没有矛盾。完备性是指该分支的形成除了相应的公理体系外，不依赖于任何别的东西。独立性是指该体系中各公理是相互独立的，没有一个可以由其他公理推出。独立性对整个公理体系而言，具有锦上添花的作用。
在数学发展史上，起重要作用的有两种思想，一种是源于西方的公理化思想，它偏重于论证；一种是源于我国的程序化思想，偏重于计算。而现在的初中数学，则受到了公理化思想与程序化思想的深刻影响。根据初中数学教学的严谨性与量力性相结合的原则，不能要求各分支都从给定的公理体系出发。即使对于从公理体系出发的初中平面几何，其公理体系也只满足相容性 (这是必须满足的 )而不满足独立性和完备性 (为了符合由易到难的认识规律，而适当增加了公理的数目；另一方面又缺少一些公理，而在一定程度上依赖于直观 )。
经过证明为真实的命题叫做定理，可由定理直接得出的真命题叫做推论。推论和定理的含义没有什么本质的区别。一个定理的逆命题、偏逆命题都未必为真，如果证明了是真实的，则分别称为原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。
( 十四 )如何理解形式逻辑的基本规律？
1. 同一律
同一律的内容是：在同一时间、同一地点、同一思维的过程中，所使用的概念和判断必须确定，且前后保持一致。
同一律的公式是： A→A，即 A是 A。
可见，根据同一律的内容，它有两点具体要求：
一是思维的对象应保持同一。这就是说，在思维的过程中所考察的对象必须确定，要始终如一，不能中途变更。
二是表示同一事物的概念应保持同一。这就是说，在思维的过程中，要以同一概念表示同一思维对象，不能用不同的概念来表示同一事物，也不能把不同的事物混淆起来用同一个概念来表示。
违反同一律的错误，在概念中主要表现为偷换概念或所使用的概念不明确等；在推理中主要表现为论题不明确或偷换论题等。
例如，设 x=3， a=2， n=2，则 x n-a n=5， a n-1(x-a)=2，而 2不能整除 5。其错误原因在于所引用的 “整除 ”概念上。在推理的前一部分是关于多项式的，后一部分是关于自然数的，这两者并不相同。一个多项式被另一个多项式除尽而余式为零，并不意味着商的系数全是整数。
2. 矛盾律
矛盾律的内容是：在同一时间，同一地点，同一思维的过程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思维过程中的两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假。
矛盾律实为 “不矛盾律 ”，它是同一律的引申，是用否定形式表达同一律内容的。矛盾律是否定判断的逻辑基础，其作用是排除思维中的自相矛盾，保持思维的不矛盾性。这里所说的思维矛盾，是人们思想陷入混乱状态或故意玩弄诡辩时所产生的逻辑矛盾。它与客观事物本身所存在的矛盾是不同的。
两个矛盾判断不能同真，但可能同假。例如， △ABC是锐角三角形与 △ABC是钝角三角形是两个矛盾的判断，其中一个正确，另一个必错误；
3. 排中律
排中律的内容是：在同一时间、同一地点、同一思维的过程中，对同一对象，必须作出明确的肯定或否定的判断。即在同一思维过程中，两个互相矛盾的概念或判断不能同假，必有一真，而排除第三种可能。
排中律的公式是： A∨
排中律要求人们的思维有明确性，它是反证法的逻辑基础。例如，
从上面的例子及分析，我们看到，必须把握住实质，正确识记和运用排中律。特别要指出的是，对一个命题，要弄清表示思维对象数量的词（称为量词），是全称量词“所有的”（
一般地，如果用
排中律和矛盾律既有联系，又有区别。其联系在于：它们都是关于两个互相矛盾的判断，都指出两个矛盾判断不能同时并存，其中必有一个是假。但如何进一步确定谁真谁假，它们本身都无能为力，只有借助其他知识，进行具体分析，才能正确地予以回答。其区别在于：矛盾律指出两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律则指出两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真。矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛盾律是否定判断的逻辑基础，而排中律是反证法的逻辑基础。
4. 充足理由律
充足理由律的内容是：任何一个真判断，必须有充足理由，即对于任何事物的肯定或否定，都要有充分的理由和根据。
充足理由律可表示为：若有 B，则必有 A，使得由 B可以推出 A。
充足理由律是进行推理和证明的逻辑基础，它与判断有着密切的联系。例如，在数学命题中，充分条件、充要条件都可以作为结论的充足理由，原定理可作为它的逆否命题的充足理由等等。
充足理由律和前面三个规律有着密切的联系。同一律、矛盾律和排中律是为了保持同一判断 (或概念 )本身的确定性和无矛盾性；充足理由律则是为了保持判断之间的联系有充分根据和说服力。因此，在思维过程中，如果违反了同一律、矛盾律和排中律，那么就必然导致违反充足理由律。
总之，数学推理、证明必须要求对象确定 (同一律 )，判断不自相矛盾 (矛盾律 )，不模棱两可 (排中律 )，有充分根据 (充足理由律 )。在数学教学中，我们应注意培养学生严格遵守这些逻辑规律进行思考的习惯，以培养学生的逻辑思维能力。
( 十五 ) 数学推理的类别有哪些？
1 ．归纳推理
归纳推理是一种由特殊到一般的推理，即从个别或特殊的事物所作判断扩大为同类一般事物的判断的思维过程，且根据前提与结论所作判断的范围是否相同，又分为完全归纳法与不完全归纳法。
（ 1）完全归纳法
如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和等于结论中判断的范围，这种归纳推理叫做完全归纳法。其表示形式是：
例如，证明三角形三条高或其延长线共点，可分别证明锐角、直角、钝角三角形三条高或其延长线共点，从而推出任意三角形三条高或其延长线共点的结论。又如，推导两点间的距离公式，可分别就两点在各个象限与坐标轴上的情况逐一进行讨论。以上推理的方法都是完全归纳法。
由于完全归纳法在前提判断中已对结论的判断范围作出了判断，如果皆是真实的，则所得结论是完全可靠的，所以完全归纳法可作为数学上的一种严格推理方法。但在应用时，须注意前提的判断范围既不能重复，也不能遗漏，即前提判断范围的总和不能小于结论判断的范围。
（ 2）不完全归纳法
如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范围，这种归纳推理叫做不完全归纳法。例如，初中数学中从具体实数的运算概括出实数的运算律以及指数运算性质等的推理都是不完全归纳法，一些气象谚语、农业谚语、人们的养生之道等也是根据不完全归纳法得到的。
必须注意，根据不完全归纳法推出的结论可能真，也可能假。因此，不完全归纳法不能作为数学上一种严格的推理方法使用，但是它在科学研究中可有助于提出假设或猜想，在解题中便于发现规律，启发思维。教学中，为了说明某些定理、公式、性质的正确性，也往往借助于个别特殊的例子来说明，其实质就是用实例来进行验证，也可以认为是用不完全归纳法来进行推理的。
2 ．类比推理
类比推理是一种由特殊到特殊的推理，即根据两个 (或两类 )事物的某些相同或相似的性质，判断它们在别的性质上也可能相同或相似。
例如，代数中根据分式与分数都具有分子、分母这个相同的形式，从而推测分式可以如同分数一样进行化简与计算；由平面上直线与直线之间的关系可以推测空间中平面与平面之间的关系等，这都是类比推理。
必须注意，类比推理所得出的结论未必真，它只有一定程度的可靠性。有些结论，还有待于实践和理论的证明。例如，不许用任何其他数学符号，将三个 l，三个 2，三个 3写成尽可能大的数分别是 111， 2 22， 3 33，而三个 4写成尽可能大的数不能类比地写成 4 44，而是
用类比推理所得结论，虽然不一定都真实，但在人们的认识活动中仍有着它的积极意义。例如，科学上有不少重要的假设，是通过类比推理提出来的；数学中有不少重大发现乃至有关解题方法是由类比推理提供线索的；生产实践和科学实验中的许多发明创造，也受到了类比推理的启发等。因此，类比推理仍不失为一种获取新知识的工具。
3 ．演绎推理
演绎推理是一种由一般到特殊的推理，即以某类事物的一般判断为前提，作出这类事物的个别、特殊事物判断的思维形式。
演绎推理的前提与结论之间有必然的联系，只要前提是真实的，推理是合乎逻辑的，就一定能得到正确的结论。因此。演绎推理可以作为数学中一种严格的推理方法使用。
简单的演绎推理往往是通过三段论的形式来实现的。三段论的结构包括大前提——反映一般原理的判断，小前提 ——反映个别对象与一般原理联系的判断，以及结论三个判断。如果大前提、小前提都正确，则结论一定正确 .
( 十六 ) 如何理解归纳推理及其在初中数学中的应用？
由特殊到一般的推理叫做归纳推理。即在研究事物的特殊情况所得到的结论的基础上，得出有关事物的一般结论的推理方法。归纳推理也简称为归纳法。
在归纳推理中，根据所研究的是否是事物的一切特殊情况，归纳推理一般又可分成完全归纳推理和不完全归纳推理，也称为完全归纳法和不完全归纳法。
1 ．完全归纳法
在研究事物的一切特殊情况所得的结论的基础上，得出有关事物的一般性结论的推理方法叫做完全归纳法。
例如，要证明定理：“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。”如图， 在一个圆心为 O的圆中，对于给定弧 AC，用∠ ABC和∠ AOC分别表示对应的圆周角和圆心角，那么，命题 P就是： 2∠ ABC=∠ AOC。
从图 5-4中可以看到，由于角的顶点 B所在位置不同，圆周角∠ ABC和圆心 O之间的位置关系可以分为三种情况，分别用 P(1)、 P(2)和 P(3)表示对应这三种情况的命题，即
P(1) ：圆心在圆周角的一条边上时的命题 P，如图 5-4(a)所示；
P(2) ：圆心在圆周角的内部时的命题 P，如图 5-4(b)所示；
P(3) ：圆心在圆周角的外部时的命题 P，如图 5-4(c)所示。
这样，我们就把问题的类分清楚了，根据完全归纳法的原则，只要验证了 P(1)、 P(2)和 P(3)这三个命题成立，就可以推断命题 P成立。
证明如下：
P(1) ：当圆心 O在∠ ABC的一条边上时，连接 AO，如图 a所示。这样，∠ AOC是等腰三角形△ ABO的一个外角，于是有∠ AOC=∠ ABC+∠ BAO=2∠ ABC。
P(2) ：当圆心 O在∠ ABC的内部时，过 B做直径 BE、并连接 AO和 CO，如图 b所示。此时，∠ ABE和∠ AOE分别是弧 AE所对应的圆周角和圆心角；∠ EBC和∠ EOC分别是弧 EC所对应的圆周角和圆心角。这都可以转化为第一种情况，得到
2 ∠ ABC = 2∠ ABE + 2∠ EBC = ∠ AOE + ∠ EOC = ∠ AOC。
其中第二个等号用到了命题 P(1)的结论。
P(3) ：当圆心 O在∠ ABC的外内部时，过 B做直径 BE、并连接 AO和 CO，如图 c所示，类似 P(2)的情况可以得到
2 ∠ ABC = 2∠ ABE - 2∠ CBE = ∠ AOE - ∠ EOC = ∠ AOC。
这样，我们就完成了命题 P的证明。
因为完全归纳法是在考察事物的各种情形之后得出有关事物的结论的，所以只要考察各种情形得出的结论是真实的，则最后所得结论也必定是真实的。因此，完全归纳法可以作为数学的严格推理方法。用完全归纳法进行推理时，要注意对考察事物的各种特殊情形都要进行讨论，不要重复也不要遗漏。
容易看到，完全归纳法虽然简单，却是一种非常有力的推理方法，不仅仅在数学中就是在日常生活中这种推理方法也是有用的，因此，在中学数学有关内容的教学过程中，应当有意思地让学生感悟这种推理方法的核心和模式。利用完全归纳法最典型的数学例子是对“四色定理”的证明，在证明过程中把平面中相邻区域的可能的情况分为 1400多类，然后利用计算机逐类验证，最终把“四色猜想”变为“四色定理”，参见本书第二辑第九讲。在完全归纳法的实施过程中，分类是最为重要、往往也是最为困难的，关于分类问题的详细地讨论可以在附录中找到。
2 ．不完全归纳法
在研究事物的某些特殊情况所得到的结论的基础上，得出有关事物的一般性结论的推理方法叫做不完全归纳法。
例如，分别考察平行四边形和矩形，得出它们的对角线互相平分的结论，从而得出四边形的对角线互相平分的一般结论即是不完全归纳推理，显然这个结论是错误的。
又如，简单考察凸三边形和凸四边形，它们的内角和均等于其边数减去 2 所得的差与 180 °的乘积，从而得出任意凸多边形的内角和均等于其边数减去 2 所得的差与 180 °的乘积的一般性结论的推理也是不完全归纳推理。但这里所得结论是正确的。
上述两例说明，用不完全归纳法作为逻辑推理是不严密的，因而在数学证明中并不采用。但不完全归纳法在探索的过程中能帮助我们比较迅速地去发现事物的规律，给我们提供研究方向和线索的作用是不容忽视的。科学上的很多发现，往往就是通过观察、分析、归纳、猜想得出，然后又加以证明验证得到的。
(十七) 如何理解 数学中的证明 ？
应用逻辑方法来判断数学命题真实性的过程叫做数学证明。这个有待判断真实性的命题叫论题；证明过程往往表述为一系列的推理；其依据叫论据，可作为论据的是本论题的题设，已建立的概念、公理和已证明了的真实命题。 数学证明需要应用已经确定其真实性的公理、定理、定义、公式、性质等数学命题来论证某一数学命题，因而，数学证明的过程往往表现为一系列的推理。
任何逻辑证明都是由论题、论据、论证三个部分组成的。论题是需要证明其真实性的判断，论据是用来证明论题真实性所引用的那些判断，论证就是由论据出发进行一系列推理来证明论题的真实性的过程。
数学证明习惯上分成已知、求证、证明三个部分来写。其中论据是包括论题给定的条件和证明论题时所引用的那些论据，以及已知的公理、定理、公式、定义、法则、性质等命题；求证就是论题的结论，即有待于证明具有真实性的命题；证明就是论证，即证明论题真实性的推理过程。
关于证明格式，常用的有联用式与推进式两种。联用式是联用“因为、所以”表示推理关系的书写格式、推进式是借助符号“ ≥ ”表示蕴含关系或推理关系的书写格式，且都可分为横、竖两种基本形式。
(十八) 数学中常用的证明方法 有哪些？
1. 分析法与综合法
在数学证明中，如果推理方向是从求证追溯到已知，或者是从未知到已知，这种思考方法叫做分析法，简谓“由果索因”。反之，如果推理的方向是从已知到求证，或者是从已知到未知，这种思考方法叫做综合法，简谓 “由因导果 ”。
2. 直接证法与间接证法
在数学证明中，从正面证明论题真实性的证明方法，叫做直接证法。凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证法。它是初中数学中常用的证明方法。不是直接证明论题的真实性，而是通过证明论题的否定论题不真实，或者证明它的等效命题成立，从而肯定论题真实性的证明方法，叫做间接证法。间接证法主要有反证法与同一法。
反证法
欲证命题 “A→B”为真，从反面人手，改证明其反命题 “
在使用反证法时，如果原论题的结论的矛盾方面（即否定方面）只有一种情况，只要把这种情况否定了，原论题即成立，这种反证法叫做简单归谬法，简称归谬法。当原论题结论的矛盾方面（即否定）不止一种情况时，需把它们逐个否定，原论题才得证。这种反证法又叫穷举归谬法，简称穷举法。
同一法
如前所述，两个互逆或互否的命题不一定是等效的，只有当一个命题的条件和结论都唯一存在，且它们所指的概念是同一概念时，该命题与其逆命题 (或否命题 )才等效，这个原理叫做同一原理。对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以改证与它等效的逆命题，这种证明方法叫做同一法。
反证法与同一法都是间接证法。它们的主要区别是 ：
① 方法不同。反证法先否定结论，然后再予以反驳；同一法先作出 (设定 )符合命题结论的图形 (或算式 )，然后推证所作图形 (或算式 )与已知图形 (或关系式 )相同。
② 根据不同。反证法的逻辑依据是排中律，利用原命题与其逆否命题的等价性来证明的；同一法的逻辑依据是同一律，利用原命题与其逆命题的等价性来证明的。
③ 适用范围不同。反证法是从否定命题的结论出发，只要能推出矛盾就行，而这个矛盾不一定是由于图形 (或关系式 )的 “唯一存在性 ”引起的。因此，反证法可适用于各种命题，而同一法只适用于符合同一法则的命题。
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