2.3 无穷小与无穷大 极限运算法
2.3.1 无穷小的概念及简单性质
1. 无穷小的概念
定义2.3.1 某一过程中，以零为极限的变量(或数列，或函数)叫无穷小量，简称无穷小．
例如：n时，数列
是无穷小．
又如：当x时，函数
是无穷小．
当时，函数是无穷小．
2. 无穷小的性质
定理2.3.1 在同一过程中，两个无穷小的和仍为无穷小．我们以的过程为例来证明，其他几种情形同理可证．
证 设，则有
当时，有
同时，当时，有
取则当时，有
所以，
推论1 在同一过程中，有限个无穷小的和仍为无穷小．
推论2 在同一过程中，有限个无穷小的积仍为无穷小．
定理2.3.2 有界函数与无穷小的乘积为无穷小．
证 设是有界函数，
即，使，有
所以 使得，有
从而，
故．
推论3 常数与无穷小的乘积为无穷小．
定理2.3.3 的充分必要条件是能表成与过程中的一个无穷小的和．即
其中
证 因为，所以
有
令故是过程中的无穷小，即
其中
因为 其中
又因为, 所以，有
即,
注：关于五种极限也有相应的性质．
2.3.2 无穷大
1. 无穷大的定义
定义2.3.2 如果时，无限制地增大，或者更精确地说：
时，有
则称在时为无穷大，记为 ．
类似有：
时，有;
时，有;
时，有;
时有;
时，有;
时，有.
2. 无穷大与无穷小的关系
定理2.3.4 在自变量的同一变化过程中，若为无穷大，则为无穷小；若为无穷小，并且时，则为无穷大．
证 设 现证．
因为， 因为时，有，即， 故．
反之，设则，有
. 即, . 故, ．
2.3.3 无穷小量的比较
我们知道，当时，等等都是无穷小量，也就是说，当时，它们的极限都是零．现在我们来比较它们趋于零时的速度，也就是讨论它们的比的极限．
(1) 即当时是无穷小量．
(2) ，即当时仍是无穷大量．
(3) 即当时的极限是非零常数．
这说明虽然同是无穷小量，但趋于零的速度各不相同，由此可引入如下定义：
定义2.3.3 设是同一过程的两个无穷小．
(1) 若则称是比更高阶的无穷小，记作
(2) 若则称是比更低阶的无穷小．
(3) 若则称是与同阶的无穷小．
(4) 若则称是与的等价无穷小．
定义2.3.4 设是同一过程的两个无穷小，若，则称的阶无穷小．
2.3.4 等阶无穷小的性质
定理2.3.5 设都是同一过程中的无穷小，且，若存在，则
证 因为
所以原命题成立．
在求无穷小的商的极限时，可以把其中的无穷小量因式用其等价无穷小量代替，而且还可以简化计算．
例当时，，于是
典型例题：
例2.3.1 证明：
证 ，要使有，即取即可．
，有
所以, ．
例2.3.2 试证：．
证 要找使得时， 有，即
特别地，取． 故，当时，有
所以 ．
例2.3.3 当时，无穷小与下列无穷小是否等价？
(1) (2)
解：(1) 因为
所以是时的同阶无穷小．
(2) 因为
所以是过程中的两个等价无穷小．
例2.3.4 当时，试决定下列无穷小是的几阶无穷小．
(1) (2) (3) (4)
解 (1) 因为
所以是在时的二阶无穷小．
(2) 因为（令）
所以是的当时的二阶无穷小．
(3) 因为（令）
所以是的当时的三阶无穷小．
(4) 因为
所以是的当时的一阶（同阶）无穷小．
例2.3.5 求下列函数的极限．
(1) (2) (3)
解 (1) 因为, 所以.
(2) 因为～，所以，
(3) 因为，．
所以 .
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