3.1 连续与间断
3.1.1 函数的连续性
首先，我们引入增量的概念，然后描述连续，并引进连续函数的概念．
变量的增量：若变量从
变到，则称是变量在的一个增量，记为
定义3.1.1 设在的某邻域内有定义，在任给一个增量，则相应函数值也有增量：
如果时，有，即
分析：
故函数在连续也可按如下定义：
定义3.1.2 设在的某邻域内有定义，如果
则称在点连续．即：如果，有
则称在点连续．
定义3.1.3 设在的某左(右)半邻域有定义，如果
|
则称在左(右)连续．
使得有
使得有
定理3.1.1 在连续在既左连续，又右连续．
注意：与是有一定的区别，因为前者表明：在是有意义的，并且极限值就等于函数值，它在极限描述过程中的完全可以写成，因为时，也有；而后者没有表明：在总是有定义，即使有定义，未必能满足，所以后者定义中的，不能写成．
例如：的“”叙述，不能写成：
因，意味着时，有；但在处无定义．
又如：，有，它的“”叙述为
有
其中的不能换成，因为对于，，但
．
定义3.1.4 如果函数在开区间内的每一点都连续，则称在区间连续；如果在开区间连续且在点右连续，在点左连续，则在连续．
由定义可知，多项式函数，有理分式函数，正弦函数，余弦函数在其定义域内连续．
3.1.2 函数的间断点
1. 间断点的概念
函数在点连续，即有如下三个含义：
(1) 在点有定义；
(2) 在的极限存在；
(3) 处极限值等于函数值．
因而，对于函数，若其中一个条件得不到满足，函数在就不连续．
定义3.1.5 如果函数y=在不连续，则在是间断的，称是的间断点．
由定义知：函数的间断点有如下三种情况：
(1) 在无定义，例如：y=在处
(2) 在有定义，但极限不存在．例如
在处有定义，但极限不存在.
(3) 存在，且在有定义，但．
2. 间断点的类型
定义3.1.6 左、右极限都存在的间断点，称为第一类间断点，左、右极限存在且相等的间断点称为可去间断点；不是第一类间断点的间断点，即至少有一单边极限不存在的间断点．称为第二类间断点．
典型例题：
例3.1.1 判断下列函数在=1的连续性．
(1) (2)
(3) (4)
解：(1)
因为 ,
所以，
从而， 不存在． 故在=1处不连续．
(2) =
因为 ，
而
故，在=1处不连续．
(3)
因为 ， ，
从而，不存在．故， 在=1不连续．
(4)
从而，不存在． 故, 在=1处不连续．
例3.1.2 求下列函数的间断点，并判断其间断点的类型，若是可去间断点，试修改定义使其连续．
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
解 (1) 的第二类间断点．
(2) 是的第一类间断点，且为可去间断点．补充定义为
从而在处连续．
(3) 因为
所以 的第二类间断点．
(4)
又因 ，所以．
从而，为连续函数
(5) 因为 ，所以 可去间断点. 补充定义为
=
则，这样在处就连续． 是
的第二类间断点．
(6) 的第二类间断点．
联系客服
