3.2 连续函数的性质与初等函数的连续性
3.2.1连续函数的性质
定理3.2.1 若函数与
在连续，则函数+、以及在点处也连续．
证 只就+的情况加以证明，其余可以类似地证明．
因为函数，在点处连续，
所以，
由极限运算法则即得：
即+在点也连续．
由定理3.2.1以及sinx，cosx在定义域(-上连续可知：函数
,均在其定义域内连续．
利用数学归纳法易得：
推论 有限个在处连续的函数的代数和是一个在处连续的函数；有限个在处连续的函数的乘积是一个在连续的函数．
3.2.2 反函数与复合函数的连续性
定理3.2.2 若函数在数集严格增加(减少)，则函数必存在反函数，，且反函数在也是严格增加（减少）
证 因严格单调函数是1－1对应的，故它的反函数一定存在．
现证：若在A严格增加，则在严格增加．
，且, 令，即，.
如果，由的严格递增性知
这与矛盾．所以，
．
即在上严格增加．
对于在严格减少的情形，同理可证．
定理3.2.3 设是上严格增加的连续函数，且=,=，则的反函数在上是连续函数．
证 ，我们证：即可．
，令
因为，有
所以
于是 当时，有
即
故
同理可证
从而 .
定理3.2.2’ 设是上严格减少的连续函数，且，
，则[]上的反函数在[]上是连续的．
例如：, ,
， 都是严格单调连续函数，所以，它们的反函数及 都是严格单调连续函数．
定理3.2.4 若函数在连续，而在连续，则复合函数在连续．
证 因为，所以，对当时，有
又因为, 所以，对于上述当
时，有
所以(相应)，当时，有
故
3.2.3初等函数的连续性
由前面的讨论知，五种基本初等函数：
1. 幂函数：其中.
2. 指数函数：特别地，当时，有.
3. 对数函数： 特别地，当时，记为.
4. 三角函数：.
5. 反三角函数：.
从前面的讨论可知：上述五种基本初等函数在定义域是连续的
由定理3.2.1和定理3.2.3得到一个极其重要的结论：
定理3.2.4 一切初等函数在其定义域区间上连续．
这样，若为初等函数，是定义域的一点，则
表明在连续等价于“”和“lim”可以交换次序．
于是，求连续函数在的极限就转化为求函数在点的函数值，它提供
了求初等函数极限的方法．
定理3.2.5 如果lim，lim，则lim[]．即
lim[]=[lim]
证 因 lim，lim，所以，
典型例题：
例3.2.1 设是任一正实数，证明：幂函数在(0，+)连续．
证， 因为，即，且在连续．所以，
故上连续．
例3.2.2 求下列各极限．
(1) (2)
(3) (4)
解 (1) 原式
(2) 原式
(3) 原式
(4) 原式
例3.2.3 求下列各极限．
(1) (2)
(3) (4)
解 (1) 原式=
因为
且，所以，
原式
(2) 原式
(3) 原式=
(4) 原式
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