中英初中数学教材中“几何变换”内容的比较分析

摘要：对北师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》与英国牛津版Maths Links教材中“几何变换”内容从编排组织，知识内容，相同知识点处理方式，例、习题设置四个方面进行比较，发现存在明显差异。通过比较分析得到三点启示：与不同学科和信息技术相互融合；教材的简洁与细节处理；教材要突出变换实质。

关键词：初中数学；几何变换；教材比较

“几何变换”主要包括图形的轴对称、图形的旋转、图形的平移和图形的相似等内容，是学生整体认识图形，发现图形内部联系，探索推理论证思路的重要工具之一，有助于培养学生的几何直观、空间观念和推理论证能力。英国数学教材在“几何变换”内容的处理和编排上有什么特点值得我们借鉴呢？本文对英国牛津大学2009年出版的Maths Links（以下统称“牛津教材”）和北师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》（以下统简称“北师大版教材”）,从内容编排与组织、知识内容、相同知识点处理方式，以及例题和习题设置四个方面对“几何变换”内容进行比较,以期对中国初中数学教材的编写提供借鉴与参考。

一、中英教材内容编排与组织比较

北师大版教材中“几何变换”内容主要包括轴对称、平移、旋转、中心对称、线段比例、相似多边形、相似三角形、相似条件与性质、位似等，内容编排顺序为：七年级下册第七章“生活中的轴对称” →八年级上册第三章“图形的平移与旋转” →八年级下册第四章“相似图形”。牛津教材主要包括对称轴（Lines of symmetry）、平移（Translation）、旋转(Rotation)、旋转对称(Rotational symmetry)、放大和缩小(Enlargement and reduction)、位似（Enlargement through a centre）、比例图（Scale drawings）等，编排顺序为：七年级第十三章“变换和对称（Transformations and symmetry）”→八年级第九章“变换（Transformations）”→九年级第十章“变换和缩放（Transformations and scale）”。

英国教材每年只学习一章几何变换知识，内容量比中国少。北师大版教材的编排侧重于每一个知识点在一个章节由浅入深。例如，七年级下册第七章“生活中的轴对称”，先了解轴对称图形，紧接着能够画出轴对称图形的对称轴，再慢慢扩散到角平分线、垂直平分线、等腰三角形、等边三角形等与轴对称性质与结论相关的知识点，最后深入地探讨对称轴的性质.在本章就把轴对称大部分的知识点都展现出来。而牛津教材则注重知识学习的阶段性，内容编排上侧重于一个知识点随着年级的升高而不断深入。例如，在七年级只需要掌握找出轴对称图形的对称轴，知道哪些轴对称图形的对称轴不只有一条，哪些图形没有对称轴这些基础的内容。到了八年级先是回顾七年级的找出图形的对称轴，然后再增加正多边形的对称轴情况。由此可见，北师大版教材是将同类知识集中编排，以提高学生对知识点学习的整体性。而牛津教材的特点则是将知识点分散编排于系列教材章节中，通过知识点的螺旋上升来强化学生的学习。

二、中英教材知识内容的比较

1.知识引入的比较

知识的引入方式体现出教材的编写风格。牛津教材在每一章的前言部分都会给出本章数学知识在实际生活中应用的实例，通过此种方式将数学知识的学习与生活实际联系起来。北师大版教材在编写的时候也运用了类似的方式。不同的是，牛津教材在引入新知识的同时，在前言部分还会设置3～4道习题对以前所学的知识进行回顾，而北师大版教材并没有相关检测性练习题的设置。

北师大版教材中“几何变换”每节知识点的引入采用“情境问题+数学概念”的方式，即先设置一个实际问题的情境，引出本节学习内容的定义、概念和性质，逐步深入，知识难度呈螺旋式上升。这能让学生感受到数学知识的应用性和实践性，激发学生学习数学知识的兴趣。牛津教材中“几何变换”每节知识点的引入只有部分内容给出情境，并且用叙述的方式让学生体会所给情境的含义，纯数学知识内容比例占很大一部分。牛津教材在每节开头给出本节学习目标，接下来的内容编排则是围绕本节设定的学习目标来展开。例如，在七年级13a（第十三章第一节）“Lines of symmetry”中，学习目标为Find lines of symmetry，紧接着给出如何找对称轴的例子。牛津教材的这种知识引入方式使得师生在教与学的过程中有明确的教学和学习目标，教学更有目的性。

2.知识呈现顺序比较

北师大版教材在“几何变换”内容中知识呈现顺序为：轴对称→平移→旋转→相似。牛津教材在“几何变换”内容中知识呈现顺序基本为：对称轴→反射→平移→旋转→旋转对称→放大与缩小→位似→比例图。因为北师大版教材中轴对称内容包含反射，相似内容包含牛津教材放大与缩小、位似的内容。所以两版教材知识点呈现顺序基本一致。这也与“几何变换”内容自身的内容组织有关。

在具体章节中，北师大版教材知识顺序为：根据情境问题引出学习内容→知识点概念、定义→例题→随堂练习及习题。牛津教材知识顺序为：本节学习目标→知识点概念→描述概念具体的应用→例题→习题。根据知识顺序可以看出北师大版教材学习顺序为:要学习什么→学习的内容→应用→深化练习。牛津教材学习顺序为：明确要学习的知识→学习解决相关知识问题的方法→应用→平行练习。

综上可见，北师大版教材的知识呈现顺序与学习顺序是逐步推进的。而牛津教材知识呈现顺序与学习顺序可以理解为要解决某个问题，需要学习的知识和方法。北师大版教材“几何变换”的知识是分散到章，且每一章都是独立的，章与章之间联系不大，但同一章的每一节，有的是一个知识点由浅入深（如七年级下册第七章“生活中的轴对称”），有的是两个知识点先平行最后相结合（如八年级上册第三章“图形的平移与旋转”）。而牛津教材“几何变换”知识是在一个章节中，且内容分散到每一节，有利于学生把握知识的完整性和前后内容之间的关系。

三、中英教材相同知识点处理方式比较

因中英文化差异以及课程标准的要求、教育理念的差异，不仅对于一些相同的知识点所要求掌握的程度和学习的知识侧重点有所不同，而且解题方式也不尽相同。下面以牛津教材中平移作图为例体会两个版本教材的差异。

结合北师大版相应内容，可以发现：首先，北师大版教材有严谨的说理过程，而牛津教材只是简单口语的描述；其次，牛津教材中的平移是在坐标系上进行的.实际上，牛津教材在“几何变换”知识内容中大多数图形都是在坐标系和方块格中完成变换的，而且这种平移方法只能依赖于坐标系才能顺利完成。北师大版教材也有图形在方块格中平移的练习，不过只当作简单的习题处理。

四、中英教材例题和习题的设置比较

通过表1可见，从习题数量上北师大版教材习题的数量约是牛津教材习题数量的两倍。北师大版教材与牛津教材都是在每一节后设置习题，在每一章后设置复习题。不同的是牛津教材没有设置练习题，北师大版教材则没有设置课前回顾检测题。中英教材中习题都是根据本节学习的知识点设置来以此迁移、巩固。北师大版教材复习题是本章知识点的综合并混编，而英国教材复习题是以每一节知识内容来划分的。此外，北师大版教材中的习题是从知识技能、数学理解、问题解决、联系拓广这四个模块中选择，习题难度呈上升趋势。牛津教材习题主要以掌握基础知识为主，习题难度较低，一个知识点重复练习的习题居多。

表1：中英教材例题和习题的比较

	课前检测题	随堂练习	课后习题	课后复习题	总计
北师大版教材	0	34	132	62	228
牛津教材	11	0	76	28	115

说明：按题号统计，一题多问按一题统计。

另一个比较明显的差别是牛津教材中习题和复习题都是给出各式各样的几何图形，根据变换已给的图形来完成所学知识点的练习。北师大版教材习题有部分文字性习题，让学生根据习题要求独立作图，而且图形以三角形为主。

北师大版教材在习题类型的设置中，有很多与日常生活相关的习题。而牛津教材在习题类型中偏重纯数学问题的解决。且北师大版教材习题中有部分习题是让学生根据所学的平移、旋转与轴对称知识自己设计图形，并与同学分享设计图形的意图。笔者认为这种类型的习题不仅让数学与生活中的设计联系在一起，在描绘几何图形变换中体会数学美，而且还为培养学生的创造思维提供一个平台，学生有机会主动大胆地说出自己描绘的图案和想法，这时学生不是被动的做题者，而是主动的设计者，如果教师适时给予鼓励，会更加激发学生学习数学的兴趣。

五、启发与思考

1.与不同学科和信息技术相互融合

牛津教材和北师大版教材在“几何变换”知识内容中设置的情境大部分都是生活情境。唯一与其他学科的联系只有利用平移、旋转来设计图案。多领域的内容融合不仅会开阔学生的视野，而且也会让学生体会到数学在其他学科中的重要性。例如，平移知识可以与物理中匀速运动相联系，对称和艺术作品相联系，等等。不同领域知识相互促进与融合，也许会碰撞出不一样的火花。除了让学生亲自动手操作感受变换之外，利用几何画板软件在课堂上演示几何图形的动态美，更有利于培养学生空间几何变换的直观感受，这一点在北师大版教材中有所体现。另外，由数学的整体性能明显看出在初中教材中“几何变换”知识和数学其他内容联系较少，这也是未来教材编写应突破的难点。

2.教材的简洁与细节处理

牛津教材给人的第一感觉是简洁，一目了然。一节内容为一页，再附加一页习题。这与中国数学教材是个明显的对比。牛津教材没有像北师大版教材那样对知识点有严格的定义，严谨的证明与解题过程。它的定义与性质有的是通过口语来描述的，有的则需要学生自己从做题中体会概括，培养学生独立发现与归纳的能力。虽然尚不能判断谁优谁劣，但是内容的精简必然会提高学生学习的兴趣。

牛津教材在每一节的右上方都会有Keywords，即在刚学习本节知识时掌握本节关键词，把握整体脉络，然后回归于具体知识内容。这样的细节有可取之处. 反过来，可以在一节课中学会提取关键词与Keywords相对照。这种思维模式训练，在学习语文、英语提取信息中都会有帮助。

3.突出变换实质

牛津教材中学生亲自体会图形运动的观点（包含习题）多于北师大版教材。让学生亲自画图操作来感知认识图形变换，体会其中变与不变的性质，不仅能帮助学生建立初步几何直观，而且还能培养其空间想象能力与动手能力。北师大版教材的编写侧重于教师的讲授，更多的关注于变换本身的性质、特点和结果。而牛津教材编写更侧重于学生的认知程度与喜好，以及亲自经历变换的操作过程。初中生正处于皮亚杰认知发展阶段理论的形式运算阶段，抽象逻辑思维正在初步形成，动态思想必然会给原本静态的思维带来冲击。利用“几何变换”的知识，培养学生自主学习，勇于探索发现问题，通过自己练习，归纳、总结性质，在操作中获得直观与猜想，特别是利用不同思维、不同角度思考问题、解决问题，突出“几何变换”的动态意义，更有效地发挥其课程价值，这也是我国初中教材应该努力的方向。

参考文献：

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