物理学中有很多常数，有一些是带有量纲的，比如光速c，万有引力常数G，电子的电荷量e……还有一部分则是无量纲的常数，比如精细结构常数α(α=e2/(2*ε0*h*c≈1/137。关于其更详细的解释，请看这里)。我们感兴趣的是后者，因为后者的数量是不随单位的任意选取而变化的。比如说我们把米定义为现在的米的1000倍，那么光速c的大小就变了，他在数值上就成了原来的1/1000；但是无量纲的数，比如精细结构常数α，他的数值大小并不会因此而变化。可以说，无量纲的常数实际上是宇宙的某种性质。
关于几个无量纲的常数，存在着某种神秘的关系。
万有引力耦合常数是c1=G*mp2/c=5*10-39
质子和电子间的静电力与万有引力之比是 c2=(e2)/(G*mp*me)=2*1039
宇宙的年龄除以光穿过一个经典电子需要的时间是 c3=(me*c3)/(e2*H)=7*1039
宇宙的总质量除以质子的质量是 c4=M/mp=1078
奇妙的是，这些数字都与10^39有关！近似的有 c1-1=c2=c3=c41/2=1039
/*在《套套神教圣经·创世纪》里，我提到了空间最小单元普朗克长度和时间最小单元普朗克时间的说法，估计很多人不知道这是什么意思，故写此文来科普一下。本文不需要学过量子场论等高端课程就可以阅读 只要不求甚解即可...*/
我要是说，在我们真实生活的宇宙里，时空其实是分立的而不是连续的，也许很多人会感到很惊异觉得这是一种科幻。但是一部分激进的理论物理学家的确是这么认为的，我也很认同这种观点。分立的时空格子的尺度，被称作普朗克长度和普朗克时间。首先给出它们的表达式和大小吧：
普朗克长度：
普朗克时间：
其中
首先要知道的是，目前描述我们这个宇宙的最基本最底层的理论之一是量子场论，而我们有很充分的理由相信，量子场论里存在一个物理的能量截断，即量子场论只有在能量低于这个截断能量的时候才有意义。这一段后半部分的内容直接摘抄自刘川的量子场论讲义：对于一个有相互作用的量子场论来说，由于量子涨落的“虚过程”可以在任意能动量发生，因此，如果理论不存在某种能动量截断，那么由于长是互相作用的，一个低能动量的模式就可以通过虚过程与无穷高能动量的模式发生相互作用，这就造成了场论中的“紫外发散”（即计算得到的结果是无穷大）。而如果量子场论中存在一个物理的能动量截断，它就可以保证所有的量都不发散。这个截断的具体形式其实对于远低于截断能标的物理来说并不重要，因为低能区的物理对截断的形式并不敏感。重要的是，这个截断是存在的，而且它是相互作用量子场论不可或缺的组成部分。
然后，根据不确定性关系这一量子力学的基本原理，
能动量存在着一个上截断，就意味着时空存在着一个下截断。即空间存在最小分辨率。
以上从量子场论的角度，分析了这样一个时空最小分辨率的存在性，但是并没有给出它的具体形式。其具体表达式则是由宇宙学中对量子引力极限的估计给出的。
众所周知，如果一个物体的半径相对于其质量小到了一定程度，它就会形成黑洞。形成黑洞所需要的质量和半径的关系由所谓的Schwarzschild半径给出，它是通过解Einstein方程得到的解：
另一方面，基本的量子力学知识告诉我们一个物体的de Broglie波长为：
量子引力极限的估计是这样的：当一个物体的Schwarzschild半径与de Broglie波长相当时，那么对这个物体的研究就必须知道黑洞内部要如何描述，即现有的一切物理理论都失效了，必须使用量子引力论来处理（而自洽的量子引论人类还没有建立起来）。联立Schwarzschild半径与de Broglie波长的表达式让他们相等，再加上质能关系E=mc^2和极端相对论性条件E=pc，就可以解出这个长度究竟是多大了。忽略掉并不改变数量级的常数之后，得到的结果正是：普朗克长度。普朗克时间的计算其实只要由普朗克长度除以c就可以得到。
如此一来，我们就已经清楚普朗克长度和普朗克时间的物理意义了：它确确实实是宇宙时空的最小分辨率，如果想探测比这更小的时空，你所使用的能量会如此之高以至于它自己会形成一个黑洞。
自然对数的底e是一个令人不可思议的常数，一个由lim (1+1/n) n 定义出的常数，居然在数学和物理中频频出现，简直可以说是无处不在。这实在是让我们不得不敬畏这神奇的数学世界。
但凡说起e，一个必定要提到的公式就是欧拉恒等式——被誉为世界上最美丽的公式。
数学中最基本的5个常数——0、1、圆周率π、自然对数的底e和虚数单位i，以及数学中最基本的两个符号,等号和加号，就这样通过一个简单的恒等式联系在了一起，实在是让人叹服。
这个等式有个一几何的直观解释。一个实数在实数轴上可以用一个向量表示，旋转这个向量，就相当于乘以一个虚数i。据此建立一个以实数为横轴，虚数为纵轴的坐标系。实单位向量，每次逆时针旋转π/2, 可以分别得到结果1,i,-1,-i,1. 即转4次以后就回到了原位。而当实单位向量保持长度不变旋转θ角度，得到的向量就是：cosθ+isinθ。根据欧拉公式 e iθ = cosθ+isinθ可以看出 e iθ 就代表实单位向量1旋转θ角后而得到的向量。所以 e iπ 意味着单位向量逆时针旋转了π，结果显然是-1。
这个世界上有许许多多的事物满足这样的变化规律：增长率正比于变量自身的大小。例如放射性元素衰变的时候，衰变率就和现存的放射性物质多少成正比；资源无穷多的社会，人口出生率将（近似的）和现存人口数成正比等等。而此类变化规律所确定的解，则是由以e为底的指数增长所描述的：如果x的变化率等于变量x自身的λ倍，那么该变量随时间t的函数则为
而e的直观含义正是增长的极限，这个问题在 数学常数e的含义 中有过详细的介绍。
正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个统计模型。各种各样的心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布，尽管这些现象的根本原因经常是未知的。而理论上则可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量，那么这个变量服从正态分布。
正态分布在生活中也可谓是无处不在。多次反复测量一个物理量，测出来的值一般来说总是呈正态分布；瓶装可乐的实际体积，也是正态分布；一大群人的寿命分布、智商分布等，也都是正态分布。而正态分布的表达式中，也神奇的出现了e。
阶乘运算n！本来是定义在正整数上的。数学家最爱做的事情就是推广，因此阶乘函数自然不能幸免。当把阶乘函数推广到定义域为复数的时候，我们要寻找的函数就是一条通过了所有（n,n!）点的函数。所谓的伽马函数Γ(x)满足了这个性质(Γ(n+1)=n!)，而伽马函数的表达式中又出现了e:
阶乘n!与e还有另一层神秘的联系。
当n趋于无穷大的时候，n!满足下面的近似关系式——斯特林公式：
所谓调和级数，即1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+...。它是一个发散级数，当n趋于无穷大的时候，这个和也将趋于无穷大。但是同样是发散的级数，发散也有快慢之分。调和级数发散速度是怎样的呢？伟大的欧拉发现的一个著名极限给出了答案：
因此调和级数的发散速度正是和以e为底的对数——ln函数的发散速度一致。
素数（或称质数）是指除了1和它本身之外，无法被其他自然数整除的数。素数看似和e毫无联系，可是，素数分布的理论指出，素数的分布与e息息相关。如果用π(x)表示不大于x的素数个数（注意这里的π不是圆周率！），那么素数分布中心定理指出
数学史上曾经有一个著名问题，称之为悬链线问题：一根柔软不可伸长的链子，两头固定在空间中的两个定点上（这两个点不一定要等高），链子形成的曲线是怎样一条曲线呢？这个问题和最速降线问题提出的时间很接近，而且参与者也大多相同。早在文艺复兴时代它就已经被达芬奇研究过，可惜并没有得到答案。伽利略猜想答案是抛物线，这也和很多人最初的感觉是一致的，可惜后来被惠更斯在17岁的时候证明是错的。
和最速降线问题一样，这一问题伯努利兄弟中的一个也曾公开征集解答，不过这次是哥哥雅各布，他在1690年的《教师学报》中发表了这个问题。在雅各布提出这一问题一年后的1691年6月，《教师学报》发表了惠更斯（当时已经62岁）、莱布尼茨以及约翰?伯努利提交的三份正确答案。三人的方法都不一样，但最终的结果却是一致的。而雅各布自己则并没能把它解出来，这让弟弟约翰?伯努利异常兴奋。
悬链线的正确方程是这样的：
它的发现在当时被看做是新微积分伟大成果的重要标志。而现在，悬链线则在世界著名的标志性建筑物——密苏里的圣路易斯大拱门——中永垂不朽了。
MWI（Many World Interpretation）平行宇宙理论（或多宇宙理论）是一个非常有意思的理论，它的提出是为了解释哥本哈根学派所面临的困难。
在解释著名的薛定谔的猫时，哥本哈根学派认为在观测前，猫处于既死又活的状态，然而一旦观测，波函数就坍缩了，我们有50%的概率观察到它死了，50%的概率观测到它还活着，但是现实世界里猫只有死或者活之中的一种状态。但是这种解释有一个问题，就是观测到底是什么意思，观测者是什么，用仪器记录下来而我们人类不去看，波函数到底坍缩了没有，最终会把问题归结到意识上面，一个拥有意识的“观测者”成了宇宙中拥有使波函数坍缩的至高无上的权利，似乎与我们对世界的认识不符。。
于是，平行宇宙理论粉墨登场~！MWI解释说，每次实验都会同时产生一只活猫和一只死猫，只不过他们存在于两个平行宇宙中，一个宇宙中猫死了，而另一个宇宙中猫还活蹦乱跳！当一个量子过程发生后，不光是猫被卷入了叠加态，整个宇宙也被卷入了叠加态！不同的平行宇宙之间不能产生任何联系，而我们也只能按照一定概率观测到某一个平行宇宙，这就解释了薛定谔的猫实验。时至今日，平行宇宙理论的支持者势力已经仅次于哥本哈根解释了，它在物理学界已经可以算是一种被广泛接受的正规理论了。
如果我们接受平行宇宙理论，那么就会得到很多有意思的结果。
你在这个世界为你错误的选择而痛苦，而这正是身处另一个量子分支的你快乐的表现。而这并不是最让人欣慰的结果，根据平行宇宙理论，你甚至是永生的~！
现在假如你是一个勇于为科学献身的仁人义士，自告奋勇地去代替那只倒霉的猫。出于人道主义，为了让你少受痛苦，我们把毒气瓶改为一把枪。如果原子衰变（或者利用别的量子机制，比如光子通过了半镀银），则枪就“砰”地一响送你上路。反之，枪就只发出“咔”地一声空响。
根据多宇宙理论，这个过程一发生，宇宙立刻分裂成了两个，在其中一个里你听到了“砰”的一声便倒在了血泊里，而这个宇宙对你已经没有任何意义了；然而在另一个宇宙里，你只听见了一声清脆的“咔”，于是这个世界就是唯一对你有意义的世界了。
于是，那个活着的你便可以不停地做这个实验，于是在数不清的平行宇宙中，你都在某一次“砰”声响起之后挂掉；然而总会有一个平行宇宙，在这里面你怎么搞都死不了，你只存在在这个平行宇宙中了。
根据人择原理，只有你还活着的平行宇宙才对你有意义，不管这个世界出现的概率有多么小。你可能会想，我爷爷恰好有个儿子，我爷爷的爸爸也恰好有个儿子，我爷爷的爷爷也恰好有个儿子……而且经过了世界那么多的兵荒马乱，他们居然都能活到生儿育女，真是巧合啊！！！但是，其实这一切都不是巧合，因为你发出这个疑问有一个大大的前提，就是你存在着...所以那些事实都是必然的。所以说，你也不要惊奇，“哎呀，怎么我开了那么多枪都恰好是空响，这真是个奇迹啊！”不管那个怎么死都死不了的只听到“咔”声的平行宇宙存在的概率有多小，它对你都是唯一有意义的宇宙，你必然感觉到自己就是怎么死都死不了。（当然，如果平行宇宙理论是错误的，那你就悲剧了..）
然后我们就可以大胆推广，因为这个世界上发生的一切过程究其根源都是量子过程。比如说你拿刀子猛捅自己的心脏，在大多数世界里你必然就一命呜呼了，但是，万一要是刀子上的所有原子都恰好发生了隧道效应，你就会发现刀子就是没有捅进去，你就会依然活着~虽然概率小到对于别人来说完全可以忽略了，但是对于你主观来说这种情况总会发生。我们也不必做这么危险的量子自杀实验，我们自己的生老病死就是一系列的量子自杀实验！对于你自己来说，当你得了一次一次重病的时候，必然总有一个又一个的医学奇迹在你身上发生让你起死回生，因为总有一些量子过程会让你的细胞恰好死不了而维持住你的意识，尽管这个事情发生的概率可能要远远小于地球突然爆炸掉...
只不过对于这个世界上的其他人来说，按照概率，基本上有99.999999+%的概率我们都会观测到你在某一次量子过程发生后命丧黄泉。这也就是为什么我们没有见到真正永生的人存在在这个世界上。只有自己是永生的。
也许某一天，当我活到了2147483647岁的时候，我可以大声的宣布，我相信平行宇宙理论在可以接受的概率范围内是成立的！
今后我们就不必说什么“信春哥得永生”了，让我们一起高喊“信平行宇宙得永生”~！
在最终的物理学中，三个基本常数就足够构建整个自然科学里的所有常量。
（现在离这个目标还很远。不能被表示的常数还非常多。许多非基本常数也是测量出来的。）
（我第一次接受这个观点是来源于海森堡。好像他们哥本哈根学派的都很喜欢思考这种问题。玻尔、惠勒等人都是高手。）
而这三个常数从理论上来讲是有无数种选取方式。
但是一般而言，我们都是选取最特别的几个常量。
1.光速c。大家都懂。麦克斯韦方程组中唯一那个的常量。也是质能方程中连接质量和能量的方程。
其实选取10倍光速（10c）或者万有引力常数和光速之比（G/c)作为第一个基本常数也是完全可行的。但只是使用光速c作为常数时，物理学才能达到最优美的形式。比如说E=mc^2这种方程的美感才能体现出来。想想看，E=m(G/c)^2这种形式多丑陋啊，甚至有些物理方程还会变得更丑。
2.普朗克常量h。这也是一个大家经常用来作为基本常数的。这是一个量子力学诞生时才出现的基本常数，20世纪前大家都没有意识到的重要常数。选择它的原因和上面类似，薛定谔方程中唯一的那个常数。也是不确定性关系的那个常数。
这么优美的常量人类居然才发现100年左右，真是可惜啊。
3.由于自然科学还不够完整，我们选不出最合适的第三个基本常数。（选出了第三个暂时也没法表示出其他的常量）其实基态氢原子的直径、1个电子的质量、万有引力常量等等都可以作为第三个基本常数。这些都是可行的选择，但都不是优美的选择。
物理学还需要继续发展才能找出一个出现在基本物理方程中的优美常数。（光速c是电动力学的，普朗克常量是量子力学的。）光速是出现在麦克斯韦方程组中的，普朗克常量是出现在薛定谔方程，那么第三个大概也是出现在某个基本方程中。
当我们找出这三个常数时，任意其他常数都可以用三个基本常数表示出来。
这也物理学发展的一个标准。想一想，给定光速、普朗克常量和电子静质量后我们就能计算出（而非测量出）所有自然常数，包括基本粒子的质量、寿命、中字的质量、万有引力常数、海德堡常数、真空磁导率等等。总之任意你能想到的常量都可以被计算/表达出来。
这时，物理学的结构才能被视为完整。四大基本力（电磁力、引力、强相互作用力、弱相互作用力）被统一的方程地描述。人类可以算能看懂宇宙的行为了。
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