@土豆泥：
讲一段大家非常熟悉的科学史。
Everything glows with the light of its own internal heat.
热量其实是组成物体的粒子的随机运动所产生的能量。加速运动的带电粒子能够产生电磁辐射（Electromagnetic radiation）——光，所以由这些不断振动着的带电粒子比如电子和质子，所组成的物质能够发光（glows）。一个物体越热，其组成粒子的振动越快。这些粒子的平均频率随着温度的升高而增加。
所以，这个平均频率就决定了我们所看见的颜色。太阳看上去是黄色的，因为其表面接近6000K的温度所致，其辐射出的大部分光子位于绿色-黄色的电磁波谱段（Electromagnetic spectrum）。我们所知道的参宿七（Rigel），因为其表面接近12000K的温度，所辐射的光子大多位于蓝色甚至紫外波段，因此它也被称为超蓝巨星。
图片来自Rigel Sun Comparison
你的身体温度大约是310K，所以你发出的光子属于低频段的红外波段，所以你放屁的样子大概是这样的：
图片来自Infrared Human
在17世纪的60年代，艾萨克·牛顿爵士首先对热发光现象进行了分析，当时，他使用了一面棱镜对太阳光进行了分光处理，进而得知复色光的各种组分。
但他并不知道这些单色光的相对亮度是通向量子世界的关键之匙。直到19世纪的后半叶，发热物体的亮度分布与频率的关系谱图被实验结果精确的绘制了出来，这种在全黑背景下单纯观察发热物体发光亮度的实验导出了妇孺皆知的黑体光谱（Black-body radiation）：
图片来自blackbody spectrum
这种看上有些奇怪的不对称曲线，让当时大多数科学家饥渴于其背后的深度规律。由于冶金以及照明设备制造等的需要，很多人试图用精巧的可以最大精度范围内预测整个模型的数学公式试图去描绘这一物理现象，其中包括了当时两位大英帝国的物理宗师：莱利勋爵（Rayleigh）和詹姆斯·金斯爵士（James·Jeans）。在20世纪的初叶，两位绅士大胆地对黑体光谱发动了能量均分定理（Equipartition theorem）全面进攻。
插播一下：
能量均分定理：在经典統計力學中，能量均分定理是一種聯繫系統溫度及其平均能量的基本公式。能量均分定理又被稱作能量均分定律、能量均分原理、能量均分，或僅稱均分。能量均分的初始概念是熱平衡時能量被等量分到各種形式的运动中；例如，一个分子在平移運動时的平均動能應等於其做旋轉運動时的平均動能。
引自Equipartition theorem
它强调的是一个物体的热能可以被分布在其所有组成粒子的所有可能运动的方式中，简言之，在平衡状态下，能量可以在各种能级间被均匀地传递。
图片来自https://www.youtube.com/watch?v=tQSbms5MDvY
插播结束
在此基础上提出的瑞利-金斯定律（Rayleigh–Jeans law）一时名动八方，其对应的函数曲线跟黑体光谱中的低频区非常完美的符合：
然而，在可见光和紫外等高频区，它所描述的亮度直接朝天而去，跟实验结果不符。
更糟糕的是，按照公式所传达的信息，随着频率的不断增大，辐射强度会直达无限大（infinity），而这样的宇宙将会是非常恐怖的：遍布着无限高能的伽马辐射。因为其带入的信息对生命充满了敌意，这个现象也被叫做紫外灾变（Ultraviolet catastrophe）。这个灾难也直接的说明了经典物理在瑞利-金斯定律中存在的本质错误。
后来的发现才证实，在经典物理之中，万物都可以被无限地分割，永远没有最小的界限。瑞利-金斯公式允许粒子可以以任何数量的能量振动，这个数量可以一路下降到无穷小。所以当瑞利和金斯试图把热能均匀分布地到所有可能的能级中时，他们发现，在数学意义上，巨量的能量被塞到高频区里数不尽的、分割到无限小的能级里，因此永远没有尽头，从而出现了紫外灾变。
直到我们故事的主角——德国物理学家马克斯·卡尔·恩斯特·路德维希·普朗克（Max Planck）的一次意外收获，才彻底解决了紫外灾变。
在找寻一种新的黑体光谱的数学解释的过程中，普朗克一直在构想可能的某种数学技巧（math trick）来计量所谓的无穷多能级，换句话说，他也是就着瑞利-金斯的套路在走。
在他后来自述的某个绝望的瞬间中，他尝试了一种颇为愚蠢的办法。在这个度规中，他令粒子振动的不同能量等于某个最小能量的倍数，换句话说，让不同能级的能量量子化。他把这个最小的能量公式化为一个粒子振动的频率与一个非常非常非常非常非常小的当时还无法测得数值的某个常数的乘积。这个常数后来成为了普朗克常数（Planck constant）。
就是这个像电脑蓝屏后你内心拔凉般随意敲打键盘以求解锁的举动，完成对紫外灾变的绝杀。因为他的方法实际上限制了高频段振动所能辐射的能量数，普朗克方程从数学上完美的诠释了黑体辐射光谱，覆盖了所有频段的光谱，最后成为了普朗克定律（Planck's law）。
插播快讯
“紫外灾变”这一名称是保罗·埃伦费斯特于1911年提出的，从时间上看这比普朗克定律的提出要晚十年之久。紫外灾变是指将经典统计力学的能量均分定理应用于一个空腔中的黑体辐射（又叫做空室辐射或具空腔辐射）时，系统的总能量在紫外区域将变得发散并趋于无穷大，这显然与实际不符。普朗克本人从未认为能量均分定理永远成立，从而他根本没有觉察到在黑体辐射中有任何“灾变”存在——不过仅仅过了五年之后，这一问题随着爱因斯坦、瑞利勋爵和金斯爵士的发现而就变得尖锐起来。
引自
KUHN AND THE QUANTUM CONTROVERSY
http://www.math.lsa.umich.edu/~krasny/math156_article_planck.pdf
快讯结束
奇妙的是，马克思·普朗克在一开始并没有觉得这些量子态的能级是真实的，这只应该是一次数学变换的技巧或者形式，他期望这个新的常数最后等于零，意味着能级之间不是离散的，不存在量子化，也没有最小能级，在这种情况下，普朗克常数会在最后的等式中抵消掉，然而，这都没有发生，相反地，普朗克常数坚挺地植根于黑体辐射定律的方程之中。能量量子化是存在的。
基于黑体辐射光谱的数学表达式，普朗克常数可以通过变量调整以精确匹配计算谱图于实验谱图来来不断接近真实数值。
像往常一样，最后还是爱因斯坦完全理解了隐藏在普朗克奇异的量子化振动背后的物理意义，爱因斯坦最后真切地明白了，实际上光是量子化的。之前提到的那些不断振动的小粒子确实具有量化的能量，但那是因为它们只能通过每次吸收或者释放一个光子来增加或者减少能量。而光总是以不可分割的能量小包来回传送。普朗克的发现确实是爱因斯坦假设光子以部分波、部分粒子形式存在的基石，也是爱因斯坦通过光电效应（Photoelectric effect）证实这一假设的重要线索。爱因斯坦通过这一脍炙人口的方程将具有粒子性的频率与量子化特征的普朗克常数联系了起来：
插播一下：
光电效应（Photoelectric Effect）是指光束照射在金属表面会使其发射出电子的物理效应。发射出来的电子称为“光电子”。要发生光电效应，光的频率必须超过金属的特征频率。光束里的光子所拥有的能量与光的频率成正比。
假若金属里的电子吸收了一个光子的能量，而这能量大于或等于某个与金属相关的能量阈值（称为这种金属的逸出功），则此电子因为拥有了足够的能量，会从金属中逃逸出来，成为光电子；若能量不足，则电子会释出能量，能量重新成为光子离开，电子能量恢复到吸收之前，无法逃逸离开金属。增加光束的辐照度（光束的强度）会增加光束里光子的密度，在同一段时间内激发更多的电子，但不会使得每一个受激发的电子因吸收更多的光子而获得更多的能量。
换言之，光电子的能量与辐照度无关，只与光子的能量、频率有关。被光束照射到的电子会吸收光子的能量，但是其中机制遵照的是一种非全有即全无的判据，光子所有能量都必须被吸收，用来克服逸出功，否则这能量会被释出。假若电子所吸收的能量能够克服逸出功，并且还有剩余能量，则这剩余能量会成为电子在被发射后的动能。
引自Photoelectric effect
插播结束
这个突破性的理论不但能够解释光电效应，也推动了量子力学的诞生。由于“他对理论物理学的成就，特别是光电效应定律的发现”，爱因斯坦获颁1921年诺贝尔物理学奖，而在这之前的1918年诺贝尔物理学奖则属于普朗克。
而普朗克形容的在那绝望一刻通过数学技巧所构想出来的常数，成为了量子力学的核心所在。
@没有姓也没有名：
我想来谈谈白金汉π定律（Buckingham PiTheorem）和热质比拟（heat mass transfer analogy）. 第一个大Pi理论是一种依靠量纲分析来做拟合式的方法，第二个是通过类比两个同机理的现象来研究彼此的方法，它们都被广泛地利用在了经典物理学领域。
首先举个栗子！
现在我们的第七代导演矮先生要抄了一本小说接着要拍一部青春偶像剧，在那个剧中有一幕是霸王龙突然出现在了女孩纸的婚礼上吃掉了某绿茶x。矮先生出了82分钱和一个6 6 6凑成了一块钱给特效小组，要做一个霸王龙和人追逐并吃掉人的场景。
（Jeff Goldblum Runs from T. Rex inWorld's Best Wedding Photo）
特效小组非常地方，因为导演只告诉了他们，一开始霸王龙和那个倒霉鬼相距20米，却没有告诉他们霸王龙能跑多快！
于是他们就在1块钱里头分了7分钱给了一个砖家，让他去研究一下霸王龙的奔跑速度。
砖家看了好多部原版的猪罗纪公园，经过研究他发现，成年的霸王龙奔跑的速度可能与一下几个量相关：
霸王龙的腿长：H
霸王龙的年龄：A
(dinosaur town ruins people rex artfiction tyrannosaurus t-rex HD wallpaper)
砖家表示自己一点都不方，因为他想到了以前上大学的时候参加考试，曾经有一道关于量纲分析的题目，他依稀记得自己抄的旁边的学霸的答案。
就决定是你了，Buckinghan Pi！
速度 v：m/s [L t-1]
腿长 H：m [L]
年龄 A：s [t]
这里为了单位统一，所以速度是米每秒（m/s），腿长是米（m），年龄使用的是秒（s）.
那么对应下来，速度的量纲就是【长度 时间-1】，腿长是【长度】，年龄是【时间】。
接下来写大Pi公式：
其中x，y为未知实数。将公式改写为量纲形式：
合并同类项之后：
为了公式成立以及世界和平，解出这个公式变得容易啦：
x=-1, y=1
如果这个砖家的假设是正确的，我们可以写出来这么一个公式：
(v是速度，H是腿长，A是成年霸王龙的年龄，C是一个常数)。
经过一系列的玄学上的研究，占卜，以及托梦行为之后，砖家得出了霸王龙的奔跑速度的公式并交给了特效小组。特效小组完成了特效，矮先生也很开心地拍完了自己的电影作品。
以上的例子纯属搞笑，并不是严谨的bucklingham Pi理论的应用，只是粗浅地讲了量纲分析而已。
那些研究霸王龙奔跑速度的同学你们在哪里？
在近代物理学中有很多公式都用了这个理论。比如我随手在Incropera的传热书上截图了两个公式：
第一个公式中，将努塞尔数（你可以理解为传热系数的无量纲数变体）写成了雷诺数和普朗特数的函数。
第二个公式是史伍德数（传质系数的无量纲数变体）写成了雷诺数和施密特数的函数。
其中，雷诺数可以理解为描述流体状态的无量纲数。而普朗特数是流体动量与传热的速率比，施密特数是动量与质量扩散的速率比。
细心的同学可能会发现，这两个公式一样一样的呀~答对啦，这就是传说中的杀手级heat and mass transfer analogy
这是因为，热对流传热和传质的本质是一样的（认为由扩散造成），因此传热和传质公式具有类比性。首先研究出了传热公式，再类比到传质上来得出传质公式；这种找到同理的两个现象，先研究第一个，再研究第二个的方法也是常用于物理学中的。
这个方法不仅仅可以被利用在公式推导中，还有很多其他的玩法。
比如说，质量的损失和热量的损失哪个更容易被精确方便地测量出来？
不管你说什么，我都认为是质量。
那如果在研究热对流传热的时候，将研究变成对传质的研究，去测量质量的损失率不就很方便了吗？我就读到过这样一篇文章：为了测量换热器空气侧的传热量，在换热器表面均匀地涂上了一层挥发性物质，在试验后测量残留物质的高度来精确求出换热器每一个地方的传质量，就可以成比例地知道换热量大小了。
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