微分 - 泰勒公式

1 泰勒公式

• 泰勒公式是一种强大的函数近似工具 , 它的核心是用一系列多项式函数叠加来逼近某个函数 .
• 泰勒公式在实际应用中常用于近似计算复杂的非线性函数 , 并且估计误差 .

泰勒中值定理 ( 泰勒公式 )

设函数 在含有 的开区间 内具有直到 阶的导数 , 则当 时 , 可以表示为 的一个 次多项式与一个余项 之和 :

即

注意 :

1. 是展开点 ;
2. 常数函数 是起始值 ;
3. 剩余其他多项式函数包含 , 所以在展开点 处的值都是 ;
4. 就是误差 .

1.1 求解泰勒公式的各项系数

假设取关于 的 次多项式函数 , 系数用 等表示 :

当多项式函数 近似表达函数 时 , 两者误差为

则在展开点 处 :

若要求满足

可得

若要求满足

且 的一阶导数为 :

可得

 若要求满足

且 的二阶导数 :

可得

即

若要求满足

且 的三阶导数 :

可得

即

以此类推

若要求满足

且 的 n 阶导数 :

所以

因此

所以