【状元笔记】“函数”必考知识点及常考题型总结，需要的转走！

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小数老师说

函数是高考的重中之重，对于新高一和新高三的童鞋来说，这一块都是你务必想办法拿下来的高地，所以大家加油吧！

函数部分需要大家重点掌握的点：基本初等函数的图像，性质，函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性，以及零点等，在高考中会渗透到各个知识点，所以大家一定要注意！

函 数

一、函数的基本性质

1．奇偶性

（1）奇函数：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数。

偶函数：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②具有奇偶性的函数的定义域必须是关于坐标原点对称的区间。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

（3）简单性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称；

②定义域相同的两个奇、偶函数的四则运算性质：

奇+奇=奇；偶+偶=偶

奇*奇=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇

③函数f(x)是奇函数 <=> 曲线y=f(x)关于原点对称;

函数f(x)是偶函数 <=> 曲线y=f(x)关于y轴对称。

2．单调性

（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)（f(x₁)>f(x₂)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；

注意：

① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

② 函数单调性定义中的x₁，x_{2 ，}有三个特征：

一是任意性，尤其是在证明单调性时，不能以特殊值替换；

二是有大小，x₁ ≠ x₂；

三是同属于一个单调区间。三者缺一不可。

（2）判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

• 任取x₁，x₂∈D，且x₁<x₂；

• 作差f(x₁)－f(x₂)；

• 变形（通常是因式分解和配方）；

• 定号（即判断差f(x₁)－f(x₂)的正负）；

• 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

（3）简单性质

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

③ 公共定义域内：

增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；

增函数 - 减函数=增函数；减函数 - 增函数=减函数。

（4）复合函数的单调性：

复合函数单调性符合“同增异减”的原则。

注：求复合函数单调区间时应先求出函数的定义域。

求复合函数单调性的基本步骤：

①求复合函数的定义域；

②把复合函数分解为基本函数；

③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；

④由复合函数的单调性规律判断其单调性或单调区间。

3．周期性

（1）定义：

如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数；

（2）性质：

①f(x+T)= f(x)常常写作

若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；

②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为

。

二、指数函数

1、定义

形如y=a^x(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x是自变量，定义域是R。

注：

像

等函数都不是指数函数，要注意区分。

2、指数函数图像与性质

三、对数函数

1、对数

一般地，如果a（a>0且a≠1）的b次幂等于N,即a^b=N，那么b叫做以a为底N的对数，记作b=log_aN。

其中a 叫做对数的底数，N叫做对数的真数。

注：

①负数和0无对数

②log_a1=0 ; log_a a=1

③对数恒等式：log_a a^x = x (a>0,a≠1)；

(a>0,a≠1，N>0)

2、指数式与对数式的互化

当a>0且a≠1时，ax=N <=> x=log_aN.

用图表示为：

3、常用对数和自然对数

4、对数的运算法则

如果a>0，a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么我们有：

5、对数的换底公式及其推论

6、对数函数

定义：一般地，函数y= log_ax （a>0，a≠1，x>0）叫做对数函数。

图像和性质：

7、反函数

若两个函数互为反函数，则这两个函数：

定义域和值域互换，对应法则互逆，图像关于直线y=x对称。

四、幂函数

1、概念

一般地，形如y=x^α（α∈R）的函数叫做幂函数。其中x为自变量，α为常数，其特征是以幂的底为自变量，指数为常数。

注：

① 有的幂函数在区间（0，+∞）上都有定义，并且图像都通过点（1,1）。

② 确定一个幂函数，只需求出α即可。

2、图像和性质：

在同一直角坐标系内作出幂函数y=x,y=x²,y=x³,

,y=x^-1的图像：

从图像观察总结出规律：

所有的幂函数y=x^α （α∈R）在（0，+∞）上都有定义。

① α>0时，图像过点（0,0）和（1,1），在第一象限内为增函数。

② 0<α<1时，曲线上凸；α>1时，曲线下凸。

③ α<0时，幂函数图像过点（1,1），在第一象限内为减函数。

④ α=1时，图像为过点（0,0）和（1,1）的直线。表示

⑤ α=0时，y=x^α 表示过点（1,1）且平行于x轴的直线【除去点（0,1）】

3、幂函数的奇偶性

状元小提示

函数是高考中极为重要的部分之一，基本知识以填空、选择等小题形式出现，在大题中也会涉及，通常与圆锥曲线等知识结合构成“压轴题”，占分比重极大，易出错点也很多。

易错点及例题分析

易错点1：特殊函数的定义域问题

例：

错误解法：

错因分析：

正确答案：

易错点2：复合函数的单调性判断

例：

错误解法：

错因分析：

正确答案：