借助方程求解数轴上动点问题

2015-01-27

借助方程求解数轴上动点问题
湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬

数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析,不妨先明确以下几个问题:

 

1.数轴上两点间的距离,即为这两点所对应的坐标差的绝对值,也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。

 

2.点在数轴上运动时,由于数轴向右的方向为正方向,因此向右运动的速度看作正速度,而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a,向左运动b个单位后表示的数为ab;向右运动b个单位后所表示的数为a+b

 

3.数轴是数形结合的产物,分析数轴上点的运动要结合图形进行分析,点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

 

1已知数轴上有ABC三点,分别代表—24,—1010,两只电子蚂蚁甲、乙分别从AC两点同时相向而行,甲的速度为4个单位/秒。

⑴问多少秒后,甲到ABC的距离和为40个单位?

⑵若乙的速度为6个单位/秒,两只电子蚂蚁甲、乙分别从AC两点同时相向而行,问甲、乙在数轴上的哪个点相遇?

⑶在⑴⑵的条件下,当甲到ABC的距离和为40个单位时,甲调头返回。问甲、乙还能在数轴上相遇吗?若能,求出相遇点;若不能,请说明理由。

 

分析:如图1,易求得AB=14BC=20AC=34

⑴设x秒后,甲到ABC的距离和为40个单位。此时甲表示的数为—24+4x

①甲在AB之间时,甲到AB的距离和为AB=14

甲到C的距离为10—(—24+4x=344x

依题意,14+344x=40,解得x=2

②甲在BC之间时,甲到BC的距离和为BC=20,甲到A的距离为4x

依题意,20+4x=40,解得x=5

2秒或5秒,甲到ABC的距离和为40个单位。

⑵是一个相向而行的相遇问题。设运动t秒相遇。

依题意有,4t+6t=34,解得t=3.4

相遇点表示的数为—24+4×3.4=10.4 (或:106×3.4=10.4

⑶甲到ABC的距离和为40个单位时,甲调头返回。而甲到ABC的距离和为40个单位时,即的位置有两种情况,需分类讨论。

①甲从A向右运动2秒时返回。设y秒后与乙相遇。此时甲、乙表示在数轴上为同一点,所表示的数相同。甲表示的数为:—24+4×24y;乙表示的数为:106×26y

依题意有,—24+4×24y=106×26y,解得y=7

相遇点表示的数为:—24+4×24y=44 (或:106×26y=44

②甲从A向右运动5秒时返回。设y秒后与乙相遇。甲表示的数为:—24+4×54y;乙表示的数为:106×56y

依题意有,—24+4×54y=106×56y,解得y=8(不合题意,舍去)

即甲从A点向右运动2秒后调头返回,能在数轴上与乙相遇,相遇点表示的数为—44

 

点评:分析数轴上点的运动,要结合数轴上的线段关系进行分析。点运动后所表示的数,以起点所表示的数为基准,向右运动加上运动的距离,即终点所表示的数;向左运动减去运动的距离,即终点所表示的数。

 

2如图,已知AB分别为数轴上两点,A点对应的数为—20B点对应的数为100

⑴求AB中点M对应的数;

⑵现有一只电子蚂蚁PB点出发,以6个单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发,以4个单位/秒的速度向右运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇,求C点对应的数;

⑶若当电子蚂蚁PB点出发时,以6个单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发,以4个单位/秒的速度也向左运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇,求D点对应的数。

 

分析:⑴设AB中点M对应的数为x,由BM=MA

所以x—(—20=100x,解得 x=40   AB中点M对应的数为40

⑵易知数轴上两点AB距离,AB=140,设PQ相向而行t秒在C点相遇,

依题意有,4t+6t=120,解得t=12

(或由PQ运动到C所表示的数相同,得—20+4t=1006tt=12

相遇C点表示的数为:—20+4t=28(或1006t=28

⑶设运动y秒,PQD点相遇,则此时P表示的数为1006yQ表示的数为—204yPQ为同向而行的追及问题。

依题意有,6y4y=120,解得y=60

(或由PQ运动到C所表示的数相同,得—204y=1006yy=60

D点表示的数为:—204y=260 (或1006y=260

 

点评:熟悉数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法是解决本题的关键。⑵是一个相向而行的相遇问题;⑶是一个同向而行的追及问题。在⑵、⑶中求出相遇或追及的时间是基础。

 

3.已知数轴上两点AB对应的数分别为—13,点P为数轴上一动点,其对应的数为x

⑴若点P到点A、点B的距离相等,求点P对应的数;

⑵数轴上是否存在点P,使点P到点A、点B的距离之和为5?若存在,请求出x的值。若不存在,请说明理由?

⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时,点A以每分钟5个单位长度向左运动,点B一每分钟20个单位长度向左运动,问它们同时出发,几分钟后P点到点A、点B的距离相等?

 

分析:⑴如图,若点P到点A、点B的距离相等,PAB的中点,BP=PA

依题意,3x=x—(—1),解得x=1

⑵由AB=4,若存在点P到点A、点B的距离之和为5P不可能在线段AB上,只能在A点左侧,或B点右侧。

P在点A左侧,PA=1xPB=3x

依题意,(—1x+3x=5,解得  x=1.5

P在点B右侧,PA=x—(—1=x+1PB=x3

依题意,(x+1+x3=5,解得  x=3.5

⑶点P、点A、点B同时向左运动,点B的运动速度最快,点P的运动速度最慢。故P点总位于A点右侧,B可能追上并超过APAB的距离相等,应分两种情况讨论。

设运动t分钟,此时P对应的数为—tB对应的数为320tA对应的数为—15t

B未追上A时,PA=PA,则PAB中点。BP的右侧,AP的左侧。

PA=t—(—15t=1+4tPB=320t—(—t=319t

依题意有,1+4t=319t,解得 t=

B追上A时,AB重合,此时PA=PBAB表示同一个数。

依题意有,—15t=320t,解得  t=

即运动

分钟时,PAB的距离相等。

 

点评:⑶中先找出运动过程中PAB在数轴上对应的数,再根据其位置关系确定两点间距离的关系式,这样就理顺了整个运动过程。

 

4A1A2A3、……Ann为正整数)都在数轴上,点A1在原点O的左边,且A1O=1,点A2在点A1的右边,且A2A1=2,点A3在点A2的左边,且A3A2=3,点A4在点A3的右边,且A4A3=4,……,依照上述规律点A2008A2009所表示的数分别为(      )。

A2008,—2009   B.—20082009   C1004,—1005  D1004,—1004

 

分析:如图,

A1表示的数为—1

A2表示的数为—1+2=1

A3表示的数为—1+23=2

A4表示的数为—1+23+4=2   ……

A2008表示的数为—1+23+4—……—2007+2008=1004

A2009表示的数为—1+23+4—……—2007+20082009=1005

 

点评:数轴上一个点表示的数为a,向左运动b个单位后表示的数为ab;向右运动b个单位后所表示的数为a+b。运用这一特征探究变化规律时,要注意在循环往返运动过程中的方向变化。

 

练习题

1.已知数轴上AB两点对应数分别为—24P为数轴上一动点,对应数为x

⑴若P为线段AB的三等分点,求P点对应的数。

⑵数轴上是否存在P点,使P点到AB距离和为10?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由。

⑶若点A、点BP点(P点在原点)同时向左运动。它们的速度分别为121个单位长度/分钟,则第几分钟时PAB的中点?

(参考答案:⑴02;⑵—46;⑶2

2.电子跳蚤落在数轴上的某点K0,第一步从K0向左跳一个单位到K1,第二步由K1向右跳2个单位到K2,第三步由K2向左跳3个单位到K3,第四步由K3向右跳4个单位到K4……按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的K100所表示的数恰是19.94。试求电子跳蚤的初始位置K0点表示的数。

(提示:设K0点表示的数为x,用含x的式子表示出K100所表示的数,建立方程,求得x=30.06

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