一个折叠问题的辅助线作法探究

湖北省安陆市洑水中学　王官清

下面一道和直角三角形折叠有关的几何证明题，需要作辅助线构造相似三角形，才能顺利解决。但辅助线的作法比较灵活，通过探究此例辅助线的作法，能够训练思维的灵活性、深刻性，从而提高数学能力。下面从构造相似三角形的角度出发，探究四种辅助线的作法。

 

例　如图1，Rt△ABC中,AB=AC,点M在AC上，点N在BC上，沿MN翻折使点C恰好落在斜边AB上的点P.

 

(1)     当P为AB中点时，求证：

.

 

    (2)  当P不是AB中点时，

是否仍然成立？若成立，请给出证明。

 

 

析解：（1）如图1, P为AB的中点，则PA=PB，要证

，所以应证CM=CN.

 

连结CP，由PA=PB，CA=CB，得CP⊥AB.

 

可知△CMN与△PMN完全重合, 得CM=PM,CN=PN.

 

∴MN⊥CP.(MN是PC的垂直平分线)

 

∴MN∥AB.

 

∴

=

=1.

 

∵

，∴

.

 

(2)    如图2, 此时

仍然成立.

 

如何证明关键是怎么作辅助线，将成比例线段的四条线段集中在一块，利用全等三角形和相似三角形的知识来研究。

 

辅助线一

 

由

，考虑从线段AB 的内分点P作AC的平行线，构造出相似三角形，再从已知分析寻找证明思路。

 

证：如图（2），作PQ//AC，则PQ⊥BC，连结PC.

 

∵PQ∥AC，∴

.

 

而PQ=QB，∴

.

 

（如果以

作为中间比，须证

。

 

于是从

思考△PQC∽△NCM是否成立。）

 

由已知可得PC⊥MN，MC⊥CN，

 

∴∠CMN=∠PCQ，∴Rt△PCQ∽Rt△NMC.

 

∴

.∴

.

 

辅助线二

 

仍然考虑从P出发构造相似三角形和全等三角形。

 

 

证：如图3. 作PH⊥AB于P交AC于H，作AQ∥BC，于PN的延长线交于Q，可得

 

       △PAQ∽△PBN,有

.

 

∵PH⊥AB于P，∠PAH=45°，∴PA=PH,∠PHM=∠PAQ=45°,

 

∵△CMN≌△PMN,∠MPN=Rt∠.∠1+∠3=∠2+∠3=Rt∠

 

∴∠1=∠2, ∴△PHM≌△PAQ(ASA) ，∴PQ=PM.

 

∴

.

 

辅助线三

 

由

可知，PA、PM在△PAM中，而PB、PN在△PBN中，显然不易证这两三角形相似，于是想办法作辅助线构造一个与△PAM相似的三角形。

 

 

证：作PQ=PN交BC于Q，如图4. ∠PNQ=∠PQN，∠PNC与∠PMC互补，∠PMA与∠PMC互补，∠PMA=∠PQB，又∠A=∠B=45°，

 

∴△PMA∽△PQB, ∴

.

 

又PQ=PN∴

成立。

 

而PM=PN，PN=CN，∴

.

 

辅助线四

 

根据以上三种辅助线的作法，不难想到第四种作法。

 

 

证：如图5，作PH⊥AC于H，PG⊥BC于G ，

 

易证Rt△AHP∽Rt△BGP, 则

,

 

再证Rt△AHP∽Rt△PGN,∴

问题可以得到解决。