在球坐标系中展开拉普拉斯函数时，球谐函数就会出现，我们来推导一下。

预备知识

埃尔米特微分方程

用级数法解下列方程

解是一个埃尔米特多项式的线性组合。

亥姆霍兹方程

在球坐标下解亥姆霍兹方程

径向部分是贝塞尔方程的一种形式，要用弗罗贝尼乌斯法（Frobenius method）来解。

球坐标下的拉普拉斯方程

球坐标下的拉普拉斯方程为

这又是一篇数学密集型的文章。让我们开始吧。

径向方程

一边是所有的r相关系数，另一边是所有的θ和φ相关系数：

结论是两边都等于一个常数。

如果这个过程让你感到费解，请阅读我关于微分方程的系列文章。

第一次试解

我们要解径向微分方程，这是欧拉-柯西方程的一个特殊情况。

首先，我们的猜测是指数形式，得到

对于所有的r，没有常数λ满足这个方程，所以解不可能是指数形式。

第二次试解

我们看看最简单的多项式是否可行。

结果是

一元二次方程求解公式是

后面我们将知道，k的形式必须是l(l + 1)，带到λ化简后得到径向方程的解是

其中A和B是常数。

物理限制条件

当r= 0或r→∞时，解会发散。而我们想要的是有限的势能，当靠近原点时，设B = 0当远离原点时，设A = 0。

球面对称

在球面对称的情况下，除了l = 0之外，每一项都趋于0，因此解是

一个半径为R_0的球壳，在恒定电势V的地方，在球的内部是没有电场的，也就是说电势一定是常数。在球面外面，电势像曲线（1/r）一样减小。因此势能是r的函数

分解角分量

把角分量分解成它们自己的方程

让两边都等于一个常数

方位方程（φ）

我们可以解出方位方程

用标准特征方程法得到

c_1和c_2是依赖于特征值M的常数。

周期性

我们需要对M的值进行限制。在球坐标中，坐标(r， θ， φ)和(r， θ， φ + 2 π)指向空间中的同一个点。对于空间中的每个点，只能有一个“势”值，所以对于所有的φ，必须有

我们称这个约束为周期边界条件。

只有满足下面的条件，c_1和c_2才对所有可能的值成立：

天顶方程(θ)（难的部分）

这个部分不太直观，主要思想是

去掉三角函数。
先讨论最简单的情况（m = 0）。
猜测解是任意多项式。
将解扩展到非零m。

简化

将M = m^2代入天顶方程

展开以减少三角函数的项数

如果

就可以去掉三角函数。首先需要求出

和

计算如下：

然后把这个结果代入天顶方程得到

现在，通过两个替换：

就可以消去所有的三角函数项了

这个方程被称为连带勒让德方程（ Associated Legendre Equation ）。

设m=0

设m = 0，得到勒让德方程：

我们先求解勒让德方程，然后用它的解求解连带勒让德方程。

级数解

尝试解的形式，x的指数或幂都不行、所以我们要用级数解来解这个方程。猜测：解可以用任意次多项式表示

对于有限次多项式，某一点后的所有系数都为零。例如，表示2x^3-10 x^2+ 1，有

例子

在讲勒让德方程之前我们先来解一个更简单的微分方程。

首先，我们把级数代入

我们写出求和的前几项，得到

对于所有x，上面这个级数都是零，因此这个级数的所有系数都必须是零。现在，回到求和符号的形式

继续，所有的系数都必须是零这个解对所有的x都成立，也就是说

这个系数序列被称为递归关系。我们对a_1和a_0没有限制，但是后面的系数都是由a_1和a_0决定的。一般来说，二阶线性常微分方程的解包含两个常数。在这个例子中，这些常数是a_1和a_0。

勒让德方程的级数解

回到勒让德方程。我们用同样的方法。首先，计算导数

然后，把它们代入方程

设系数为零，得到递归关系。

现在有了一个新的递归关系，a_1和a_0可以自由变化。

限制k

我们想把cos θ代入x，所以我们只需要关心x∈[- 1,1]的情况。在x = 1和-1处，级数会发散（除非某一点之后的所有系数都为零）。为了解决这个问题，需要使某一点之后的所有系数为0。仔观察查递归关系

如果a_n是零，那么a_(n+2)也是零。通过归纳法，得到

这个结果告诉我们，如果我们可以使一个系数为0，我们可以使所有的偶数系数或者在这个系数之后所有的奇数系数为0

如果不从一个a_1=0或a_0=0开始，那么一定有一个n的值，使得a_n≠0，但是a_(n+2)= 0。在这个n的值处，我们称之为l，有

让k等于l(l + 1)，l是一个非负整数，可以确保某一点之后所有的偶数或奇数项都是零。现在，递推关系是

假设l是一个非负偶数。n =l之后的偶数项是零，但奇数项仍然是非零的。我们可以通过让a_1= 0来强制它们为0。同样地，如果l是一个非负奇数，那么我们可以通过让a_0=0来强制偶数项为零。然后，可以利用勒让德方程的线性性把物理解写成我们得出的解的线性组合。

Pl(x)称为勒让德多项式。前几个勒让德多项式是

我们还是从猜测开始。将定义连带勒让德多项式作为解连带勒让德方程的函数

让m≠0

我们还是从猜测开始。将定义连带勒让德多项式作为解连带勒让德方程的函数

当m = 0时，连带勒让德多项式变成勒让德多项式

用球坐标表示为（m=0）

为了做出一个较好的猜测，我们必须考虑拉普拉斯方程的通解。

用球坐标表示为（m=0）

另一方面，如果m≠0，那么

这个结果存在一个问题。坐标(R, 0, a)和(R, 0, b)都指向空间中的同一个点（即球体的顶部），但是上面的结果将得到不同的值。为了解决这个问题，m必须为0或者Θℓm(0) = Pℓm(1) = 0。同理，Θ(π) = Pℓm(-1) = 0，因为(r， π， a)和(r， π， b)都指向空间中的同一个点（即球面的底部）。当m≠0时，解的第一个限制条件是

这就得到了解的一个形式

把指数设为m很奇怪。m = 0意味着指数一定是0，所以我猜这里有个参数。

回到方程

首先，我们计算连带勒让德方程中出现的项。

然后，把这些代入连带勒让德方程

这个方程等价于连带勒让德方程，所以它等于零。我们可以忽略前面的项，因为x =±1时它是0，这就有了

如果让m = 0，得到勒让德方程，对这个方程求导得到

这个方程表明，如果有一个函数可以解出m = k的方程，那么它的导数可以解出m = k + 1的方程。在数学上，也就是

因为m = 0给出了勒让德方程，我们知道

最后，我们将结果代入我们对Pℓm(x)的猜测

这些函数被称为连带勒让德多项式。因为勒让德多项式的阶数为l，也就是说我们只能求导l次。这一事实意味着m≤l。

球坐标下拉普拉斯方程的完全解

通解是

但是我们怎么得到系数的呢？这里我们使用的是复函数的内积

其中f*(x)是f(x)的复共轭。如果我们尝试在球面调和函数上使用这个内积的定义，我们不会得到正交的本征函数。为了了解原因，让我们将上述定义与任意维数下的两个复向量的内积进行比较。

积分内积中的所有“东西”在向量内积中都有对应的东西，除了dx。因此，区间(a, b)上两个函数的内积的一般形式是

函数ω(x)为权函数。

质点运动

我们将在下一篇文章中讨论如何推导权函数，但现在，我想给出一些关于球谐函数的直观感受。在二维曲面（嵌在3维空间）上动画演示一个二维函数是很困难的。所以我决定选择一个绕z轴旋转对称的势，也就是说只有m = 0的项是非零的。这样做可以让我动画球体的横截面，其中表面的高度代表势，最高的峰值对应于负z方向。选择的系数是

这就得到

我也用这个势发射了一些测试粒子（即使我不认为你可以穿过球体，因为力可能在球体表面没有定义），看看会怎样

用一个电势发射所有这些粒子不仅仅是看起来很酷，这是一个很好的方法来计算未知的电势或电荷分布。

势理论是研究调和函数的，也就是拉普拉斯方程的解。

概要

在本文中，我们讨论了许多内容，包括

欧拉-柯西方程，
特征函数的各种限制，
微分方程的级数解，
球谐函数，
势理论。

下一步计划

接下来我们将讨论权函数与投影运算符以及括号表示法和厄米特算子。

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