重庆市巴蜀中学高2022届高三下第7次月考第12题：向量的投影

局势风云变幻，一时茫然不知所措。也许静下心来做两道题才是真正的幸福所在。

平面向量是研究几何的工具，亦是解题的神器。中学关于平面向量的内容不多，主要是概念与简单运算、坐标与简单应用。但要求却并不低，往往以选填题的压轴出现。这样的试题多半具有强烈的几何意义，旨在考查数形结合的思想。

选项A与B皆是考查向量的投影，所谓投影即是向量的模乘以夹角的余弦值。投影给出了向量数量积的几何意义。显然，投影只与向量的模和夹角有关。

由于余弦值可正、可负、可为零，所以投影亦是如此。注意投影与射影的差别，后者非负。新教材修订了投影的概念，引入了投影向量，也即是在投影的基础上乘以一个单位向量。

选项C和D的运算量较大，为了便于化简，法2采用圆的参数方程。注意参数方程中的角参是旋转角，范围取0°到360°，但不共线，所以要剔除0°和180°。通过垂直建立关于参数λ的一元二次方程，其判别式恒正，即方程有两根，也即存在两个向量。

选项D在C的基础之上，消去角参，建立关于λ的函数，求得最大值。这里如果选择消去参数λ，则会陷入计算陷阱而无法自拔。

 

法1与法2从代数的角度剖析，法3则从几何的角度拆解。向量是几何的工具，是解题的方法，也是一种思想。向量本身蕴含着几何意义，因此利用几何分析是理所应当。

本题中的垂直隐含着圆，即点C在以AB为直径的圆上。不难发现，该圆与菱形的对角线有两个焦点，也即是有两个向量满足。

更进一步，点C的轨迹是一个椭圆，且与大圆内切于点D。当OP与x轴重合时，模长最大，也即是大圆的半径。但此时两个向量共线，不满足题意。

还是那句话，基础不牢，选完A就跑。你是否发现，多选比单选更容易得分？