重庆市第八中学高2023届高二下第1次月考第16题：数量积的最小值

有人说，平面向量只有浙江卷才考那些难题，全国卷根本就是送分。这话没错，但也不全对。全国卷近些年的确较基础，但更遥远的历史上考过不少难题，而且非常精彩。当然，他们要说的不是这个，而是有没有必要搞那些难题。言下之意是没有必要。

我要提醒的是，我们应对的是未来，新高考什么都有可能。事实上，平面向量考难题岂止是浙江卷，以前的安徽卷、江苏卷，以及天津卷不都是家常便饭。如果你细心，还会发现一个规律：许多地方卷的试题，后来都成了全国卷的对象。

我没有反驳的意思，也承认所选的题稍微有些灵活，但还算不上难。这些题凝聚着命题者的心血，对提升学习有着不可估量的作用。如果想在这里体验那种沉浸式的愉快学习，不是你错了，就是我错了。也许，我们都错了。

法1，坐标法。建系构建平面向量的坐标运算，由坐标得到数量积的最小值。另外，①式也可展开整理为关于实数t的一元二次不等式，由t的任意性知其判别式不大于零，由此可得到y的取值范围。二者殊途同归，但前者容易计算，后者容易理解。

法2，坐标法。法2在法1的基础之上进行优化，借助平面向量的代数运算来构建几何关系。点P是定直线上的半自由点，搜索范围变得更小。法2与法1没有本质上的差别，但却有手法的高低之分。代数与几何相互结合，运用之妙，存乎一心。

法3，极化恒等式。涉及到数量积的问题，极化恒等式都不妨试试。