高2023届高三四省联考（云贵吉黑）第21题：调和共轭

2023年四省联考早已尘埃落定，从反馈的信息来看，创新与难度再次出人意表。我尚未来得及清理整套试卷，所以无法给出合适的判断。有人说，这套试卷囊括了不少大学数学的内容，信息量极大。姑且这么认为，但我决定对此视而不见，尝试用大家习以为常的方式来理解。

首先引起我注意的是第21题——双曲线，看着挺面善。曾经，双曲线一度被人嫌弃；而如今，它无疑是最光彩夺目的，就像夜空中那颗最亮的星。这并非偶然，天下大势，不就是十年河东，又十年河西。

坦率说，我是蛮喜欢双曲线的，成双成对令人感到喜庆。为什么会联想到这个？一刹那的闪念，没来由。

题干简洁，一派的高考题的样子。

第一问送分，送得相当干脆，也送得毫不拖泥带水。

第二问，调和分割——极点极线的内容。这个概念即便不知道也无所谓。既然考，一定不会是对这个概念的理解。证明与长度相关的问题，弦长公式自然是首选。唯一的障碍是用到了非对称韦达定理。不过，一个小小的和积转化，便可手到擒来。

非对称韦达定理早已不是神话，破解的方法俯拾即是。但我最喜欢的是将其改造为对称形式。平面向量兼具代数运算与几何性质，与解析几何水乳交融，如何能熟视无睹。本题之中，四点共线，弦长的乘积很自然就转化为了数量积。

当然，如果对直线的参数方程有所了解，借助参数方程求解亦可。这里从略。

法2已然沁人心脾，但我仍不满意。本题勾起了一段回忆，那是2008年高考安徽卷的压轴题。当年那题是真的难，现在看来不过此。但它却提供了一种思路——定比分点。

引入参数，利用定比分点公式，将双曲线上两点G、H的坐标用D、E两点的坐标表示出来；然后代入双曲线的方程，得到关于定比参数的一元二次方程；最后通过“同构”求得两参数满足的方程，进而得出两参数之间的关系。

同构无疑是函数与方程思想的具体体现，一次同构为直线的方程，二次同构则借助韦达定理。值得一提的是，如果定比分点是D、E（不在曲线上），那么定必点差法将大显身手。

为了不横生枝节，关于本题的背景，我不作罗嗦。点到为止的意犹未尽，胜过一知半解的兴味索然。

我们下期再见。