重庆市巴蜀中学高2025届高二第一次月考第22题：圆中三角形面积的最大值

走过了明媚的初春，又等过了炽热的仲夏，这都深秋了，你怎么还不来？

话说“口红一哥”已从呼风唤雨变为众矢之的，而“许皮带”也从春风得意到了身陷囹圄。过去这段时间，经历了不少大事。2023年只剩下不到两个月的时间，余额不足，所以，我于心不忍。

没有时间了，赶快上车。

这道“巴蜀中学”高二的数学压轴题是一类常考模型。椭圆尚未学到，所以重心放在了圆上，其套路与椭圆毫无二致。不少人都有一个误区，总认为圆比椭圆简单，这是无稽之谈。

第一问，求轨迹方程，相关点法和几何法一决高下。相关点法体现了代数转换的精妙，而几何法刻画了轨迹形成的本质。

很遗憾，这个轨迹与第二问丝毫无关，这无疑削弱了题目的紧凑性。我喜欢那种逐层递进的关系，抽丝剥茧、丝丝入扣。

第二问，求三角形面积的最值。这一问大致可分为两步：

首先，对称预示着角平分线，而角平分线隐含着直线过定点。有了这个定点，三角形的面积便可轻松表达。而一旦突破了这个关键，剩下的便不值一提。

其次，求三角形面积的最值，换元后既可转化为二次函数求解，也可借助均值不等式实现。这俨然已经脱离了解析几何，而是地地道道的函数问题。

法1，硬求T点坐标，这架势肯定会劝退不少英雄好汉。考验勇气和基本功的时候到了，不要怂，有多少本事都拿出来，背水一战。

如果你稍加留心，会发现T点的横坐标是一个对称结构，捅破这层窗户纸，也就失去了神秘，剩下的只需一番操作猛如虎。

三角形的面积，计算弦长和点到直线的距离是基本操作，不过水平宽与铅直高更好。

法2，点A、C关于x轴对称，则角平分线呼之欲出，于是直线BT、CT的斜率互为相反数顺理成章。角平分线是解析几何无法回避的对象，角平分线转化为斜率，斜率转化为坐标，而坐标几何就是解析几何。

那么本题中的直线AB一定过定点吗？

当然，法3中的极点极线给出了答案。同理，根据配极原则，点T关于圆O的极线也必过点D。既然是极点极线，本题还有什么值得留恋？

没什么值得留恋，除了留恋本身。

显然，A、B、T三点共线，B、D、C三点也共线，且A、B、C三点都在圆O上，所以定比点差法怎么能错过。

定比点差法省去了联立方程的尴尬，在计算上不失为投机的手法。大致了解即可，我放在这里仅是提供一种思路。

关于本题，我想没有更多要啰嗦的了。下面这道题拿去，看看是否有惊喜。