名师：中考数学相似证明巧入手

 

 

　　红桥区九年级一模考试刚刚结束，有的学生正沉浸于进步的喜悦中，对中考充满了信心；而有的学生正为成绩的退步或停滞不前而沮丧，面对中考，失去了斗志。通过认真分析试题、分析学生，我们发现使学生感到困难、学生错误率较高的题目，一方面考查学生扎实的基本功，另一方面需要学生具有细腻的思维。俗话说：台上一分钟，台下十年功。要想考场上有灵敏的反应，工夫要下在平时。下面，我们就为大家讲解相似三角形部分如何证明，希望能够帮助同学们解决起三角形相似问题来，入手快、方法巧。

　　在相似三角形一章节的复习中，我们可以总结一些常用的相似三角形的“基本图形素材”，即使面对复杂的图形，我们可以从中发现熟知的基本图形，将图形进行分解，能够帮助你迅速地找到入手点。下面我们以常用的四个相似三角形的基本图形为例，帮助你体会它们的重要作用。　　

　　现以红桥区的一道考题为例，分析学生的错误原因及基本图形之间的差异。

　　王芳同学利用下面的方法测量学校旗杆的高。如图在旗杆的底部B引一条直线BM，在这条直线适当的位置E处放一面镜子，当她沿着这条直线走到点D处时恰好在镜子中看到旗杆的顶端A，又测得BE=18米，ED=2.4米，已知王芳的眼睛到地面的高度CD=1.6米。

　　请你替王芳同学计算出旗杆AB高。

　　【错误1】∵CD∥AB

　　∴△CDE∽△ABE

　　【分析】该生将此图与平行→相似中“X”型混淆了。

　　如图(1)：CD∥AB，观察图形，我们会发现△CDE与△BAE具有一组对顶角。

　　比较两个图形，显然，考题的图形中△CDE与△ABE不存在对顶角，学生在解题过程中正是将这两个具有不同特征的图形混淆了，才做出了错误的解法。

　　【正确解法】此图需要运用光学知识中的“反射角相等”→

　　∠CED=∠AEB

　　∵CD⊥BD于D，AB⊥BD于B

　　∴∠CDE=∠ABE=90°

　　又∵由光学知识得∠CED=∠AEB

　　∴△CDE∽△ABE

　　【错误2】∵△CDE∽△EBA

　　∴AB:DE=BE:CD

　　【分析】学生将考题的图形与图形(2)发生了混淆。

　　如图(2)：AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，AE⊥CE于E，具有三个特殊角，由余角的性质可推得∠C=∠AEB，∠CED=∠A，两个相似三角形一躺一立；而考题图中则是∠CED=∠AEB，∠C=∠A，两个相似三角形面对面放置。

　　学生在解题过程中，由于忽视了两个图形之间的细微差异，从而导致了错误比例式的书写。

　　【正确解法】

　　∵△CDE∽△ABE

　　∴AB:CD=BE:DE

　　【完整解法】∵CD⊥BD于D，AB⊥BD于B

　　∴∠CDE=∠ABE=90°

　　又∵由光学知识得∠CED=∠AEB

　　∴△CDE∽△ABE

　　∴AB:CD=BE:DE

　　∴AB:1.6=18:2.4   ∴AB=12

　　答：旗杆AB高为12米。

　　通过分析两种错误解法，我们发现学生们有相似三角形基本图形的印象，却忽视了基本图形1、2、3之间的区别，发生了混淆。因此，我们不仅要发现、归纳基本图形，更要关注它们之间的区别与联系，以便在解题过程中避免失误、发挥更大的功效。