名师:中考数学相似证明巧入手

名师:中考数学相似证明巧入手

 

 

  红桥区九年级一模考试刚刚结束,有的学生正沉浸于进步的喜悦中,对中考充满了信心;而有的学生正为成绩的退步或停滞不前而沮丧,面对中考,失去了斗志。通过认真分析试题、分析学生,我们发现使学生感到困难、学生错误率较高的题目,一方面考查学生扎实的基本功,另一方面需要学生具有细腻的思维。俗话说:台上一分钟,台下十年功。要想考场上有灵敏的反应,工夫要下在平时。下面,我们就为大家讲解相似三角形部分如何证明,希望能够帮助同学们解决起三角形相似问题来,入手快、方法巧。

  在相似三角形一章节的复习中,我们可以总结一些常用的相似三角形的“基本图形素材”,即使面对复杂的图形,我们可以从中发现熟知的基本图形,将图形进行分解,能够帮助你迅速地找到入手点。下面我们以常用的四个相似三角形的基本图形为例,帮助你体会它们的重要作用。  

  现以红桥区的一道考题为例,分析学生的错误原因及基本图形之间的差异。

  王芳同学利用下面的方法测量学校旗杆的高。如图在旗杆的底部B引一条直线BM,在这条直线适当的位置E处放一面镜子,当她沿着这条直线走到点D处时恰好在镜子中看到旗杆的顶端A,又测得BE=18米,ED=2.4米,已知王芳的眼睛到地面的高度CD=1.6米。

  请你替王芳同学计算出旗杆AB高。

  【错误1】∵CD∥AB

  ∴△CDE∽△ABE

  【分析】该生将此图与平行→相似中“X”型混淆了。

  如图(1):CD∥AB,观察图形,我们会发现△CDE与△BAE具有一组对顶角。

  比较两个图形,显然,考题的图形中△CDE与△ABE不存在对顶角,学生在解题过程中正是将这两个具有不同特征的图形混淆了,才做出了错误的解法。

  【正确解法】此图需要运用光学知识中的“反射角相等”→

  ∠CED=∠AEB

  ∵CD⊥BD于D,AB⊥BD于B

  ∴∠CDE=∠ABE=90°

  又∵由光学知识得∠CED=∠AEB

  ∴△CDE∽△ABE

  【错误2】∵△CDE∽△EBA

  ∴AB:DE=BE:CD

  【分析】学生将考题的图形与图形(2)发生了混淆。

  如图(2):AB⊥BD于B,CD⊥BD于D,AE⊥CE于E,具有三个特殊角,由余角的性质可推得∠C=∠AEB,∠CED=∠A,两个相似三角形一躺一立;而考题图中则是∠CED=∠AEB,∠C=∠A,两个相似三角形面对面放置。

  学生在解题过程中,由于忽视了两个图形之间的细微差异,从而导致了错误比例式的书写。

  【正确解法】

  ∵△CDE∽△ABE

  ∴AB:CD=BE:DE

  【完整解法】∵CD⊥BD于D,AB⊥BD于B

  ∴∠CDE=∠ABE=90°

  又∵由光学知识得∠CED=∠AEB

  ∴△CDE∽△ABE

  ∴AB:CD=BE:DE

  ∴AB:1.6=18:2.4   ∴AB=12

  答:旗杆AB高为12米。

  通过分析两种错误解法,我们发现学生们有相似三角形基本图形的印象,却忽视了基本图形1、2、3之间的区别,发生了混淆。因此,我们不仅要发现、归纳基本图形,更要关注它们之间的区别与联系,以便在解题过程中避免失误、发挥更大的功效。

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来自:原野之风  > 初高数学
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